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1、解析几何单元易错题练习解析几何单元易错题练习一考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.二考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：考查圆锥曲线的概念与性质；求曲线方程和轨迹；关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.三基础知识:椭圆及其标准方程椭圆的定
2、义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F、2F的距离的和大于|1F2F|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F2F|，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F2F|，则动点的轨迹是线段1F2F.2.椭圆的标准方程：12222 by ax（ab0） ，12222 bx ay（ab0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222 by ax（ab0）.
3、范围： -axa，-bxb，所以椭圆位于直线 x=a和 y=b所围成的矩形里. 对称性：分别关于 x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个1A（-a，0） 、2A（a，0）1B（0，-b） 、2B（0，b）.线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0e1.e 越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆
4、.2.椭圆的第二定义 定义：平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ace （e1时，这个动点的轨迹是椭圆. 准线：根据椭圆的对称性，12222 by ax（ab0）的准线有两条，它们的方程为cax2 .对于椭圆12222 bx ay（ab0）的准线方程，只要把 x 换成 y 就可以了，即cay2 .3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F（-c，0） ，2F（c，0）分别为椭圆12222 by ax（ab0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为exaMF1，exaMF2.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解
5、题往往比较简便.椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有2a=2b+2c、ace 两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆12222 by ax（ab0）的参数方程为cossinxayb （ 为参数）.说明 这里参数 叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角 与直线 OP 的倾斜角 不同：tantanab ； 椭圆的参数方程可以由方程12222 by ax与三角恒等式1sincos22相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆22221(0)xyabab 的参数方程是cossinxayb .5.椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆2
6、2221(0)xyabab 的内部22 00 221xy ab .（2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab 的外部22 00 221xy ab .6. 椭圆的切线方程 椭圆22221(0)xyabab 上一点00(,)P xy处的切线方程是00 221x xy y ab .（2）过椭圆22221(0)xyabab 外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00 221x xy y ab .（3）椭圆22221(0)xyabab 与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数
7、2a（小于|1F2F|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a|1F2F|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=|1F2F|，则动点的轨迹是两条射线；若 2a|1F2F|，则无轨迹.若1MF2MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF2MF时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：12222 by ax和12222 bx ay（a0，b0）.这里222acb，其中|1F2F|=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x
8、项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.双曲线的简单几何性质双曲线12222 by ax的实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率ace 1，离心率 e 越大，双曲线的开口越大.双曲线12222 by ax的渐近线方程为xaby 或表示为02222 by ax.若已知双曲线的渐近线方程是xnmy ，即0 nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm2222
9、 ，其中 k 是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于 1 的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222 by ax，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0） ，与它们对应的准线方程分别是cax2 和cax2 .双曲线22221(0,0)xyabab 的焦半径公式21| ()|aPFe xc ，22| ()|aPFexc .双曲线的内外部点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab 的内部22 00 221xy ab .点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab 的外部22 00 221xy a
10、b .双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222 by ax 渐近线方程：22220xy abxaby .若渐近线方程为xaby0by ax 双曲线可设为2222by ax.若双曲线与12222 by ax有公共渐近线，可设为2222by ax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）.双曲线的切线方程双曲线22221(0,0)xyabab 上一点00(,)P xy处的切线方程是00 221x xy y ab .（2）过双曲线22221(0,0)xyabab 外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00 221x xy y ab .（3）双曲线22221(0,0
11、)xyabab 与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc.抛物线的标准方程和几何性质1抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点，这条定直线 l 叫抛物线的准线。需强调的是，点 F 不在直线 l 上，否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型：pxy22、pxy22、pyx22、pyx22.对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向 x
12、轴或 y 轴的负方向。3抛物线的几何性质，以标准方程 y2=2px 为例（1）范围：x0；（2）对称轴：对称轴为 y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O（0，0） ，注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心） ；（4）离心率：e=1，由于 e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的；（5）准线方程2px ；（6）焦半径公式：抛物线上一点 P（x1，y1） ，F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p0）：22 1122 112:;2:222:;2:22ppypx PFxypx PFxppxpyPFyxpyPFy （7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以
13、用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线 y2=2px（pO）的焦点F 的弦为 AB，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 的倾斜角为 ，则有|AB|=x1+x2+p以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x2+bx+c=0，当 a0 时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果 a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。4.抛物线pxy22上的动点可设为 P),2(2ooypy或或 )2 ,2(2ptptPP(
14、,)x yoo，其中 22ypxoo.5.二次函数2 224()24bacbyaxbxca xaa(0)a 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24bacb aa ；（2）焦点的坐标为241(,)24bacb aa ；（3）准线方程是241 4acbya .6.抛物线的内外部点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p.点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p.点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p 的内部22(0)ypx p .点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p 的外部22(0)ypx p .点00
15、(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p.点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p.点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p.点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p 的外部22(0)xpy p .7. 抛物线的切线方程抛物线pxy22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx.（2）过抛物线pxy22外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00()y yp xx.（3）抛物线22(0)ypx p与直线0AxByC相切的条件是22pBAC.(六).两个常见的曲线系方程过曲线1( , )0f x y ,2( , )0fx y 的交点的曲线系方程是12( , )( , )0f x yfx y(为参数).共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xy akbk,其中22max,ka b.当22min,ka b时,
