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1、韦达定理韦达定理重点、难点：韦达定理与推论是重点。难点是如何灵活应用韦达定理与推论。 知识回顾设方程 ax +bx+c=0 (a0)的两根为 x, x则 xx，xx，这个方程的根与系数 a,b,c 的2 112112ab112ac关系叫做根与系数的关系定理，也叫韦达定理。1. 若两个数 x，x满足 xx，xx，则 x，x是方程 ax +bx+c=0 (a0)的两个根，这 112112ab112ac1122个定理称为韦达定理的逆定理。2. x，x是方程 ax +bx+c=0 (a0)的两个实数根，则必有b -4ac,反之亦成立。 112220典型例题典型例题例 1：已知 x，x是方程 x -3x
2、+1=0 的两个根，求 x x + xx 的值。 11222 12112 2例 2：如果 a，b 是方程 x x-1=0 的两个实数根，求代数式 a +a b+ab +b 的值。23223例 3：已知1x、2x是方程04232 xx的两个根，求22 123xx的值。例 4：已知1x、2x是方程032 xx的两个根，求代数式1942 23 1 xx的值。例 5. 已知一元二次方程有两个正根，求 m 的取值范围。31002xxm例 6. 若 a、b 为方程的两实数根，且，求 m 的值。862102xmxmab221例 7：已知方程0142 xx，求作一个新方程，使新方程的两根分别是原方程两根的 2
3、 倍例 8：已知方程0232 xx，求作一新方程，使新方程的两根分别是原方程两根的平方。例 9：已知方程0232 xx，求作一新方程，使新方程的两根分别是原方程两根的倒数。习题演练1. 若方程 x mx4=0 的两根之差的平方为 48，则 m 的值为（ ）2A8 B.8 C.8 D.42. 以方程 3 x 2x60 的各根的负倒数为根的一个一元二次方程是（ ）2A6 x 2x10 B6 x 2x30 C6 x 2x10 D6 x 2x3022223设1x、2x是关于x的方程02qpxx的两根，1x+1、2x+1 是关于x的方程02pqxx的两根，则p、q的值分别等于( ) A1，-3 B1，3
4、 C-1，-3 D-14在 RtABC 中，C90，a、b、c 分别是A、B、C 的对边，a、b 是关于x的方程0772cxx的 两根，那么 AB 边上的中线长是( )A23B25C5 D2 5如果方程0)2)(1(2mxxx的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数 m 的取值范围是( )A0m1 Bm43C143 m D43m16. 已知方程 x pxq=0 的一个根为2，可求得 p= ,q= 257. 已知、是方程012 xx的两个实数根，则代数式)2(22的值为 8.已知1x和2x为一元二次方程013222mxx的两个实根，并1x和2x满足不等式142121 xxxx，则实数m取值范
5、围是 9.已知、是方程012 xx的两个根，则34的值为 10CD 是 RtABC 斜边上的高线，AD、BD 是方程0462 xx的两根，则ABC 的面积是 11.已知关于x的二次方程02cbaxacbxbac有两个相等实根，求证：bca211解：因为0112cbaacbbac 所以1x是原方程的根，又原方程两实根相等，所以112 xx，从而由韦达定理得： 121baccbaxx即bcacacab，所以acbcab2 故bca211 原题得证。12 如图，在 RtABC 中斜边 AB=5，已知 BC，AC 是一元二次方程x2-（2m1）x+4（m1）=0 的两根， 求 m 的值。C CAB13
6、13 设实数 s，t 分别满足 19s2+99s+1=0t2+99t+19=0，并且 st1，求的值tsst14 14 已知：ABC 的两边 AB，AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0 的两实根，第三边 BC 的长是 5。 （1）k 为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形。 （2）k 为何值时，ABC 是等腰三角形，并求三角形的周长。15. 已知方程 2 x 5ax+3b0 的两根之比为 2：3，方程 x 2bx+8a0 的两根相等（ab0） ，求证：当 m 为任22意实数时，方程 ax +（b+m1）x+（m+1）=0恒有实数根。216.解
7、方程组6103xyyxyx17.M 为何值时，方程 8x （m1）xm7=0 的两根2 均为正数 均为负数 一个正数，一个负数 一根为零 互为倒数18. 已知方程（a3）x 1=ax 有负数根，求 a 的取值范围。219. ABC 中，AB=AC， A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a=3,b 和 c 是关于 x 的方程 x mx22m=0 的两个实数根，求ABC 的周长。2120. 设1x、2x是方程02324222mmmxx的两个实数根，当 m 为何值时，2 22 1xx有最小值?并求出这个最小值 21.已知关于x的方程01) 32(22kxkx(1) 当k是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根1x、2x满足：312 xx，求k的值22如图，已知在ABC 中，ACB=90，过 C 作 CDAB 于 D，且 ADm，BD=n，AC2：BC22：1；又关于 x 的方程012) 1(24122mxnx两实数根的差的平方小于 192，求整数 m、n 的值23设a、b、c为三个不同的实数，使得方程和012axx和02cbxx有一个相同的实数根，并且使方程02axx和02bcxx也有一个相同的实数根，试求cba的值
