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1、化 11 孙皓实验三 线性代数方程的数值解法2011011779实验三 线性代数方程的数值解法 （化 11 孙皓 2011011779） 【实验要求及目的】 1、 学会用 MATLAB 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性 作初步分析； 2、 通过实例学习用线性代数方程组解决简化的问题。第一题 【问题描述】 通过求解线性方程组和，理解条件数的意义和方程组的性质对解的影1 = 12 = 2响。其中是 n 阶范特蒙矩阵，即11=1020 10 1121 11 1222 12 1 12 1 1 1，= 1 + 0.1， = 0,1, 1是 n 阶希尔伯特矩阵，分别是，的行和。21
2、212（1） 、编程构造，和，。令 n=5，用左除求解线性方程。1212（2） 、令 n=5，7，9，计算和的条件数。为观察它们是否病态，做以下实验：12，不变，和的元素，分别加扰动 后求解；和不变，12121(，)2(，)121的分量，分别加扰动 后求解。分析 A 和 b 的微小扰动对解的影响。 取 10-21()2()10，10-8，10-6。（3） 、经扰动得到的解记作 ，计算误差，与用条件数估计的误差相比较。 【原理分析】矩阵 A 的条件数，条件数的大小衡量了扰动对解的影响，解的()= 1相对变化不大于扰动的相对大小的倍。()为了衡量一个矩阵或者向量的大小，对矩阵的变化进行量化分析，需
3、要用到范数。对于向量，范数记作. =(1，)2-范数；1-范数； 2=(21+ + 2 )1/21=|1|+ +|-范数；= (|1|，|2|)对于矩阵，范数记作. =() 2-范数，其中表示最大特征根2=()1-范数；-范数；1= = 1|= = 1|本题中使用 2-范数。 【问题求解】 （1） 、构造矩阵：化 11 孙皓实验三 线性代数方程的数值解法2011011779A1 为1111111.11.211.3311.464111.21.441.7282.073611.31.692.1972.856111.41.962.7443.8416A2 为10.50.3333330.250.20.50
4、.3333330.250.20.1666670.3333330.250.20.1666670.1428570.250.20.1666670.1428570.1250.20.1666670.1428570.1250.111111线性方程组的解为：x111111x211111（2） 、不同 n 值情况下，的条件数如下表：12ncond(A1,1)cond(A1,2)cond(A1,inf)cond(A2,1)cond(A2,2)cond(A2,inf)5651203.8357402.4627547.7943656476607.394365671.85E+08873850141.66E+089.85
5、E+084.75E+089.85E+0895.06E+102.27E+104.48E+101.1E+124.93E+111.1E+12111.46E+136.52E+121.28E+131.23E+155.23E+141.23E+15进行试验如下： 1、n=5 时，不同方程在不同的扰动下的解如下表：x1扰动在 Ax1扰动在 b=0=10(-10)=10(-8)=10(-6)=0=10(-10)=10(-8)=10(-6)111.0000071.000715111.0000071.000715110.9999750.997488110.9999750.997489111.0000331.0032
6、97111.0000331.003296110.9999810.998083110.9999810.998083111.0000041.000417111.0000041.000417x2扰动在 Ax2扰动在 b=0=10(-10)=10(-8)=10(-6)=0=10(-10)=10(-8)=10(-6)111.0000061.000659111.0000061.0006310.9999990.9998740.98681910.9999990.9998740.987411.0000061.0005671.05931611.0000061.0005671.056710.9999910.9991
7、180.90773110.9999910.9991180.911811.0000041.0004411.04613511.0000041.0004411.0441比较观察可以看出，在 n=5 时： 扰动位于 A 与位于 b 的差别并不大，即同一方程中将同一扰动加在 A 上与加在 b 上的结果近似相同，差别大致不超过 1%。 同一方程扰动同一元素时，扰动越大，对结果的影响越大，而且在许多项上，解 的变化与扰动的大小有近似线性的关系。化 11 孙皓实验三 线性代数方程的数值解法2011011779对同一元素进行相同扰动时，第二个方程的解受到的影响更大。 总体来说，n=5 时解的变化并不大，此时比更
8、病态（通过比较条件数也可以21得到相同的结论） ，但都不会太过病态。 2、n=7 时，不同方程在不同扰动下的解如下表：x1扰动在 Ax1扰动在 b=0=10(-10)=10(-8)=10(-6)=0=10(-10)=10(-8)=10(-6)11.0000011.000051.00501211.0000011.000051.00500510.9999980.9997550.97547810.9999980.9997550.97551211.0000051.0004971.04979511.0000051.0004971.04972610.9999950.9994640.9462810.9999
9、950.9994640.94635411.0000031.0003241.03247611.0000031.0003241.03243110.9999990.9998960.98956910.9999990.9998960.989583111.0000141.001391111.0000141.001389x2扰动在 Ax2扰动在 b=0=10(-10)=10(-8)=10(-6)=0=10(-10)=10(-8)=10(-6)11.0000011.0001350.99881111.0000011.000121.01201210.9999490.9943251.04995510.999950.
10、9949550.49549611.0005051.0567490.50044611.0005051.050456.0450410.997980.7730042.99821610.9979820.798198-19.180211.0037881.425618-2.7466611.0037841.37837838.837810.9966670.6254564.29705710.996670.667027-32.297311.0011111.124848-0.0990211.001111.11099112.09909比较观察可以看出，在 n=7 时： 扰动位于 A 与位于 b 的对解的影响差别在大多
11、数情况下依然较小，但随着解的偏离的 增大，扰动位于 A 与位于 b 上的影响的差别也在增大，尤其是对于变化值大于 1 的解，扰 动的位置对解的影响明显不同。 同一方程扰动同一元素时，扰动越大，对结果的影响越大，而且在许多项上，解的变 化与扰动的大小有近似线性的关系，这种关系在解的变化值小于 1 时仍然十分明显。 对同一元素进行相同扰动时，第二个方程的解受到的影响更大，这与比较条件数得到 的结论是一样的，比更病态，但此时，已经比较病态。2123、 n=9 时，不同方程在不同扰动下的解如下表：x1扰动在 Ax1扰动在 b=0=10(-10)=10(-8)=10(-6)=0=10(-10)=10(-
12、8)=10(-6)11.0000021.0002431.0243711.0000021.0002431.0243110.9999850.9985160.85119810.9999850.9985160.85156711.000041.0039481.39574511.000041.0039471.39476310.999940.9940260.40119610.999940.9940270.40268211.0000571.0056251.56384211.0000561.0056241.56244210.9999660.9966250.66166110.9999660.9966250.662
13、511.0000131.0012611.12635511.0000131.001261.12604210.9999970.9997320.97314810.9999970.9997320.973214化 11 孙皓实验三 线性代数方程的数值解法2011011779111.0000251.002486111.0000251.00248x2扰动在 Ax2扰动在 b=0=10(-10)=10(-8)=10(-6)=0=10(-10)=10(-8)=10(-6)11.000030.9999190.99992211.0000221.0021881.21878910.9978071.00581.00559
14、610.9984250.842472-14.752811.0383720.8984930.90206311.0275673.756746276.67461.0000010.7186041.7443851.7182041.0000010.79784-19.2161-2020.610.9999952.055236-1.79144-1.693260.9999951.75810176.810527582.0521.00001-1.194896.8061996.601991.00001-0.57685-156.686-15767.60.9999893.560707-5.7739-5.535650.999
15、9892.839658184.966918397.691.000007-0.567785.1472855.0014211.000007-0.12632-111.633-11262.30.9999981.391945-0.03682-0.000360.9999981.2815829.15822816.82通过比较观察，可以看出在 n=9 时， 此时，之前的结论大部分还是适用的，尤其是在解的变化值不大于 1 时，没有明显的 规律上的变化。与之前的值进行比较，在第一个方程中，解的变化并没有随着 n 的增大而 明显增大（与第二个方程相比） 。 但不同的是，此时在第二个方程中，出现了很多变化值大于 1 的解的点，这些点的变 化出现了新的规律：一方面，当扰动在 A 时，扰动的大小不
