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1、数学专题十数学专题十 圆锥曲线及其应用圆锥曲线及其应用【考点精要考点精要】考点一考点一. . 椭圆、双曲线、抛物线的离心率。椭圆、双曲线、抛物线的离心率。如：设双曲线22221xy ab（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B. 2 C. 5 D. 6 考点二考点二. . 圆锥曲线的第一或第二定义。圆锥曲线的第一或第二定义。如：已知椭圆2 2:12xCy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFBuu u ruu u r,则|AFuuuu r=( )A. 2 B. 2 C.3 D. 3 考点三考点三. . 圆锥曲线的渐
2、近线的方程和离心率等概念之间的关系。圆锥曲线的渐近线的方程和离心率等概念之间的关系。直线与圆 锥曲线的位置关系,考查学生对基本概念、基本方法和基本技能的掌握。如：设双曲线)0, 0( 12222 baby ax的虚轴长为 2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为( )A. xy2 B. xy2 C. xy22 D. xy21考点四考点四. . 圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径。圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径。将圆锥曲线的相关知识与 向量等知识相结合，考查圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径等知识。 考点五考点五. . 圆锥曲线中有关角、线段、面积。圆锥曲线中有关角、线段、面积。以圆锥曲线为依托，借
3、助点与 线的关系，考查圆锥曲线中有关角、线段、面积等知识，考查综合运算能力。如：设抛物线2y=2x 的焦点为 F，过点 M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B 两点，与抛物线的准线相交于 C，BF=2，则BCF 与ACF 的面积之比BCFACFS S=( )A. 4 5B. 2 3C. 4 7D. 1 2 考点六考点六. . 圆锥曲线中有关的距离最短、距离之和最小。圆锥曲线中有关的距离最短、距离之和最小。利用圆锥曲线与直 线的特殊关系，研究有关的距离最短、距离之和最小等，考查学生分析问题、解决问题以及数形结合的能力。如：已知直线1:4360lxy和2:1lx ，抛物线24yx上一动点P到1l和
4、2l的距离之和的最小值是( )A.2 B.3 C.11 5D.37 16考点七考点七. . 待定系数法求曲线方程。待定系数法求曲线方程。能用待定系数法求曲线方程，处理直线 与圆锥曲线的相关问题以及有关对称问题。此类问题多属于中档或高档题。如：过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点，直线y=21x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.考点八考点八. . 求圆锥曲线方程的方法。求圆锥曲线方程的方法。能运用多种方法（如：直接法、定义法、 几何法、代入法、参数法、交规法等）求圆锥曲线的方程，求动点轨迹时应
5、注 意它的完备性和纯粹性。 巧点妙拨巧点妙拨 1. 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们 的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类 讨论和数形结合的思想方法. 2. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不 求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不 求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖 掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 3. 求圆锥曲线中的最值问题解决方法一般有两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来做
6、非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲 线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、 函数的单调性或三角函数的有界性等求最值。 【典题对应典题对应】例例 1.(20091.(2009山东山东) )设mR,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)amx yr ,向量( ,1)bx yr ,abrr ,动点( , )M x y的轨迹为 E.（1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知41m,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且OAOB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知41m,设直线l与圆 C:222x
7、yR(1R2)相切于 A1,且l与轨迹 E只有一个公共点 B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 命题意图：命题意图：本题主要考查直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位 置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题。解析：解析：（1）因为abrr ,(,1)amx yr ,( ,1)bx yr ,所以2210a bmxy r r , 即221mxy.当 m=0 时,方程表示两直线,方程为1y;当1m 时,方程表示的是圆;当0m且1m时,方程表示的是椭圆；当0m时,方程表示的是双曲线.(2)当41m时,轨迹 E 的方程为2 214xy,设圆心在原点的
8、圆的一条切线为ykxt,解方程组2 214ykxtxy 得224()4xkxt,即222(14)8440kxktxt,要使切线与轨迹 E恒有两个交点 A,B,则使=2 222226416(14)(1)16(41)0k tktkt,即22410kt ,即2241tk, 且12221228 14 44 14ktxxk tx xk 222 222 222 12121212222(44)84()()()141414ktk ttky ykxt kxtk x xkt xxttkkk,要使OAOBuu u ruuu r , 需使12120x xy y,即222222224445440141414ttktk
9、kkk,所以225440tk, 即22544tk且2241tk, 即2244205kk恒成立.所以又因为直线ykxt为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21tr k ,2 2 2 224(1)45 115ktrkk , 所求的圆为224 5xy.当切线的斜率不存在时,切线为552x,与2 214xy交于点)552,552(或)552,552(也满足OAOB.综上, 存在圆心在原点的圆224 5xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点 A,B,且OAOBuu u ruuu r .(3)当41m时,轨迹 E 的方程为2 214xy,设直线l的方程为ykxt,因为直线l与圆 C:22
10、2xyR(1R2)相切于 A1,由（2）知 21tR k , 即222(1)tRk ,因为l与轨迹 E 只有一个公共点 B1,由（2）知2 214ykxtxy 得224()4xkxt,即222(14)8440kxktxt有唯一解.则=2 222226416(14)(1)16(41)0k tktkt, 即22410kt , 由得2 2 22 2 23 4 1 4RtR RkR, 此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点，由12221228 14 44 14ktxxk tx xk 中21xx ,所以,22 2 122441616 143tRxkR, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以2 22 1
11、1214143RyxR ,所以222 11124|5OBxyR,在直角三角形 OA1B1中,22222 11112244|55()ABOBOARRRR因为2 244RR当且仅当2(1,2)R 时取等号,所以2 11|541AB,即当2(1,2)R 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1.名师坐堂：名师坐堂：对于两个向量垂直，0,),(),(ynxmbanmbyxa则有若。求圆锥曲线的轨迹方程时一定要注意检验，所求方程中含有参数是要注意讨论。研究直线时应注意斜率不存在 的情况。例例 2.2.（20112011山东山东 22)22)已知动直线l与椭圆C：22 132xy交于1122,P x yQ
12、xy两不同点，且OPQ的面积6 2OPQS，其中O为坐标原点（）证明：22 12xx和22 12yy均为定值；（）设线段PQ的中点为M，求OMPQ的最大值；（）椭圆C上是否存在三点,D E G，使得6 2ODEODGOEGSSS？若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由 命题意图：命题意图：本题主要考查直线方程、椭圆的标准方程、面积公式、一元二 次方程的根与系数的关系、求最值的方法以及分类讨论的思想，考查学生解析几何的基本思想方法，考查逻辑推理、运算能力解析：解析：（）当直线l的斜率不存在时，,P Q两点关于x轴对称，则1212,xxyy ，由11,P x y在椭圆上，则22 11132
13、xy，而116 2OPQSx y，则116,12xy于是22 123xx，22 122yy.当直线l的斜率存在，设直线l为ykxm，代入22 132xy可得2223()6xkxm，即222(23)6360kxkmm，0 ，即2232km2121222636,2323kmmxxx xkk 222 12121211()4PQkxxkxxx x22 2 22 6 32123kmkk21md k ，222112 6 326 22232POQkmSd PQmk则22322km，满足0 2 2222 1212122263(2)()2()232323kmmxxxxx xkk ，222222 12121222
14、2(3)(3)4()2333yyxxxx，综上可知22 123xx，22 122yy.（）当直线l的斜率不存在时，由（）知1626;2OMxPQ当直线l的斜率存在时，由（）知123 22xxk m ，2 121231()222yyxxkkmmmm ，22221212 2229111()()(3)2242xxyykommmm22222 222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)kmmPQkkmm22221125(3)(2)4OMPQmm，当且仅当221132mm，即2m 时等号成立，综上可知OMPQ的最大值为5 2。（）假设椭圆上存在三点,D E G，使得6 2ODEODGOEGSSS，由（）知2222223,3,3DEEGGDxxxxxx，2222222,2,2DEEGGDyyyyyy.解得2223 2DEGxxx,2221DEGyyy，因此,DEGxxx只能从6 2中选取，,DEGyyy只能从1中选取，因此,D E G只能从6(, 1)2中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与6 2ODEODGOEGSSS相矛盾，故椭圆上不存在三点,D E G，使得6
