第1篇运动学习题解答

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1、1第 1 章 运动学1-1 在质点运动中：已知 ， ， （k 为常数），求质点的轨迹方程。ektxadektyb0y解 由 ，得 ，考 虑初始条件积分dktybtkt得 0edtktb ektyb即 又因为 ，从 和 的表达式消去时间 ，得到轨迹方程ktyektxaty1-2 已知某光点在示波器荧屏上的运动方程为 ，式中 、12()cos s() rtAtitj 1A、 和 均为 已知非负常量，设 ，试求轨迹方程并就 、 和 分别讨论光点的运动2A12A04轨迹。解 由题意知 、 ，消去时间 ，可得光点的轨迹方程。因 为1cos xt2cos() ytt（1）1xA（2）2cos() =cos

2、sinyttt式（1）左右两边同乘 得sin（3）1cosinsixtA式（2）变形可得（4）221sinscocosyyxttA式（3）的平方加式（4）的平方，可消去 时间 ，即得光点轨迹t（5）2 2112csinxyxA可见，光点的轨迹一般情况下 为椭圆 ,与 值有很大关系。 讨论如下：2（1）当 时，式（5）简化为 ，光点的运 动范围为 、 ，轨021Ayx1,xA2,yA迹为通过原点在第一、三象限的线 段。（2）当 时，式（5）为 ，可以按此方程逐点描图绘出光点的轨迹曲线，42112A这是一个斜椭圆，如 图。光点的运动速度 在 、 方向的分量为xy1dsinxtt2dsin()yAt

3、t当 时， 、 ，光点沿斜 椭圆作逆时针方向运动。0t()2(0)04yA（3）当 时，式（5）简化为 ，光点的 轨迹为以坐轴为 主轴的正椭圆。同样，当221x时， 、 ，光点仍沿 椭圆作逆时针方向运动。0t()x2(0)sin0y1-3质点的运动方程为 。试求(1) 它的轨迹方程;(2)它在前三秒内的位2()346mrtitjk移；(3) 它在 5 秒末的速度与加速度。解 (1) 由于 ，消去 ，得到轨迹方程2,xtyt， 49x=6z0x即为在 的平面内 抛物线的右侧。=6z2y(2) ， 06mrk396mrijk前三秒内质点的位移 0 02习题 1-2 解用图3(3) 5s5d(38)

4、340m/st trijij225s/traj1-4质点的运动方程为 ，式中 为已知正常量。试求()cos in 6 rtRtjk R时的速度和加速度。0,s2t解 dsi cos m/srttjkt2inaR，0 6/sjk0 /saRi， m/2i 2 /2j*1-5 在 习题 1-2 中，当 时 光点的运动轨迹是椭圆， 试由运动速度判断该光点是顺时针运动还是逆时针运动。解 当 时，式（5）简化为 ，光点的 轨迹为以坐 轴为主轴的正椭圆。221xyA光点的运动速度 在 、 方向的分量 为1dsinxtt2dsin()yAtt当 时， 、 ，光点沿 椭圆作逆时针方向运动。0t()2(0)0y

5、A1-6 路灯距地面的高度为 ，身高为 的人以速率 在路hl上沿通过路灯杆的直线行走。求 (1) 头顶在地面影子移动速度的大小和加速度的大小；(2) 人在地面上影子增长速度的大小。解 (1) 建立如图 的坐标系，设人的坐标为 ，头顶影子的1x坐标为 ，设人移 动速度为 ，头顶 影子移动速度为 ，则 2xV1dxt2t习题 1-6 解用图4考虑到几何关系有 21hlx解得 xl头顶影子移动速度 (1)21dhVttl加速度的大小 (2)dal式（2）说明人加速行走，影子也将加速运 动。(2) 从图中可以看出，影子在地面上的长度为 ，影子增长速度的大小21xdlutth（ ）1-7 质点作圆周运动

6、， 时刻角位置 ，求 时刻的角速度和角加速度。t34-abc t解 23d()4tabtct261tc1-8 质点以 为半径做圆周运动，质点沿圆周所经历的路程的表达式为 ，其中 为常数，R 21btS求质点在 时刻的速率 及总加速度 。ta解 2d1()sbtt2ntaRta2tnbe或 2421ntbtaR与 的夹角 满足 at2tntbt1-9 已知质点沿半径为 的圆周运动，其角位置 ,求（1） 时，0.1 mR2 radt 2 st质点法向加速度和切向加速度各是多少？（2） 当切向加速度的大小正好是总加速度大小的一半时，角位置 的值是多少？5解 2)radt ( 2d()rad/stt2

7、/st0.m/Rt0.mtaR224sna(1) 2/st .16/(2) 总加速度大小 2420./sntat当切向加速度的大小正好是总加速度的一半时，即 ，解得41.6t223st角位置 /2) rad=.87 r (+31-10 质点沿半径为 的圆周运动， 总加速度 与速度 两者之间的夹角 保持不变,已知R时速率为 ,试求质点速率 随时间的变化规律。0t0解切向加速度 ，法向加速度 ，两式两边分别相比并分离变dcostat2sinaR量得 2taR由题意知 为常数, 考虑初始条件并积分得 tan02dtantR积分得 或 01tanR0tt1-11 一铁饼以 20m/s 的速度，45 0

8、 的仰角抛出，若把 铁饼当作质点，求铁饼在飞行过程中任意时刻的曲率半径。解 设 为抛射角，抛体任意时刻的速度00cosinigtj22 20 0sinttgt62020sindt gtagt加速度的大小恒为 g22022cos()inxntt gatt由法向加速度 得 2na32 300sincoxgtg代入 与 值得 03242t1-12质点沿 轴运动，已知加速度 ， 时， , ，求（1）x6 m/sat0t0m/s0 x质点的运动方程；（2）质点在前 2 秒内的位移和路程。解 (1)由 得 ，考 虑初始条件,积分得d6atdt即 30t 2(3)/st由 ，得 考虑初始条件,积分得dxt2

9、tx210ddtt质点的运动方程 3(10)mt(2) ， ，前 2 秒内质点的位移01mxx。x令 ，即当 ，质点速度改变符号，由负变为正，质点到达左边最远处，此 时2d3t1st，得前 2 秒内质点的路程18x02146msxx1-13质点具有加速度 ，在 时，其速度为零，位矢 。求 (1)在任6msaitjt 0 ri意时刻的速度和位矢；(2) 质点的轨迹方程。解 （1）由 得， ，积分并考 虑初始条件d2itjtd2ditj7得 00d(26)dtitj23m/stij由 得 ，积分并考 虑初始条件rt或 0 20(3)rttitj 23230 =(1) rtijtitj（2）由运动方

10、程 得， ， ，消去时间 得质点的轨迹方程为21) t1x3y（ ）/2()yx1-14质点沿 轴运动，加速度 （ 为正常量）， 设 时， 质点的速度为 ，位置xak0t0，求运 动 方程。0x解 由 得 或 ，积分并考虑初始条件datdktkt得 00t 0ekt由 得， ，积分得 dxt0 ettkt0(1)ktx1-15质点沿 轴运动，加速度 （ 、 均为正常量），设 时，质点的速度3aAxBt，位置 ，求质点在任意位置 的速度。00x解 由加速度的定义得 ，即 ，积分并考虑初始条件ddtxtdax得 3000d()xxaAB 24BA1-16质点以初始角速度 作圆周运动，设运动过程中角

11、加速度 （ 为正常量），求 质点k的角速度从 变为 所需要的时间。02解 由 得 ，积分 dtdkt020dtk得所需时间 lnt1-17质点作圆周运动，设 时，角速度为 ，角位置 为 ，运动过程中角加速度0t008习题 1-20 计算等腰直角三角形薄板的质心习题 1-20 解用图（ 为正常量），求质点在任意角位置 的角速度。sink解 由角加速度的定义得 ，即 ，积分ddttd000sink角速度 2(co)1-18 在相对地面静止的坐标系内， 、 两船都以 的速率匀速行驶， 船沿 轴正向运AB m/sAx动， 船沿 轴 正向运动。求在 船上看 船的速度。By解 以地为基本参照系 ， 船为

12、运动参照系， 船为运动物体，则 ， 。KAK2iBjBAK2 m/sij1-19 将 、 两物体同时以速度 、 抛出，试证明在飞行过 程中任意时刻物体 相对于物体AAB B的速度为常矢量。证明 、 两物体均作抛体运动，任意 时刻物体 的速度 ， 的速度A1Agt，两物体的相 对速度2Bgt BA1-20 如图，求质 量为 、边长为 的等腰直角三角形均匀薄板的 质心位置。ma解 等腰直角三角形均匀薄板的质量面密度 。根据对称性，有质心坐标 。如解用图，2m0Cy在 处取宽为 的矩形质元，则 其质量 xd 2ddyxa2043aCxm1-21 汽 车发动机的转速在 内由7s 20 r/min增加到 3，假定是匀变 速的，求（1）求在这段时间 内的初角速度和末角速度以 及角加速度；（2）这段时间 内转了多少转？（3）发动机轴上装有一半径为 0.2 mr的飞轮。求它 的边缘上一点9在第 末的切向加速度、法向加速度和 总加速度的大小。7 s解 （1） 0220=rad/srad/s=r/s20.9rad/s663n1=34角加速度