二元函数的极值、最值

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1、4、二元函数的极值、最值、二元函数的极值、最值 10极值定义极值定义 P208为极大值00yxfyxf、00yxf、为极小值00yxfyxf、00yxf、 0yxf0yxfyxyxf00y00x 00、有极限值、在、驻点 极值点，需判别设 、 、Ayxf00xx 、Byxf00xy 、Cyxf00yy 、ACB2f00yx 、A 0极小值 0非极值=0不定例 1、求的极值xy3yxz33解： ， ， ，y3x3f2 xx3y3f2 yx6fxx ，3fxy y6fyy 令 0f0fyx 0x3y30y3x322 0yy41y0y 得驻点 ，0,01,1在 ， 0,00903ACB20, 02

2、非极值0,0f，1,1 0363ACB21 , 1 2 为 极值点1,1又 为极小值 06A1 , 111,1f例 2、求在闭区域 D：，yx5yxz20x 0y 的最大，最小值。4yx解： ，y2x310xyfxy2x5xf2 y令 （在 D 内） 0y2x5x0y2x310xy2 45y25x在 D 的内部函数只有一个驻点 ， 45,25 64625 45,25f 在边界 ， 在 ，0x 0f 0y 0f 在，4yx3222xx4x4xx4x5x4xz得： ，即 ，为驻点0x3x8dxdz238x 38x 34y 比较 ， ，27256 34,38z 64625z 0z 27256z 得最

3、大值 ，最小值64625z 0z 在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数 的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这 些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。例 3、 求原点到曲线的最大距离0y,x此题即在条件下求的最小值问题0y,x22yxz20条件极值、拉格朗日乘数法条件极值、拉格朗日乘数法在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别求在条件下, 的极值0y,xy,xfz 令 称为目标函数,为拉格朗日常数y,xy,xfFy,xf解得的为可能的极值点 0F0F0Fyxy,x例 1、求曲面到平面的最短距离223y2xy3x4z14zyx解法一、曲面上任一点（x

4、，y，z）到平面的距离1814zyxd 设4z3y2xy3x14zyx21F222 04z3y2xy3xF0414zyx4F02x6y14zyxF02y6x14zyxF22zyx 驻点唯一 82dmin解法二、曲面在任一点的切平面法矢量42x,2y,6y6xnv平面 x+y-4z=1 的法矢量41,1,n1v当时，即nv 1nv 44 12x6y 12y6x 得：, 41yx161z 在点处切平面平行已知平面)161,41,41( 点到平面距离最短，)161,41,41(82dmin得： 161z41yx例 2、在曲面位于第一卦限部分上求一点，使该点的22yx2z切平面与三个坐标面围成的四面体

5、的体积最小。 曲面位于第一卦限部分上任一点（x，y，z）处的平面方程为：z4Z2yY2xX即 ， 四面体体积1z4Z2yz4Y2xz4X 24xyz4V3故令 2zyxlnylnxz43lnF22由 02zyxF0z43F0y2y1F0x2x1F22zyx得： 1z22yx 驻点唯一 为所求点。 ,122,22例 3、在第一象限内，过椭圆曲线上任一点作椭13y2xy3x22圆的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。解：在第一象限内曲线上任一点（x，y）处的切线方程为：xX3yxy3xyYy3xx3yxyy3xX3yxY切线与两坐标轴的截距分别为x3yxy3xyy,y3x3yxxy3

6、x1 3yx1 21x3yxy3xyyy3x3yxx21S 若要使 S 最小，只要最大yx3y3x故设 13y2xy3xy3x3yxF22由 013y2xy3xF0y6x26y10xF0y2x610y6xF22 yx得： 221yx 驻点唯一 41smin例 4、P212 例 5.32 5.33第六章第六章 多元函数的积分多元函数的积分 10二重积分二重积分1、定义 P225 Dn10,fimldy,xf2、性质 P226其中表示平面区域 D 的面积Dd, ，表 D 的面积D,fdy,xfD,3、几何意义， ，则表示以为0y,xfDy,xDdy,xfy,xfz 顶，以 D 为底的曲顶柱体体积。

7、4、二重积分在直角坐标下的计算法 DDdxdyy,xfdy,xf设0y,xfz用平面截立体得如图所示的曲边梯形xx 其面积 dyy,xfxsx2yx1y Dbadxxsdy,xf bax2yx1ydxdyy,xf bax2yx1ydyy,xfdx dcy2hy1hdxy,xfdy(1,1)yxx=1y=x20 1x222y24xy2xy 0y kx k0-k x-y=k222kyx例 1、计算二重积分其中 D 由曲线直线及D22dyx2xy 1x 轴所围成。x 解：首先画出积分区域 D102x022D22dyyxdxdyx10526dx3xxdxy31yx106 4102x032 例 2、将二

8、重积分化为累次积分，Ddy,xf其中 D 为：(1) 抛物线 及 所围成2xy 2x4y解： 交点 22x4yxy,2)2()2 ,2(2x42x22 Dy)dyf(x,dxy)df(x, y4y442yy20y)dxf(x,dyy)dxf(x,dy(2) 圆，所围222kyxkyx0y xk0k02x2k00ky-k2y2kk0 Dy)dyf(x,dxy)dyf(x,dxy)dxf(x,dyy)df(x,(3)，所围，2xy 2x4y 1y y2y102yy10 Dy)dxf(x,dyy)dxf(x,dyy)df(x,0y 例 3、计算,0y1 D22dxdyyx1x010210210221

9、0dyydxxdyyxdx92 3y 3x103103 例 4、P228，例 6.1，6.2，6.3例 5、，则1xyx dyef(x) 1e (21f(x)dx10解： 1xyx 10101xyx 10dyedxdxdyef(x)dx10y0yx y0yx 10dyeydxedy1)(e211)dy-y(e10例 6、y02y-202x2y20dxedydyedx202ydyye)e-(1214-0y 1x ) 1 ,1 (1y xy ) 1 ,1 (yx01110xyyx2y )2 ,2(xy 02y(1,1)x 30y=(3-x)/22xy 3 4 2bsin2asin0b例 7、交换积

10、分次序x)(3210312x010y)dyf(x,dxy)dyf(x,dxI 2y3y10y)dxf(x,dy例 8、 P231例 6.5 例 6.6，6.7(1)，6.8，6.9，6.105、二重积分在极坐标下计算方法 DD)rdrdrsin,f(rcosy)df(x,例 9、计算D： D2y2xde222ayx解： 20a02rD2y2xrdreddea022r)rd(e221)e(2a例 10、D：由，Dydx,xy 0x 222bbyx所围。222aayxba0解：2bsin2asin224Drdrsincosrdydx,24544242bsinsina24 dcossin)a4(bd

11、4rsincos)a(b127sin61)a4(b4424644例 11、 D 由 ,及轴所围。Dydx,11yx221yx220x 得交点 2sinr1r,1)6(2sin1226Ddrsinconrdydx,2sin1446r41dsincon169)sin81sin32()dconsin41-con(4sin2626465例 12、P238例 6.13 6.146.15例 13、证明4ysinxsin16dxdy4)17(21yx2222 证： 10220 12y2x22 12y2x22rd r16rd yx16dxdyysinxsin16dxdy4)17(2r162102又4141dxdy41ysinxsin16dxdy212y2x12y2x22 例 14、设 f(x) 在 a,b上连续且单调增加，试证：ba22Df(x)dx2abyf(y)d byabxay)(x,D证：设ba22Df(x)dx2abyf(y)dIbaba Df(x)dxydyyf(y)dDDDf(x)d-yf(y)yf(x)dyf(y)dDf(y)d-xf(x)Df(y)d-f(x)(xf(x)-y(f(y)21Df(x)dxdy-x)f(y)-(y21 单增 xf 0xfyfxy 即0I ba22Df(x)dx2abyf(y)dD 关于 y=x 对称