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1、算术平均数与几何平均数（算术平均数与几何平均数（1 1）教学目的：教学目的： 1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理. 2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当 这两个数相等. 3通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的 能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力. 教学重点：教学重点：均值定理证明 教学难点：教学难点：等号成立条件 教学过程教学过程： 一、复习引入：不等式的基本性质一、复习引入：不等式的基本性质. . 二、讲解新课：二、讲解新课： 1重要不等式：如果)“(2R,22号
2、时取当且仅当那么baabbaba2定理：如果 a,b 是正数，那么).“(2号时取当且仅当baabba说明：）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定baba,2为baab,为理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.）成立的条件是不同的：前者只要求 a,b 都是实数，而abbaabba2222和后者要求 a,b 都是正数. ） “当且仅当”的含义是充要条件. 3均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”. 以长为 a+b 的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 AC=a,CB=b.过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD,那么CBCACD2，即abCD 这个圆的半径
3、为，显然，它不小于 CD，即2ba abba 2 ，其中当且仅当点 C 与圆心重合；即 a=b 时，等号成立. 三、讲解范例：三、讲解范例： 例例 1 已知 x,y 都是正数，求证：（1）如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值;2 P（2）如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时，积 xy 有最大值.412S说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ）函数式中各项必须都是正数;ababDDABC)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；）等号成立条件必须存在.例例 2 2 已知：ab0，求证：. 当且当 a=b 时等号成立.2ba ab
4、反思：由本例可以得出什么结论？例例 3 3 已知 a,b 都是正数，求证222.1122abababab 当且当 a=b 时等号成立. （介绍 n 个正数的“调和平均数” 、 “几何平均数” 、 “算术平均数” 、 “平方平均数”的概 念及它们的关系） 四、课堂练习四、课堂练习： 1.已知a、b、c都是正数，求证（ab） （bc） （ca）abc 2.已知x、y都是正数，求证：（xy） （x2y2） （x3y3）x3y3.3.求证：（）2.2ba 222ba 五、作业五、作业：(1)“ab2”是“aR R，bR R”的( )abA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分
5、也不必要条件(2)设ba0，且ab1，则此四个数，2ab，a2b2，b中最大的是( )21A.b B.a2b2 .2ab D. 21(3)设a，bR R，且ab，ab2，则必有( )A.1ab B.ab1 C.ab1D. ab1222ba 222ba 222ba 222ba (4)已知a，bR R且ab4，则下列各式恒成立的是( )A. B.1 .2 D.211abba11ab41122 ba (5)若ab0，则下面不等式正确的是( )A. B.abba baab22abbaabba2 2C. D.22baabbaab22ba baabab(6)若a，bR R 且ab，在下列式子中，恒成立的个
6、数为（ ）a23ab2b2 aba3b2a2b3 a2b22（ab1） 2ab baA.4 B.3.2 D.1 (7)设a，b，c是区间(0，1)内的三个互不相等的实数且plogc，q，r，则p，q，r的大小关系是( ) 2ba 2loglogbacc 2log21bacA.pqr B.pqrC.rPq D.prq算术平均数与几何平均数（算术平均数与几何平均数（2 2）教学目的：教学目的： 1.进一步掌握均值不等式定理； 2.会应用此定理求某些函数的最值； 3.能够解决一些简单的实际问题. 教学重点：教学重点：均值不等式定理的应用 教学难点：教学难点：解题中的转化技巧 教学过程教学过程： 一、
7、复习引入：一、复习引入： 1重要不等式：（1）如果)“(2R,22号时取当且仅当那么baabbaba（2）如果 a,b 都是正数，那么 222.1122abababab 当且当 a=b 时等号成立. 2.上课时中“例 1”的条件、结论及注意事项. 二、讲解新课：二、讲解新课：定理：如果，那么（当且仅当 a=b=c 时取“=” ）Rcba,abccba3333推论：如果，那么 （当且仅当 a=b=c 时取“=” ）Rcba,3 3abccba三、例题三、例题例例 1 已知 a,b,c,d 都是正数，求证：abcdbdaccdab4)(例例 2 求下列函数的最小值，并求相应的求下列函数的最小值，并
8、求相应的 x 值值.1(1)(0);1 (5)(2)(2)(1).1yxxx xxyxx 例例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3,深为 3m，如果池底每 1m2的造价为 150 元，池壁每 1m2的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？四、课堂练习四、课堂练习：1.已知x0，当x取什么值时，x2的值最小?最小值是多少?281 x 2.一段长为 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少 时，菜园的面积最大，最大面积是多少?四、作业四、作业：(1)求函数 y2x2（x0）的最小值.x3(2)求函数yx2（x0）的最
9、小值.41 x(3)求函数y3x22x3（0x）的最大值.23(4)求函数yx（1x2） （0x1)的最大值.(5)设a0，b0，且a21，求a的最大值.22b21b算术平均数与几何平均数（算术平均数与几何平均数（3 3）教学目的：教学目的： 1.进一步掌握均值不等式定理； 2.会应用此定理求某些函数的最值； 3.能够解决一些简单的实际问题. 教学重点：教学重点：均值不等式定理的应用 教学难点：教学难点：解题中的转化技巧 教学过程教学过程： 一、复习引入：一、复习引入： 1重要不等式：（1）如果)“(2R,22号时取当且仅当那么baabbaba（2）如果 a,b 都是正数，那么222.1122
10、abababab 当且当 a=b 时等号成立.（3）如果 ab0，那么. 当且当 a=b 时等号成立.2ba ab（4）如果，那么（当且仅当 a=b=c 时取“=” ）Rcba,abccba3333（5）如果，那么 （当且仅当 a=b=c 时取“=” ）Rcba,3 3abccba2. 利用“均值不等式”求最值. 二、例题例例 1 1 （1）已知 lgx+lgy=2,求的最小值；yx11（2）已知 x0,y0,且 2x+5y=20,求 lgx+lgy 的最大值；（3）已知 0b0,求的最小值.1 ()aab b（2）已知,求的最大值.310 x)31 (2xx例例 4 4 求函数的最小值.)0
11、(sin9sinxxxy例例 5 5 从一块半径为 R 的半圆铁板上剪一块矩形，当矩形的长和宽各取多少时矩形的面积最 大，并求这个最大面积.三、作业1.填空 （1）如果 ba0,则 b,2ab,a2+b2的大小顺序是 .(2) 函数的最小值是 222 ) 1(164)(xxxf（3）当 x= 时，函数取得最大值 )20)(24()(22xxxxf（4）若 x0，的最大值是 xxxf24618)(（5）若 ab+bc+ca=1,则当 时|a+b+c|取得最小值 （6）的最大值是 22 21, 12, 0, 0bababa则设（7）的最小值是 45)( 22 xxxf（8）若 x2+y2=1,S=
12、(1-xy)(1+xy),则 S 的取值范围是 （9）若 xy0,x2y=2,则 xy+x2 的最小值为 2.已知的最小值.2160,()abab ab求3.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽 2 米的无 盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体 的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与 a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料 60 平方米，问a、b各为多少米 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计).4.如图，在ABC中，0，AC3，B4，一条直线分AB的面积为相等 的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长.
