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1、中国石油大学（华东）中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷第二十一届高等数学竞赛试卷一一、填空题（每小题填空题（每小题 5 分，本题共分，本题共 50 分）：分）：1. 若 0x时，xx11ln 与x是等价无穷小，则. 解题过程是：2. 30sinarctanlim xxxx. 解题过程是：3. 曲线)1ln(1xexy ，渐近线的条数为： .解题过程是：4. yzyxzxxyxyz,tan . 解题过程是：5. 微分方程02 yyy, 10xy:21 0xy. 解题过程是：6.yxyxyxD Ddd)cos(20,20:. 解题过程是：7.d)33(0coscosxxx解题过程是：8
2、. 设函数)(xf的一个原函数是22x，则xxf xd)(= . 解题过程是：9. Vzxyxzyxzd)(,12222 = . 解题过程是：10. 设曲线AnO0)(0,0),0)(22aOaAaxyx，yyexyyex AnOxd3cosd3sin计算. 解题过程是：二二、计算题（每小题计算题（每小题 6 分，本题共分，本题共 42 分）：分）：.38)2() 1 (),0()0)(,(),0 , 1 (. 1aaxyLLaaxOPxyxPMLxoy解题过程是：2. 设.)0(122zyxz，计算曲面积分.dd) 1( 3dd2dd2233yxzxzyzyxI 解题过程是：.0123293
3、2. 3222zyxzyx 解题过程是：).(4,0d21(1)()0(), 0()(. 4222222tftyxhzVyxfztfttxf确定，求由不等式其中满足下式：上连续，且对任意的在设函数解题过程是：.0, 4),(2),(. 5222222上的最大值和最小值在区域求函数yyxyxDyxyxyxf 解题过程是：6. 设曲面1:zyx，计算曲面积分Syxd)(. 解题过程是：).,(,),()()(2),(0. 724224yxuyxujyxxiyxxyyxAx并求的梯度为某二元函数上的向量使在右半平面确定常数rrr解题过程是：三三、证明题（本题证明题（本题 8 分）分）：).()(),
4、(),()(),()(),(,)(),(gfbabgbfagafbabaxgxf 使得，存在证明：相等的最大值，内具有二阶导数且存在上连续，在在设函数中国石油大学（华东） 第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案一一、填空题（每小题填空题（每小题 5 分，本题共分，本题共 50 分）：分）：1. 若 0x时，xx11ln 与x是等价无穷小，则a. 解题过程是：若 0x时，xx11ln 与x是等价无穷小， )()()(1ln)1ln(11lnxoxxoxxoxxxxx，则 0x，,)(xxox 故21 .2. 30sinarctanlim xxxx. 解题过程是：61)(6)(3 limsinarct
5、anlim33333030 xxoxxxoxxxxxxx.3. 曲线)1ln(1xexy ，渐近线的条数为： 3 . 解题过程是：曲线)1ln(1xexy 渐近线有 3 条：垂直渐近线0x，水平渐近线)(0xy，斜渐近线)(xxy.4. yxzyzxufxyxyfz,)(, .20tan202,1,:22zxyxyxyxyfzyzxxyfyxyxfxxyfxyxyxfyzxyfxy xyyfxy xyfxyxyyfxzyx5. 微分方程02 yyy, 10xy:21 0xy. 解题过程是：. 1, 1:,1, 1,dd2,21 dd. 2,1 21,21,1 dd,1lnlnln,dd,dd
6、dd0, 0dd,dd,),(220221 101112 xyxyCyCxyxyyyxyCCyyCxy yCPCyPyy PP yy PPPyPyPPyPyPyPPyyPyyfyxxQQ6.yxyxyxD Ddd)cos(20,20:. 解题过程是：. 2) 1(cos)sin1 ()cos()cos()cos()cos(.22020222020202121dxxdxxdyyxdxdyyxdxdxdyyxdxdyyxIDDDyxxxDD7.d)33(0coscosxxx解题过程是：解：令tx2， ttsinsin33是奇函数，得xxxd)33(0coscos=. 0d)33()d()33(22
7、sinsin22sinsintttttt8. 设函数)(xf的一个原函数是22x，则xxf xd)(= . 解题过程是：xxf xd)(=)()()(dxfxxfxfxCxxx2222ln222.9. dV)(,12222zxyxzyxz计算所围成与由设空间区域 = 解题过程是：.8sincos)(. 0),(1024020drrrddzdvdvzxxdvxxzyxfyozQ10. 设曲线AnO0).(0,0),0)(22aO-aAaxyx， dyyedxyyex AnOx3cos3sin. 解题过程是：,83 221333coscos ,22aadxdydxdyyeyedxdyyP xQOA
8、DDxxDAnOOAAnOA ax OAAnOAAnOaedxea 0228303083.二二、计算题（每小题计算题（每小题 6 分，本题共分，本题共 42 分）：分）：.38)2() 1 ()0( ,)0)(,(),0 , 1 (. 1aaxyLLaaxOPxyxPMLxoy解题过程是：,),() 1 (axxyyxfyL.,CxaxCaxxCxaxeeyxxxx 2d1d1 )(d又, 0) 1 (aCf故曲线 L 的方程为：)0(2xaxaxy. )0()2(aaxyL 220dDaxaxaxx 220482d33axxxa 2.a 2. 设.)0(122zyxz，计算曲面积分.) 1(
9、 322233dxdyzdzdxydydzxI 解题过程是：.1122yxxoy.) 1(322) 1(32211233233dxdyzdzdxydydzxdxdyzdzdxydydzxI dxdydzzyxdxdyzdzdxydydzx)(6) 1(322222331.2)1 ()1 (2112)(623221020101022 drrrrrrdzrzdrdr而 123322133) 1(322yxdxdydxdyzdzdxydydzx故.32I.01232932. 3222zyxzyx 解题过程是：),(, 932),(:000222zyxMzyxzyxF,.,2 , 3, 2,2 ,6
10、,4,2 ,6 ,4,000000nnnzyxnzyxFFFnzyxrrrrr,2,2,22 36 24 000000zyxzyx. 2, 92322, 132),(222202020000 zyxzyxM.),2, 1 , 1(),2 , 1, 1 (. 9232, 9232zyxzyx).(4,0d21(1)()0(), 0()(. 4222222tftyxhzVyxfztftttf解题过程是：d dz z) ) 2 2r rf f( ( z zr rd dr rd d1 1f f( (t t) )式式可可写写为为解解：在在柱柱坐坐标标系系下下，等等2 20 02 2t t0 0h h0
11、02 22 2t t0 02 2 ) ) d dr r2 2r rf f( (3 3h hr r 2 2h h1 1即即，f f( (t t) )等式两边对等式两边对 t 求导得求导得 ),(38)(2 tfhhttf8 8h ht td dt td dt tf f( (t t) )3 3h h( (t t) )f f分分离离变变量量并并积积分分2 2C C4 4h ht tf f( (t t) ) )3 3h hl ln n( (得得2 22 2 1 1) ), ,3 3h hl ln n( (C C1 1, ,f f( (t t) )l li im mf f( (0 0) )由由原原等等式式可可得得2 20 0t t . .3 3h h) )e eh h3 31 1( (1 1f f( (t t) )2 24 4h ht t2 22 2 .0, 4),(2),(. 5222222yyxyxDyxyxyxf 解题过程是：解：（1）,24,2222yxyfxyxfyx22222),(yxyxyxf的驻
