高数第二篇线性代数 第六讲期望与方差

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1、第五讲：离散型随机变量的分布列第五讲：离散型随机变量的分布列 一：基础知识归纳一：基础知识归纳 1、试验与随机试验：凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验一个试验如果满足下述条件：可 以在相同的情形下重复进行；实验的可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结 果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪个结果。它就称为一个随机试验。 2、随机变量：如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 3、离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，我们可以按一定的次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随 机变量 4、离散型随机变量的概率分布列及

2、其性质：设离散型随机变量 可能取的值为小 x1，x2，xi， 取每一个值 xi (i1，2，3，)的概率 Pi (xi)Pi，则称表x1x2xi PP1P2Pi 为随机变量 的概率分布，它具有以下性质：Pi0，i1，2，3，；P1+ P2+1离散型随机变量在某一 范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 5、二项分布：如果在第一次实验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复实验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 P(=K)=pk(1-P)n-k，其中 k0、1、2、3、n， 于是得到随机变量 的概率分布如下01KnP p0(1-P)n0p1(1-P)n-11pk(1-P)n-

3、kpn由于恰好是 (1-p)+p)n的二项展开式中的第 k+1(k0，l，2，3，n)项的各个值，故称为随机变量 的二项分布， 记作 一 B(n，P) 6、期望与方差期望：若离散型随机变量 的概率分布为 P(xi)Pi，i1，2，3，则称 Ex1 P1 + x2 P2 + xi Pi+ 为 的数学期望或平均数、均值特别地，若 B(n，P)，则np方差：我们把(x1-E)2+（x2- E)2 +（xi - E)2 +叫做随机变量 的均方差，简称为方差，记作 D，标准 差是 =特别地，若 B(n，P)，则 DnpqD性质：E(a+b)aE+b，D(a+b)a2D (a、b 为常数) 二：典例归类二

4、：典例归类 例 1、投掷均匀硬币一次，随机变量为( )A、出现正面的次数 B、出现正面或反面的次数 C、掷硬币的次数 D、出现正、反面次数之和牛刀小试 1、下列变量是离散型随机变量还是连续型随机变量：连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数 ；某工厂加工某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差 投掷一个骰子，六面刻上数字 1-6，所得的点数 2、写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：盒中装有 6 支白粉笔和 2 支红粉笔，从中任意取出 3 支，其中所含白粉笔的支数 ，所含红粉笔的支数 ；从 4 张已编号(1 号4 号)的卡片中任意取出 2 张，被取出的卡片号数之和

5、 ； 离开天安门的距离 ；袋中有大小完全相同的红球 5 个，白球 4 个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束； 若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取 球次数 3、某校为学生定做校服，规定凡身高不超过 160 cm 的学生交校服费 80 元凡身高超过 160cm 的学生，身高每超 出 1 cm 多交 5 元钱(不足 1 cm 时按 1 cm 计)若学生应交的校服费为 ，学生身高用 表示，试写出 与 之间的关系式例 2、一盒中有 9 个正品和 3 个次品零件，每次取一个零件， 如果每次取出的产品都不放回此批产品中，求在取得

6、正品前已取出的次品数 的概率分布；如果每次取出是次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数 的概率分布，并求 P( )1 25 2如果次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品，求在取得正品前已取出的次品 数 的概率分布 如果每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中，求在取得正品前已取出的次品数 的 概率分布。牛刀小试 1、已知随机变量 的分布列为-2-10123P1 123 124 121 122 121 12分别求出随机变量 1， 22的分布列。1 22、一袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，在袋中同时取 3 只，以 表示取出的 3 只球中的最大号码，写出 随机

7、变量车的分布列？ 3 将 3 个小球任意地放入 4 个大的玻璃杯中去，杯子中的最大个数记为 ；求 的分布列？ 4、设某项试验的成功中是失败率的 2 倍，用随机变量 去描述 1 次试验的成功次数，则 P(=0)=_ 5、某射手进行射击练习，每射击 5 发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组的练习，否则一直打完 5 发子弹后才能进入下组练习并且已知他射击次的命中率为 0.8，求在这一组练习中耗用子弹数 的分布列？ 6、某厂生产的电子元件，其每件产品的次品率为 5(即每件为次品的概率)，现从一批产品中任意连续的取出 2 件，其中次品数 的概率分布是_； 7、设某射手每次射击打中目标的概率是

8、0.8，现在连续射击 4 次，求击中目标的次数 的概率分布 例 3、一名学生在军训中，练习射击项目，他命中目标的概率是 ，共射击 6 次1 3求这名学生在第 3 次射击时，首次命中目标的概率求这名学生在射击过程中，命中目标数 的期望牛刀小试 1、某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得 100 分，回答不正确得-100 分假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响求这名同学回答这三个 问题的总得分 的概率分布和数学期望2、设随机变量 具有分布列为 P（=k）= （k=1，2，3，4，5，6)，求 E 和 E(2+3)；1 63、把

9、 4 个球随机地投入到 4 个盒子中去，设 表示空盒子的个数，求 E，D 4、设 （n,P）且 E=2.88，D=1.44，求 n，P例 4、甲、乙两人独立解出某一道题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为 0.36 求：(1)甲独立解出该题的概率；(2)解出该题的人数 的数学期望牛刀小试 1、甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概 率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学

10、期望2、甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每上岗位至少有一名志愿者. （）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； （）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （）设随机变量 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求 的分布列.3、袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n=1，2，3， 4)现从袋中任取一球， 若表示所取球的标号(1)求 的分布列、期望和方差；(2)若 =a-b，E1，D=11，试求 a,b 的值4、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约

11、.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响.1 2求： （）至少有 1 人面试合格的概率;（）签约人数的分布列和数学期望.5、为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2 000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡 (简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡3 41 32 3()在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率；(

12、)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望.6、某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；( 2)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率；(3)记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望，三：基础过关（三：基础过关（1） 1、某路口一天经过的车辆数为 ；某无线寻呼台一天内收到寻呼的次数为 ；一天之内的温度为 ； 某人一生中的身高为 ；射击运动员对

13、某目标进行射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，用 表示运动 员在射击中的得分上述问题中的 的离散型随机变量的是（ ）A B C D 2若随机变量 的概率分布如下表所示，则表中 a 的值为（ ）1234P 21 61 61aA1 B C D21 31 613设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第 次首次测到正品，则 P（=3）等于43 41A B C D)43()41(22 3C)41()43(22 3C)43()41(2)41()43(24抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为 ，则“4”表示试验的结 果为（ ）A第一枚为 5 点，

14、第二枚为 1 点 B第一枚大于 4 点，第二枚也大于 4 点C第一枚为 6 点，第二枚为 1 点 D第一枚为 4 点，第二枚为 1 点 5某 12 人的兴趣小组中，有 5 名“三好生” ，现从中任意选 6 人参加竞赛，用 表示这 6 人中“三好生”的人数，则下列概率中等于的是（ ）6 123 73 5 CCCAP（=2） BP（=3） CP（2） DP（3） 6若 P（n）=1-a，P（m）=1-b，其中 m3）=_10一个口袋中装有 5 个白球、3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放 回，直到红球出现 10 次时停止没停止时总共取了 次球，则 P（=12）等于_三：基础过关（三：基础过关（2） 1某人从家乘车到单位，途中有 3 个交通岗亭。假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且 概率都是 0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为：（ ）A0.4 B1.2 C D0.634 . 02已知 B(n，p)，E=8，D=1.6，则 n 与 p 的值分别是（ ）A100 和 0.08 B20 和 0.4 C10 和 0.2 D10 和 0.8 3随机变量 的分布列为135 p0.50.30.2 则其期望等于（ ）A1 B C4.5 D2.4314已知随机变量 的分布列为012