《高二数学练习卷抛物线及标准方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学练习卷抛物线及标准方程（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、欢迎登录 100 测评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.典型例题一典型例题一例例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1） （2）yx42)0(2aayx分析：分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 p，再写出焦点坐标 和准线方程 （2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 p 及焦点 坐标与准线方程解：解：（1），焦点坐标是（0，1） ，准线方程是：2pQ1y（2）原抛物线方程为：，xay12ap12当时，抛物线开口向右，0aap 41 2焦点坐标是，准线方程是：)0 ,41(aax41当时，抛物线开口向左，0aap 41 2焦点坐标是，准
2、线方程是：)0 ,41(aax41综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：0a2ayx )0 ,41(aax41典型例题二典型例题二例例 2 若直线与抛物线交于 A、B 两点，且 AB 中点的横坐标为 2，2 kxyxy82求此直线方程 分析：分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解另由于已知与直线斜率 及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k解法一：解法一：设、，则由：可得：),(11yxA),(22yxB xykxy82204)84(22xkxk直线与抛物线相交，且，则0k01kAB 中点横坐标为：，284 2221kkxx解得：或（舍去） 2k1k欢迎登录 1
3、00 测评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.故所求直线方程为：22 xy解法二：解法二：设、，则有),(11yxA),(22yxB22 212 188xyxy两式作差解：，即)(8)(212121xxyyyy2121218 yyxxyy ，421 xxQ444)(22212121kxxkkxkxyy故或（舍去） 448 kk2k1k则所求直线方程为：22 xy典型例题三典型例题三例例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切分析：分析：可设抛物线方程为如图所示，只须证明，则)0(22ppxy12MMAB以 AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切证明：证明：作于于M 为 AB
4、中点，作lAA 1lBBA11,1B于，则由抛物线的定义可知：lMM 11MBFBBAFAA11,在直角梯形中：AABB11ABBFAFBBAAMM21)(21)(21111，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切ABMM211说明：说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直 径的圆与相应的准线相交典型例题四典型例题四例例 4（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求 k 值xy42kxy 253（2）以（1）中的弦为底边，以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积为 9 时，求 P 点坐标 分析：分析：（1）题可利用弦长公式求 k， （2）题可利用面
5、积求高，再用点到直线距离求 P 点坐标解：解：（1）由得： kxyxy242 0)44(422kxkx欢迎登录 100 测评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.设直线与抛物线交于与两点则有：),(11yxA),(22yxB4,122121kxxkxx)21 (5)1 (54)(5)(21 (22 212 212 212kkkxxxxxxAB，即53)21 (5,53kAB4k（2），底边长为，三角形高9SQ53556 5392h点 P 在 x 轴上，设 P 点坐标是)0 ,(0x则点 P 到直线的距离就等于 h，即42 xy55612402220 x或，即所求 P 点坐标是（1，0）或（5，
6、0） 10x50x典型例题五典型例题五例例 5 已知定直线 l 及定点 A（A 不在 l 上） ，n 为过 A 且垂直于 l 的直线，设 N 为 l 上 任一点，AN 的垂直平分线交 n 于 B，点 B 关于 AN 的对称点为 P，求证 P 的轨迹为抛物 线 分析：分析：要证 P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明 P 点的轨迹符合抛物线的定义， 二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由 A 为定点，l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明且即可PNPA lPN 证明：证明：如图所示，连结 PA、PN、NB 由已知条件可知：PB 垂直平分 NA，且 B 关于 A
7、N 的对称点为 PAN 也垂直平分 PB则四边形 PABN 为菱形即有PNPA .lPNlABQ 则 P 点符合抛物线上点的条件：到定点 A 的距离与到定直线的距离相等，所以 P 点的 轨迹为抛物线典型例题六典型例题六例例 6 若线段为抛物线21PP)0(2:2ppxyC的一条焦点弦，F 为 C 的焦点，求证： pFPFP21121欢迎登录 100 测评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.分析：分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大 的我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知 识，把结论证明出来证法一：证法一：，若过 F
8、的直线即线段所在直线斜率不存在时，)0 ,2(pFQ21PP则有,pFPFP21pppFPFP2111121若线段所在直线斜率存在时，设为 k，则此直线为：，且设21PP)0)(2(kpxky),(),(222111yxPyxP由得： )2()2(pxkypxky 04)2(22 222pkxkpxk2221)2( kkpxx4221pxx根据抛物线定义有：pxxPPpxFPpxFP21211211,2,2则FPFPFPFPFPFP21212111 4)(2)2)(2(22121212121 pxxpxxpxx pxpxpxx 请将代入并化简得：pFPFP21121证法二：证法二：如图所示，设
9、、F 点在 C 的准线 l 上的射影分别是、，1P2P 1P 2PF且不妨设，又设点在、上的射影分别是 A、B 点，由抛1122PPmnPP2PFF 11PP 物线定义知，pFFmFPnFP,12又，AFP212BPP1221PPFPBPAF即nmn nmnp 欢迎登录 100 测评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.pnmmnnmp 2112)(故原命题成立典型例题七典型例题七例例 7 设抛物线方程为，过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为，求证：焦)0(22ppxy点弦长为2sin2pAB 分析：分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题证法一：证法一：抛物线的焦点为，)
10、0(22ppxy)0 ,2(p过焦点的弦 AB 所在的直线方程为：)2(tanpxy由方程组消去 y 得： pxypxy2)2(tan20tan)(tan4tan422222ppx设，则),(),(2211yxByxA 4)cot21 (tan)2(tan2212 2221pxxppxx又)(tan2121xxyy24222222 222212 2122 212sin2sin14)cot1 (cot4sec44)cot1 ()tan1 (4)()tan1 ()(tan1 (pppppxxxxxxAB 欢迎登录 100 测评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.即2sin2pAB 证法二：证法二
11、：如图所示，分别作、垂直于准线 l由抛物线定义有：1AA1BBcoscos11 BFpBBBFpAFAAAF于是可得出：cos1pAFcos1pBF22sin2cos12cos1cos1ppppBFAFAB故原命题成立典型例题八典型例题八例例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点，它的一个焦点为 F（1，0） ，对应于该焦点)32 , 3(P的准线为，过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB，若弦 AB 的长度不超过 8，且直线 AB1x与椭圆相交于不同的两点，求22322 yx（1）AB 的倾斜角的取值范围 （2）设直线 AB 与椭圆相交于 C、D 两点，求 CD 中点 M 的轨迹方程 分析：分析：
12、由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为 k，弦 AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出 k 的取值范围，从而可得的取值范围，求 CD 中点 M 的轨迹方程时，可设出 M 的坐标，利用韦达定理化简即可解：解：（1）由已知得故 P 到的距离，从而4PF1x4ddPF 曲线 C 是抛物线，其方程为xy42设直线 AB 的斜率为 k，若 k 不存在，则直线 AB 与无交点22322 yxk 存在设 AB 的方程为) 1( xky由可得： ) 1(42xkyxy0442kyky欢迎登录 100 测评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.设 A、B 坐标分别为、，则：)
13、,(11yx),(22yx442121yykyy22212 2122 212)1 (44)(1)(11 (kkyyyykkyykAB弦 AB 的长度不超过 8，即8)1 (422 kk12k由得： 223) 1(22yxxky0) 1(24)32(2222kxkxkAB 与椭圆相交于不同的两点，32k由和可得：或12k32k31 k13k故或3tan11tan3又，所求的取值范围是：或03443 32（2）设 CD 中点、),(yxM),(33yxC),(44yxD由得： 223) 1(22yxxky0) 1(24)32(2222kxkxk9325313231322 232) 1(2,3242
14、2222 4322132243kkkxkkxxxkkxxkkxxQQ则即32 3211522k32 52 x欢迎登录 100 测评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.3) 1(2) 1(23221222222 xyxykkxxykQ化简得：032322xyx所求轨迹方程为：)32 52(032322xxyx典型例题九典型例题九例例 9 定长为 3 的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到ABABxy 2AB轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标yAB 分析：分析：线段中点到轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值这是中点坐标问ABy 题，因此只要研究、两点的横坐标之和取什么最小值即可AB解：解：如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又Fxy 2ABACBD到准线的垂线为，、和是垂足，则M
