《直线的斜截式方程“y=kx+b”在定点问题中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线的斜截式方程“y=kx+b”在定点问题中的应用（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2121 直线的斜截式方程直线的斜截式方程“y=kx+b”在定点问题中的应用在定点问题中的应用定点问题是解析几何研究的重要问题之一，是动中有静的辩证思想在数学中的重要体现，也是高考数学科解析几何命题的重要内容之一，也无疑是高中数学教学的难点所在.为此，寻求对此类问题有效的解法势在必然.诚然,解决此类具体问题的解法多样灵活,但在的教学实践中，多样的解法时常带给学生的困惑是如何作出切实可行的选择?笔者认为,直线的斜截式方程“y=kx+b”能有效地解决这一类问题，达到多题一解之目的.以下例析，供参考.原理分析：利用“y=kx+b”研究定点问题的关键在于 k,b 线性关系的寻求,通常将 b表示成 k
2、的线性关系即可，如 b=pk+q（其中 p，q 为常数） ，由此可得直线 y=kx+b 必过定点（-p，q）.例例 1：已知 C(x0, y0) 为抛物线 y2=2px(p0)上的一个定点, A(x1, y1)、B(x2, y2)为其上的的任意两点,CACB.求证:直线 AB 过定点(2p+ x0,- y0).证明：证明：（1）当 ABx 轴时，A(2p+ x0, )，B (2p+ x0, -)，22 04py22 04py此时，=(2p, - y0)，=(2p, - y0)，CAuu u r22 04pyCBuu u r22 04py=,所以，CACB.反之亦然；CA CBuu u r uu
3、 u rg2222 00440pypy（2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设 AB 的方程为 y=kx+b(k0)，则消去 y，得,2, 2.ykxb ypx 222(22 )0k xkbp xb消去 x，得，2220kypypb在直线 y=kx+b 与抛物线相交的前提下，则，12222kbpxxk2122bx xk122pyyk122pby yk由，1010(,)CAxxyyuu u r2020(,)CBxxyyuu u r=CA CBuu u r uu u rg10201020()()()()xxxxyyyy=22 120120120120()()x xx xxxy yyyyy=0，2 2
4、2 0000222222bkbppbpxxyykkkk化简并整理，得，22222 0000022220bkbxpxk xpbkpkyk y以 b 为主元整理，得，22222 00000(22)22bkxpk bk xpxpkyk y 配方，得，2222222222 0000000()222bkxpkk xpxpkyk yk xp kpk x 又因为，2 002ypx所以，22222 0000()2()bkxpkypkyp kypk则，00()()bkxpkypk 当时，此时，不合题意；00()bkxpkypk00bkxy 00()yyk xx当时，00()()bkxpkypk 002bkxyp
5、k 此时，即0000(2)(2 )ykxkxypkk xxpy ，所以直线 AB 过点(2p+ x0,- y0).00(2 )yyk xxp综上，直线 AB 过定点(2p+ x0,- y0).解题感悟：客观的讲，进行至式，对 k, b 关系的揭示有些看不清，没有好的思路，一时不知如何因式分解？想到了主元思想，先以 k 为主元尝试，感觉复杂就放弃了，再以 b 为主元进行尝试，结果较顺利，取得了成功！因此，在复杂多变量的多项式面前，要突出以某个变量为主线的主元思想，往往能使分解变形顺利实现，突破解题瓶颈.例例 2：设椭圆的右顶点为，A(x1, y1)、B(x2, y2)为其上的22221(0)xy
6、abab( 0)Q a，任意两点,且 QAQB.求证:直线 AB 过定点.证明：证明：（1）当 ABx 轴时，由消去 y，得,222222, .yxa b xa ya b 222322()20abxa xa c显然,解得,故 AB 过点.22122a caxab2122acxab222,0ac ab （2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设 AB 的方程为 y=kx+m(k0)，则消去 y，得,222222, .ykxb b xa ya b 222222222()20ba kxkma xa ma b消去 x，得，2222222222()20ba kymb ym ba b k在直线 y=kx+m
7、与抛物线相交的前提下，则，2122222kmaxxba k222212222a ma bx xba k2122222mbyyba k，2222212222m ba b ky yba k由，11(,)QAxa yuu u r22(,)QBxa yuuu r=QA QBuu u r uuu rg2 1212121212()()()xa xay yx xa xxay y=.2222222222 2 22222222220a ma bkmam ba b kaaba kba kba kg化简并整理，得，即222322242()20ab mka ma b ka k，2223222()20ab mka ma
8、 c k，262222222444()4k aab a c kk a b 解得，即，或，322222 2()kakabmab3222kakabmkaab 3222kakabmab当，y=kx+m= y=(kx-a),不合题意；mka 当时，3222kakabmab32322222kakabaabykxmkxk xabab=，222ack xab即直线 AB 的方程为，所以直线 AB 经过定点.222acyk xab222,0ac ab 综上, 直线 AB 恒过定点.222,0ac ab 解题感悟：对于方程根的求解，没有一味的拘泥2223222()20ab mka ma c k于十字相乘法,而是
9、选择先求判别式,在用求根公式求解,收到了很好的效果.由此可见,平时教学中一味强调十字相乘法的重要性不能过于绝对,数学解题方法的优劣之分往往取决于它的应用时机是否合适. 例例 3：已知椭圆 C: 的右焦点为 F，M, N 为椭圆 C 上的两个动点，且2 212xyMNx 轴，直线 MF 与椭圆的另一个交点为 Q.求证：直线 NQ 恒过 x 轴上一定点.证明:F(1,0)，设,NQ：, 11,M xy11,N x y22,Q xyykxb由，消去 y，得2 212ykxbxy，222124220kxkbxb, ,1224 12kbxxk212222 12bxxk由 M，F，Q 三点共线，得，两边平
10、方，得，即121211yy xx22 12 22 12(1)(1)yy xx，2222 1221(1)(1)yxyx将，代入上式并化简，得，22 112yx22 222yx12123()42xxx x再将,代入，得，2224223421212kbb kk 整理，得，即，解得或，22230kkbb(2)()0kb kbbk 2bk 当时，不合题意；bk (1)ykxbk x当时，故直线 NQ 过 x 轴上的定点(2,0).2bk (2)ykxbk x解题感悟：对于三点共线所得关系“”的平方转化是利用椭圆方程等价121211yy xx转化的关键，进而消元得到关于“”与“”的关系后整体突破. 12x
11、x12x xG-3lDEBAOyx例例 4:【2011 山东文】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2 2:13xCy.如图所示，斜率为(0)k k且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x 于点( 3,)Dm.（）求22mk的最小值；（）若2OGODOE.（i）求证：直线l过定点；（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时ABGV的外接圆方程；若不能，请说明理由.【解析】 （）(略)；（） （i）由题意:设直线:(0)l ykxn n,由2 213ykxnxy消 y 得:222(1 3)6330kxknxn,设 A11( ,)x y
12、、B22(,)xy,AB 的中点 E00(,)xy,则由韦达定理,得12xx=26 1 3kn k ,即023 1 3knxk,0023 1 3knykxnknk21 3n k,所以中点 E 的坐标为 E23(,1 3kn k 2)1 3n k,因为 O、E、D 三点在同一直线上，所以OEODkK，即1 33m k ，解得1mk，由2OGODOE，得，2 02931 3Gknxxk 2 0221 3(1 3)Gmnnymykkk将代入化简并整理，得,GGxy2 213xy，即，22311 31 3knn kkk32330kk nkn2()(31)0knk所以，k=n,故直线l的方程为 y=kx
13、+k,即有 y=k(x+1),令1x 得,y=0,与实数 k 无关,所以直线l过定点(-1,0).（ii）(略).解题感悟：对于条件“2OGODOE”的应用要通过“化曲为直”来实现对的求解，进而利用其在椭圆上的关系求解. ,GGxy例例 5:【2007 年全国卷】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的CxC点到焦点距离的最大值为，最小值为 31（）求椭圆的标准方程；C（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点） ，且以: l ykxmCABAB，为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标ABCl解：（）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，3,1a
14、cac22,1,3acb22 1.43xy（）设，由得1122( ,), (,)A x yB xy22 143ykxmxy，222(34)84(3)0kxmkxm，.22226416(34)(3)0m kkm 22340km212122284(3),.3434mkmxxxxkk 22 22 1212121223(4)() ()().34mkyykxmkxmk x xmk xxmk以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点，Q(2,0),D1ADBDkk ，1212122yy xx 1212122()40y yx xxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmk kkk，解得2271640mmkk，且满足.1222 ,7kmk m 22340km当时，直线过定点与已知矛盾；2mk :(2)l yk x(2,0),当时，直线过定点2 7km 2:()7l yk x2( ,0).7综上可知，直线 过定点，定点坐标为l2( ,0).7由此可见，直线的斜截式方程“y=kx+b”在研究直线过定点的问题中有着十分重要的
