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1、人教版数学选修精品推理与证明推理与证明2. 2 .1 直接证明直接证明-综合法与分析法综合法与分析法1教学目标：教学目标：知识与技能知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综 合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 过程与方法过程与方法: : 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问 题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。2教学重点：教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点3教学难点教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点4教具准备：教具准备：与教材内容相关的资料。5教学
2、设想：教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。6教学过程教学过程: 学生探究过程学生探究过程： 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基 本证明方法-直接证明与间接证明。 若要证明下列问题：已知 a,b0,求证2222()()4a bcb caabc 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教 师最后归结证明方法。 学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法 设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为,2
3、22,0bcbc a所以,22()2a bcabc因为,222,0caac b所以.22()2b caabc因此, .2222()()4a bcb caabcP 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论 1.1. 综合法综合法 综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等 式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法奎屯王新敞新疆用综合法证明不等式的逻辑关系是： 11223().nPQQQQQQQ综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和 公式，推出结论的一种证明方法奎屯王新敞新疆例例 1 1、在A
4、BC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为,且 A,B,C 成等差数列, , ,a b c成等比数列,求证ABC 为等边三角形., ,a b c 分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是 2B =A + C; A , B , C 为ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是 A + B + C =； a , b，c 成等比数列，转化为符号语言就是此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和2bac边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求于是，可以用余弦定理 为工具进行证明 证明证明：由 A, B, C 成等差数列，有 2B=A + C 因为
5、 A,B,C 为ABC 的内角，所以 A + B + C= 由 ，得 B=.3由 a, b，c 成等比数列，有.2bac 由余弦定理及，可得. 222222cosbacacBacac再由，得.22acacac, 2()0ac 因此.ac 从而 A=C. 由，得A=B=C=.3所以ABC 为等边三角形 解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号 语言转换成图形语言等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来例例 2 2、已知求证,Rba.abbababa 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不
6、妨设ba,. 0 ba，从而原不等式得证。0)(0bababbabbabababababaQ2）商值比较法：设, 0 ba故原不等式得证。, 0, 1babaQ. 1)(ba abbaba baba注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤 是：作差（或作商） 、变形、判断符号。 讨论讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？1x 2. 分析法分析法 证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件， 明尸 2 成立，再去寻求尸 2 成立的充分条件尸 3 件、定理、定义、公理等）为止乞， 再去寻求尸 1 成立的充分条件
7、尸 2 ；为了证 直到找到一个明显成立的条件（已知 条即使 Q 成立的充分条件尸 1 为了证明尸 1 成立， 分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条 件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备， 那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法奎屯王新敞新疆用分析法证明不等式的逻辑关系是： 1121().()nnnQPPPPPPP分析法的思维特点是：执果索因奎屯王新敞新疆分析法的书写格式：要证明命题 B 为真，只需要证明命题为真，从而有1B这只需要证明命题为真，从而又有2B 这只需要证明命题 A 为真奎屯王新敞新疆而已知 A
8、 为真，故命题 B 必为真奎屯王新敞新疆例例 3 3、求证5273证明：因为都是正数，所以为了证明5273和5273只需证明22)52()73(展开得 2021210即 2521,10212因为成立，所以2521成立22)52()73(即证明了5273 说明：分析法是“执果索因” ，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立 统一的两种方法奎屯王新敞新疆 分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真， 这只需要证明命题B1为真，从而有 这只需要证明命题B2为真，从而又有 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故B必真 在本例中，如果我们从“210 时,欲证原不等式成立, 只需
9、证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2) 即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 即证 2abcdb2c2+a2d2 即证 0(bc-ad)2 因为a,b,c,dR R,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立奎屯王新敞新疆 分析二:用综合法 证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2) =(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd奎屯王新敞新疆)(2222dcba故命题得证奎屯王新敞新疆 分析三:用比较法
10、 证法三:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20, (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd,)(2222dcba即ac+bd奎屯王新敞新疆)(2222dcba例例 5 5、设 a、b 是两个正实数，且 ab，求证：a3+b3a2b+ab2证明：(用分析法思路书写)要证 a3+b3a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立，即需证 a2-ab+b2ab 成立。(a+b0)只需证 a2-2ab+b20 成立，即需证(a-b)20 成立。而由已知条件可知，ab，有 a-b0，所以(a-b)20 显然成立，由此命题得证。(以下用综合法思路书写)ab，a-b0，(a-b)20，即 a2-2ab+b20亦即 a2-ab+b2ab由题设条件知，a+b0，(a+b)(a2-ab+b2)(a+b)ab 即 a3+b3a2b+ab2，由此命题得证.
