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1、第九章第九章 不等式不等式一、基础知识一、基础知识 不等式的基本性质： （1）aba-b0； （2）ab, bcac； （3）aba+cb+c； （4）ab, c0acbc； （5）ab, cb0, cd0acbd;（7）ab0, nN+anbn; （8）ab0, nN+;nnba （9）a0, |x|axa 或 xb0, cd0，所以 acbc, bcbd，所以 acbd；重复利用性质（6） ，可得性质（7） ；再证性质（8） ，用反证法，若，由性质（7）得，即nnba nnnnba)()(ab，与 ab 矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-nnba |a|a|a|,
2、-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|，所以|a+b|a|+|b|；下面再证 （10）的左边，因为|a|=|a+b-b|a+b|+|b|，所以|a|-|b|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12） ，因为 x+y-20，所以 x+y，当且2)(yxxyxy2仅当 x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令，因为 x3+b3+c3-czbyax333,3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2
3、-ab-bc-ca)= (a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0，所以21a3+b3+c33abc，即 x+y+z，等号当且仅当 x=y=z 时成立。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m33 xyz二、方法与例题 1不等式证明的基本方法。（1）比较法，在证明 AB 或 A0）与 1BA比较大小，最后得出结论。 例 1 设 a, b, cR+，试证：对任意实数 x, y, z, 有 x2+y2+z2.)()(2 xzbacyzacbxycba accbbaabc例 2 若 a(n+1)n.（4）反证法。 例 6 设实数 a0, a1,an满足 a0=an=0，且 a0-2a
4、1+a20, a1-2a2+a30, an-2-2an-1+an0， 求证 ak0(k=1, 2, n-1).（5）分类讨论法。例 7 已知 x, y, zR+，求证：. 0222222 yxxz xzzy zyyx（6）放缩法，即要证 AB，可证 AC1, C1C2,Cn-1Cn, CnB(nN+).例 8 求证：).2(121 31 211nnnL例 9 已知 a, b, c 是ABC 的三条边长，m0，求证：.mcc mbb maa （7）引入参变量法。例 10 已知 x, yR+, l, a, b 为待定正数，求 f(x, y)=的最小值。2323yb xa例 11 设 x1x2x3x
5、42, x2+x3+x4x1，求证：(x1+x2+x3+x4)24x1x2x3x4.（8）局部不等式。例 12 已知 x, y, zR+，且 x2+y2+z2=1，求证：222111zz yy xx .233例 13 已知 0a, b, c1，求证：2。111abc cab bca（9）利用函数的思想。例 14 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1，求 f(a, b, c)=的最accbba111小值。2几个常用的不等式。（1）柯西不等式：若 aiR, biR, i=1, 2, , n，则.)()(211212 niiiniiniibaba等号当且仅当存在 R，使得对任意
6、i=1, 2, , n, ai=bi, 变式 1：若 aiR, biR, i=1, 2, , n，则. )()( )(212112 niiniiniiibaba等号成立条件为 ai=bi,(i=1, 2, , n)。变式 2：设 ai, bi同号且不为 0(i=1, 2, , n)，则.)(1211 niiiniiniiibaaba等号成立当且仅当 b1=b2=bn.（2）平均值不等式：设 a1, a2,anR+，记 Hn=, Gn=, naaan 11121Ln naaaL21An=，则 HnGnAnQn. 即调和平均几何平均naaaQnaaan nn22 22 121,LL算术平均平方平均
7、。 其中等号成立的条件均为 a1=a2=an. 【证明】 由柯西不等式得 AnQn，再由 GnAn可得 HnGn，以下仅证 GnAn. 1）当 n=2 时，显然成立；2）设 n=k 时有 GkAk，当 n=k+1 时，记=Gk+1.k kkaaaa 1 121L因为 a1+a2+ak+ak+1+(k-1)Gk+1kk kkk kGakaaak1 1121 L2kGk+1, kk kkk kkGkGaaak22 121 112122L所以 a1+a2+ak+1(k+1)Gk+1，即 Ak+1Gk+1. 所以由数学归纳法，结论成立。 （3）排序不等式：若两组实数 a1a2an且 b1b2bn，则对
8、于 b1, b2, , bn的任意排列，有 a1bn+a2bn-1+anb1a1b1+a2b2+anbn. niiibbb, 21L niniibababaL 2121【证明】 引理：记 A0=0，Ak=，则 =)1 (1nkakii niiiba1 niiiibss11)(（阿贝尔求和法） 。nnniiiibsbbs111)(证法一：因为 b1b2bn，所以b1+b2+bk. kiiibbbL 21记 sk=-( b1+b2+bk)，则 sk0(k=1, 2, , n)。 kiiibbbL 21所以-(a1b1+a2b2+anbn)= kiniibababaL 2121 njjijbba j
9、1)(+snan0. njjjjaas11)(最后一个不等式的理由是 aj-aj+10(j=1, 2, , n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。证法二：（调整法）考察，若，则存在。 kiniibababaL 2121nibb j若(jn-1)，则将与互换。nibb j nib jib因为0)()()()( nnnninjb ninjnjnnjinijnnbbaabaabaababababa，所 调整后，和是不减的，接下来若，则继续同样的调整。至多经 n-1 次调11nibb n整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同 理可得左边
10、不等式。例 15 已知 a1, a2,anR+，求证；a1+a2+an.122 132 222 1 aa aa aa aannnL注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。三、基础训练题三、基础训练题1已知 0m，则 m 的最小值是_.12x6 “a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|0, b0 且 ab, m=aabb, n=abba, 则比较大小：m_n.11已知 nN+，求证：.1231 21122nn nL12已知 0x20, 1a0，记，比较大小：ax aaxyaax axy11,1121 221 1x1x2_y1y2.8已知函数的值域是，则实数 a
11、 的值为_.xxaycos1sin ,349设 ab0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2，比较大小：2 1b2 2bP_Q.2 已知 x2+y2-xy=1，则|x+y-3|+|x+y+2|=_. 3二次函数 f(x)=x2+ax+b，记 M=max|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|，则 M 的最小值为 _.4设实数 a, b, c, d 满足 abcd 或者 abcd，比较大小： 4(a+c+d)(a+b+d)_(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).5已知 xiR+, i=1, 2, ,n 且，则 x1x2xn的最小值为_（这里1111 niixn1）.
12、 6已知 x, yR, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72 的最小值为_.7已知 0ak1(k=1, 2, ,2n)，记 a2n+1=a1, a2n+2=a2，则的最大值为 nkkkkaaa2121)(_.8已知 0x1, 0y1, 0z1，则的最大值为_.111xyz zxy yzx9已知x5，求证：23.1923153212xxx10对于不全相等的正整数 a, b, c，求证：.2710 33abccba11已知 ai0(i=1, 2, , n)，且=1。又 0y1+y2+ym，求证：x1x2xny1y2ym.3设 f(x)=x2+a，记f(x), fn(x)=f(fn-1(x)(n=2, 3, )，M=aR|对所有正整数 n, )( xf|fn(0)| 2，求证：。 41, 2M4给定正数 和正整数 n(n2)，求最小的正数 M（） ，使得对于所有非负数 x1, x2,xn ，有 M().)(111 nkknkn knnkkxxx5已知 x, y, zR+，求证：(xy+yz+zx).49 )(1 )(1 )(1222 xzzyyx6已知非负实数 a, b, c 满足 a+b+c=1，求证：2(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2(1+a)(1+b)(1+c)， 并求出等号成立的条件。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
