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1、必修四必修四 第二章平面向量第二章平面向量(A)(A)一、选择题 1、如图所示,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是( )A. B. C. D.2、设向量 a(1,0),b( , ),则下列结论中正确的是( )1212A|a|b| Bab22 Cab 与 b 垂直 Dab3、已知三个力 f1(2,1),f2(3,2),f3(4,3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡, 现加上一个力 f4,则 f4等于( ) A(1,2) B(1,2) C(1,2) D(1,2)4、已知正方形 ABCD 的边长为 1,a,b,c,则 abc 的模等于( ) A0 B2 C.
2、D22225、若 a 与 b 满足|a|b|1, a,b60,则 aaab 等于( )A. B. C1 D21232326、若向量 a(1,1),b(1,1),c(1,2),则 c 等于( )A a b B. a b12321232C. a b D a b321232127、若向量 a(1,1),b(2,5),c(3,x),满足条件(8ab)c30,则 x( ) A6 B5 C4 D38、向量(4,3),向量(2,4),则ABC 的形状为( )A等腰非直角三角形 B等边三角形 C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形9、设点 A(1,2)、B(3,5),将向量按向量 a(1,1)平移后得到为( )
3、 A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,7)10、与向量 a(1,)的夹角为 30的单位向量是( )3A( ,)或(1,) B(, )123233212C(0,1) D(0,1)或(, )321211、在菱形 ABCD 中,若 AC2,则等于( ) A2 B2 C|cos A D与菱形的边长有关12、若 a(,2),b(3,5),且 a 与 b 的夹角是钝角,则 的取值范围是( )A. B.(103,)103,)C. D.(,103)(,103二、填空题 13、已知向量 a(2,1),b(1,m),c(1,2),若(ab)c,则 m_.14、已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30
4、,|a|2,|b|,则向量 a 和向量 b 的数量积 ab_.315、已知非零向量 a,b,若|a|b|1,且 ab,又知(2a3b)(ka4b),则实数 k 的值为_16、如图所示,半圆的直径 AB2,O 为圆心,C 是半圆上不同于 A,B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上 的动点,则()的最小值是_三、解答题17、已知向量、 、满足条件0,|1. 求证:P1P2P3是正三角形18、已知 a,b,c 在同一平面内,且 a(1,2) (1)若|c|2,且 ca,求 c;5(2)若|b|,且(a2b)(2ab),求 a 与 b 的夹角5219、已知|a|2,|b|3,a 与 b 的夹角为 6
5、0,c5a3b,d3akb,当实数 k 为何值时,(1)cd;(2)cd.20、已知|a|1,ab ,(ab)(ab) ,求:1212 (1)a 与 b 的夹角; (2)ab 与 ab 的夹角的余弦值21、在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,2),B(2,3),C(2,1) (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数 t 满足(t)0,求 t 的值22、已知正方形 ABCD,E、F 分别是 CD、AD 的中点,BE、CF 交于点 P.求证:(1)BECF; (2)APAB.以下是答案 一、选择题 1、A 根据正六边形的几何性质, , , ,63,
6、, , .223.当 a 与 b 共线时, ,.此时,a 与 b 同向,.10332565103二、填空题 13、1 解析 a(2,1),b(1,m),ab(1,m1) (ab)c,c(1,2),2(1)(m1)0.m1.14、3 解析 ab|a|b|cos 302cos 303.315、6 解析 由(2a3b)(ka4b)2ka212b22k120,k6.16、12 解析 因为点 O 是 A,B 的中点,所以2,设|x,则|1x(0x1)所以()22x(1x)2(x )2 .1212当 x 时,()取到最小值 .1212三、解答题 17、证明 0, ()2()2, |2|22|2, ,12c
7、osP1OP2 ,12P1OP2120.同理,P1OP3P2OP3120,即、 、中任意两个向量的夹角为 120,故P1P2P3是 正三角形18、解 (1)ca,设 ca,则 c(,2) 又|c|2,2,c(2,4)或(2,4)5(2)(2ab),(a2b)(2ab)0.(a2b)|a|,|b|,ab .55252cos 1,180.ab|a|b|19、解 由题意得 ab|a|b|cos 6023 3.12 (1)当 cd,cd,则 5a3b(3akb)35,且 k3,k .95 (2)当 cd 时,cd0,则(5a3b)(3akb)0.15a23kb2(95k)ab0,k.291420、解
8、(1)(ab)(ab)|a|2|b|21|b|2 ,|b|2 ,|b|,121222设 a 与 b 的夹角为 ,则 cos .45.ab|a|b|121 2222(2)|a|1,|b|,22|ab|2a22abb212 .|ab|,12121222又|ab|2a22abb212 .|ab|,121252102设 ab 与 ab 的夹角为 ,则 cos .即 ab 与 ab 的夹角的余弦值为abab|ab|ab|122210255.5521、解 (1)(3,5),(1,1), 求两条对角线的长即求|与|的大小 由(2,6),得|2,10由(4,4),得|4.2(2)(2,1),(t)t2,易求11,25,由(t)0 得 t.11522、证明 如图建立直角坐标系 xOy,其中 A 为原点,不妨设 AB2, 则 A(0,0),B(2,0),C(2,2), E(1,2),F(0,1) (1)(1,2)(2,0)(1,2), (0,1)(2,2)(2,1), 1(2)2(1)0, ,即 BECF. (2)设 P(x,y),则(x,y1),(2,1), ,x2(y1),即 x2y2. 同理由,得 y2x4,代入 x2y2.解得 x ,y ,即 P.6585(65,85)22242,(65)(85)|,即 APAB.