不等式证明(一)

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1、高二数学理科导学案直接证明与间接证明主备人：授课时间：2015/3 备课组长签字：12.22.2 直接证明与间接证明（一）直接证明与间接证明（一） 比较法、综合法、分析法比较法、综合法、分析法 一、三维目标一、三维目标 1 1、知识与技能：、知识与技能：结合已经学过的数学实例，进一步体会比较法、综合法和分析法。 2 2、过程与方法：、过程与方法：了解比较法、综合法、分析法的思考过程、特点. 3 3、情感、态度与价值观：、情感、态度与价值观：培养学生严谨的思维习惯。 二、学习重点与难点二、学习重点与难点： 根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用. 三、学法指导三、学法指导

2、当所证命题的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明；当所证的命题 与相应定义、定理、公理有直接联系时，常常采用综合法证明.在解决问题时，常常把分 析法和综合法结合起来使用。如果是多项式结构，多采用比较法。请参考选修 4-5 第 5 页至第 9 页，第 21 页至 25 页，以及理科选修 2-2 第 85 页至 88 页相应内容。 四、知识链接四、知识链接定理定理 1：如果，那么（当且仅当时取“=” ）Rba,abba222ba 定理定理 2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=” ）ba,abba 2ba 定理定理 3：如果，那么（当且仅当时取“=” ）Rcba,abccba3333cb

3、a推论推论：如果，那么。 （当且仅当时取“=”Rcba,3 3abccbacba如果 则：叫做这 n 个正数的NnnRaaan且1,21LnaaanL21算术平均数，叫做这 n 个正数的几何平均数；nnaaaL21基本不等式：基本不等式： （） naaanL21nnaaaL21niRaNni1 ,*五、新课讲授五、新课讲授 (一)比较法 1、原理：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：0baba0baba0baba 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是： 作差（或作商）、变形、判断符号。 “变形”是解题的关键，是最重要的一步。

4、因式分解、配方、 凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 2、典型例题：例 1、若实数，求证：1x.)1 ()1 (32242xxxx 提示：采用做差比较法高二数学理科导学案直接证明与间接证明主备人：授课时间：2015/3 备课组长签字：2例 2、已知求证,Rba.abbababa 提示：采用做商比较法(二)综合法 （1）定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一 系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. （2）综合法的的基本思路：它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出 发，通过推导得出结论. （3）综合法的思维框图：

5、用表示已知条件，为定义、定理、公理等，)n,.,2 , 1i (Qi表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：Q（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）例 3、在锐角三角形 ABC 中，求证： 提示：在锐角三角形中，两边同时取正弦B2A,2BA例 4、设 a，b，c0,证明：a+b+c. ac cb ba222 (三)分析法 （1）定义：一般地，从需要证明的命题出发，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所 寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等）或由已知证明成立，从而 确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法. 高二数学理科导学案直接证明与间接证明主备人：授课时间：

6、2015/3 备课组长签字：3（2）分析法的基本思路：它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每 一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已 知条件、定理、定义、公理等）为止.（3）分析法的思维框图：用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、,.)3 , 2 , 1i (Pi定理等，Q 所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知） （4）分析法的格式：要证，只需证，只需证，因为成立，所以原不等 式得证。例 5、求证：)3a (3a2a1aa例 6、求证： 5273六、达标检测六、达标检测1设，求证

7、0, 0ba.2233abbaba2、已知，且不全相等。求证：0,cbaabcbacacbcba6)()()(222222高二数学理科导学案直接证明与间接证明主备人：授课时间：2015/3 备课组长签字：43、已知为两两不相等的实数，求证：。cba,cabcabcba2224.求证：22222)bdac()dc)(ba (5已知 a，b，m 都是正数，并且求证： . ba .ba mbma6、已知且，求的最小值是 Ryxba,1yb xayx 7若，求的最大值是 。14x22222 xxx8、的最小值是 。)( ,422Rxxxy9、的最大值是 )20( ,)2(2axxaxy七、小结：七、小

8、结： 1在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成 立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前 命题成立的充分条件的方法. 2综合法写出的证明过程条理清晰，易于理解；但综合法的证题思路并不容易想到，因 此，在一般的证题过程中，往往是先用分析法寻找解题思路，再用综合法书写证明过程. 八、课后反思八、课后反思高二数学理科导学案直接证明与间接证明主备人：授课时间：2015/3 备课组长签字：5直接证明与间接证明（二）直接证明与间接证明（二）反证法、放缩法与换元法反证法、放缩法与换元法 一、学习目标一、学习目标 1、知识与技能：、知识

9、与技能：了解间接证明的方法反证法、放缩法和换元法； 2、过程与方法：、过程与方法：通过师生互动，让学生掌握反证法、放缩法和换元法； 3、情感、态度与价值观：、情感、态度与价值观：培养学生严谨的思维习惯。 二、学习重点与难点：二、学习重点与难点：根据问题特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使 用. 三、学法指导三、学法指导 反证法解题的实质是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反 面要找对、找全。反证法适合证明 “存在性问题、唯一性问题” ，带有“至少有一个” 或“至多有一个”等字样的数学问题. 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨 论，而从反面进行证明，只要

10、研究一种或很少的几种情形。请参考选修 4-5 第 26 页至 29 页，理科选修 2-2 第 89 页至 91 页。 四、知识链接四、知识链接1、若则 bd；, 0dc, 0baac2、若，则ac bc；若，则ac bc；若，则0c, ba0c, ba0c, ba ac bc；3、若，则 ；若，则 .0ab, baa1 b10ab, baa1 b1五、新课讲授五、新课讲授 （一）反证法（一）反证法 （1）定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用 公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定 义、已知条件、临时假设及明显成立的事实等

11、矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立， 从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. （2）反证法的基本步骤：“假设矛盾肯定” 反设假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真； 归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； 存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立. （3）反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.例 1若都为实数，且， c, b, a,32xyb,22zxa2262yzc2求证： 中至少有一个大于 0.c, b, a例 2、已知，求证：2qp332qp高二数学理科导学案直接证明与间接证明主备人：授课时间：2015/3

12、 备课组长签字：6（二） 放缩法：通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证 明的目的，我们把这种方法称为放缩法。 1、关键：把握“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小，要注意放缩的适度.2、常用方法是：添加或舍去一些项，如：aa12，nnn ) 1(， 将分子或分母放大（或缩小）如： 2111 (1)(1)n nnn n应用“糖水不等式”：“若0ab，0m ，则aam bbm”利用基本不等式，如：2lg3 lg5()lg4；利用函数的单调性； 利用函数的有界性：如：sin x1xR； 绝对值不等式：ababab；利用常用结论：如：122211kkkkkkk *,1

13、kNk，122211kkkkkkk*,1kNk例 3、求证：（1）223111112212nnn (n2)（2）1112121223nnn *nN例 4、 若a, b, c, d，求证：R21cadd bdcc acbb dbaa高二数学理科导学案直接证明与间接证明主备人：授课时间：2015/3 备课组长签字：7（三）换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换元有三角换元有： 10已知222ayx，可设 ， ；20已知122 yx，可设 ， (10 r)；30已知12222 by ax，可设 ， .例 5、 设实数, x y满足22(1)1xy，当0xyc时，c的取

14、值范围是（ ） . A 21,) .B(,21 .C 21,) .D(,21六、达标检测六、达标检测 1用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( ) A假设至少有一个钝角 B假设至少有两个钝角 C假设没有一个钝角 D假设没有一个钝角或至少有两个钝角2、求证是无理数. （提示：有理数可表示为）3/m n3、若 x, y 0，且 x + y 2，则和中至少有一个小于 2xy1 yx14已知 a + b + c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 高二数学理科导学案直接证明与间接证明主备人：授课时间：2015/3 备课组长签字：85、已知 a,b,c,求证不能同时大于。），（ 10accbba)1 ( ,)1 ( ,)1（416、求证 .111bbaababa7、已知 122xy2，求证：1 222xxyy38、设n为大于 1 的自然数，求证.21 21 31 21 11nnnnL高二数学理科导学案直接证明与间接证明主备人：授课时间：2015/3 备课组长签字：9七、小结七、小结 八、课后反思八、课后反思