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1、2007200720082008 学年第二学期学年第二学期本科高等数学本科高等数学( (下下)试卷试卷一、填空题：一、填空题：16 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 请将答案写在指定位置上请将答案写在指定位置上.1. 平面0:1zy与平面0:2yx的夹角为 .2. 函数22yxz在点)2, 1 (处沿从点)2, 1 (到点)32, 2(的方向的方向导数为 . 3. 设( , )f x y是有界闭区域222:ayxD上的连续函数，则当0a时，Dadxdyyxfa),(1lim20.4. 区域由圆锥面222xyz及平面1z围成，则将三重积分22()fxydV在柱面坐标系下化
2、为三次积分为 .5. 设为由曲线32,tztytx上相应于t从0到1的有向曲线弧，RQP,是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：PdxQdyRdz _.6. 将函数)0( 1)(xxxf展开成余弦级数为_.二、单项选择题：二、单项选择题：712 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1818 分。下列每题给出的四个选项中，只有分。下列每题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内. .7. 若),(yxfz 有连续的二阶偏导数，且Kyxfxy ),(常数)，则( , )
3、yfx y（ ）(A) 22K ； (B) Ky； (C) )(xKy； (D) )(yKx.8. 设)(xf是连续的奇函数，)(xg是连续的偶函数，区域xyxxyxD, 10),(，则下列结论正确的是（ ）(A) 0)()( Ddxdyxgyf ； (B) 0)()( Ddxdyygxf ；(C) 0)()( Ddxdyygxf ； (D) 0)()( Ddxdyxgyf .9. 已知空间三角形三顶点)5 , 0 , 0(),1 , 1 , 1 (),3 , 2 , 1(CBA ，则ABC的面积为（ ）(A) 29 ； (B) 37 ； (C) 92 ； (D) 73 . 10. 曲面积分
4、dxdyz2在数值上等于( ) (A) 流速场izvrr2穿过曲面 指定侧的流量；(B) 密度为2z的曲面片 的质量；(C) 向量场kzFrr2穿过曲面 指定侧的通量；(D) 向量场kzFrr2沿 边界所做的功. 11处则此级数在处是收敛的在若级数1,4)2(1xxxcnn n ( ) (A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定. 12.级数121) 1(npnn的敛散性为 ( )(A) 当p 1 2时，绝对收敛； （B）当p 1 2时，条件收敛；(C) 当210 p 时，绝对收敛； （D）当01 2p 时，发散. 三、解答题：三、解答题：1320 小题，共小题，共
5、 5858 分分. .请将解答过程写在题目下方空白处请将解答过程写在题目下方空白处. .解答应写出文字说解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤. .13.（本题满分 6 分）设()x y zxyze 确定( , )zz x y，求全微分dz.14. （本题满分 8 分）求曲线 2223023540xyzxxyz在点（1,1,1）处的切线与法平面方程. 15.（本题满分 8 分）求幂级数nnxn0) 12( 的和函数.16.（本题满分 6 分）计算 dSzyxI)( ，其中为曲面5 zy被柱面 2522 yx所截下的有限部分.17.（本题满分 8 分）计算积分222(24
6、)(2) LIxxy dxxydy，其中L为曲线22355()()222xy 上从点(1,1)到(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.18.（本题满分 8 分）计算 xydxdydzdxzxyyzdydzI)(22，其中是由曲面224yxz与平面0y围成的有界闭区域的表面外侧.19.（本题满分 8 分）在第卦限内作椭球面1222222 czbyax的切平面，使切平面与三 个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.20. (本题满分 6 分)设)(),(xgxf均在ba,上连续，试证明柯西-施瓦茨不等式：答答 案案一、填空题：一、填空题：16 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分
7、分. 请将答案写在指定位置上请将答案写在指定位置上.1. 平面0:1zy与平面0:2yx的夹角为3.2. 函数22yxz在点)2, 1 (处沿从点)2, 1 (到点)32, 2(的方向的方向导数为321. 3. 设( , )f x y是有界闭区域222:ayxD上的连续函数，则当0a时，Dadxdyyxfa),(1lim20)0 , 0(f.4. 区域由圆锥面222xyz及平面1z围成，则将三重积分22()fxydV在柱面坐标系下化为三次积分为21100( ) rddrf r rdz.5. 设为由曲线32,tztytx上相应于t从0到1的有向曲线弧，RQP,是定义在上的连续三元函数，则对坐标的
8、曲线积分化为对弧长的曲线积分有：PdxQdyRdz 22222223() 149149149PxQyRds xyxyxy .6. 将函数)0( 1)(xxxf展开成余弦级数为)0()5cos513cos31(cos412122xxxxxL .二、单项选择题：二、单项选择题：712 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1818 分。下列每题给出的四个选项中，只有分。下列每题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内. .7. 若),(yxfz 有连续的二阶偏导数，且Kyxfxy ),(常数)，则(
9、, )yfx y（ D ）(A) 22K ； (B) Ky； (C) )(xKy； (D) )(yKx.8. 设)(xf是连续的奇函数，)(xg是连续的偶函数，区域xyxxyxD, 10),(，则下列结论正确的是（ A ）.(A) 0)()( Ddxdyxgyf ； (B) 0)()( Ddxdyygxf ；(C) 0)()( Ddxdyygxf ； (D) 0)()( Ddxdyxgyf . 9. 已知空间三角形三顶点)5 , 0 , 0(),1 , 1 , 1 (),3 , 2 , 1(CBA ，则ABC的面积为（ A）(A) 29 ； (B) 37 ； (C) 92 ； (D) 7310
10、. 曲面积分 dxdyz2在数值上等于( C ).(A) 流速场izvrr2穿过曲面 指定侧的流量；(B) 密度为2z的曲面片 的质量；(C) 向量场kzFrr2穿过曲面 指定侧的通量；(D) 向量场kzFrr2沿 边界所做的功. 11.处则此级数在处是收敛的在若级数1,4)2(1xxxcnn n ( D ) (A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定. 12.级数121) 1(npnn的敛散性为 ( A )(A) 当p 1 2时，绝对收敛； （B）当p 1 2时，条件收敛；(C) 当210 p 时，绝对收敛； （D）当01 2p 时，发散. 三、解答题：三、解答题
11、：1320 小题，共小题，共 5858 分分. .请将解答过程写在题目下方空白处请将解答过程写在题目下方空白处. .解答应写出文字说解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤. .13. （本题满分 6 分）设()x y zxyze 确定( , )zz x y，求全微分dz.解：两边同取微分 )(1()(dzdydxedzdydxzyx整理得 dydxdz.14. （本题满分 8 分）求曲线 2223023540xyzxxyz在点（1,1,1）处的切线与法平面方程. 解：两边同时关于x求导05323222dxdz dxdydxdzzdxdyyx，解得4749) 1 , 1
12、, 1 () 1 , 1 , 1 (dxdzdxdy，+-所以切向量为91(1,)1616T 切线方程为： 111 1691xyz；法平面方程为：16(1)9(1)(1)0xyz，即169240xyz.15.（本题满分 8 分）求幂级数nnxn0) 12( 的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为) 1 , 1(，0002) 12(nnnnnnxxnxn ，,22110nnnnnxxnxQ 设11)(nnxnxA ，则xxxdxnxdxxndxxAnnnxnnxnx 1)(11011010，) 11(x； xxxA1)(,)1 (12x 即,)1 (222 0xxnxnn 22 0)1 (1 11
13、 )1 (2) 12(xx xxxxnnn，) 11(x.16.（本题满分 6 分）计算 dSzyxI)( ，其中为曲面5 zy被柱面 2522 yx所截下的有限部分.解： dSxdSzyxI)5()( 2522255yxdxdydS2125252517.（本题满分 8 分）计算积分222(24)(2) LIxxy dxxydy，其中L为曲线22355()()222xy 上从点(1,1)到(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.解：xyP xQ4QABdyyxdxxyxI)2()42(222242211(24 )(8)xx dxydy 41 318.（本题满分 8 分）计算 xydxdydzdxz
14、xyyzdydzI)(22，是由曲面224yxz与平面0y围成的有界闭区域的表面外侧.解： xydxdydzdxzxyyzdydzI)(22 dVzx)(2224022020rdyrrdrd33219.（本题满分 8 分）在第卦限内作椭球面1222222 czbyax的切平面，使切平面与三 个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为),(000zyx，则切向量为)2,2,2(020202zcybxa，切平面方程为0)()()(020 020 020zzczyybyxxax，即120 20 20czzbyyaxx，则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 xyzV610002226zyxcba，令) 1(lnlnln),(22 0 22 0 22 0 000000czbyaxzyxzyxL解方程组1, 021, 021, 02122 0 22
