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1、高等数学（下册）考试试卷（一）高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、 =的定义域为 D= 。z)0( )(log22ayxa2、二重积分的符号为 。 1|22)ln(yxdxdyyx3、由曲线及直线，所围图形的面积用二重积分表示为 xyln1eyx1y，其值为 。4、设曲线 L 的参数方程表示为则弧长元素 ),()()( xtytxds。5、设曲面为介于及间的部分的外侧，则922 yx0z3z。 dsyx) 122（6、微分方程的通解为 。xy xy dxdytan7、方程的通解为 。04)4(yy8、级数的和为 。1) 1(1nnn二、选择题（每小题
2、2 分，共计 16 分）1、二元函数在处可微的充分条件是（ ）),(yxfz ),(00yx（A）在处连续；),(yxf),(00yx（B），在的某邻域内存在；),(yxfx),(yxfy),(00yx（C） 当时，是无穷小；yyxfxyxfzyx),(),(00000)()(22yx（D）。0 )()(),(),(lim 22000000 yxyyxfxyxfzyxyx2、设其中具有二阶连续导数，则等于（ ),()(xyxfyxyfuf2222yuyxux）（A）； （B）； (C)； (D)0 。yx xy3、设：则三重积分等于（ ）, 0, 1222zzyx zdVI（A）4；2 02
3、0103cossin drrdd（B）；2 00102sindrrdd（C）； 202 0103cossindrrdd（D）。200103cossindrrdd4、球面与柱面所围成的立体体积 V=（ ）22224azyxaxyx222（A）；2 0cos202244adrrad（B）；2 0cos202244adrrard（C）；2 0cos202248adrrard（D）。22cos20224adrrard5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成，L 取正向，函数在 D),(),(yxQyxP上具有一阶连续偏导数，则 LQdyPdx)(（A）； （B）；DdxdyxQ yP)(Ddx
4、dyxP yQ)(（C）； （D）。DdxdyyQ xP)(DdxdyyP xQ)(6、下列说法中错误的是（ ）（A） 方程是三阶微分方程；022 yxyyx（B） 方程是一阶微分方程；xydxdyxdxdyysin（C） 方程是全微分方程；0)3()2(22232dyyxydxxyx（D） 方程是伯努利方程。xyxdxdy2 217、已知曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而)(xyy 062 yx满足微分方程，则曲线的方程为（ ）)(xy052 yyyy（A）； （B）；xex2sin)2cos2(sinxxex（C）； （D）。)2sin2(cosxxexxex2sin8、设 ,
5、则（ ）0lim nnnu1nnu（A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计 15 分）1、 （7 分）设均为连续可微函数。，gf ,)(),(xyxgvxyxfu求。yu xu ,2、 （8 分）设，求。txtxdzzftxu)(),(tu xu ,四、求解下列问题（共计 15 分） 。1、计算。 （7 分）I2022xydyedx2、计算，其中是由所围成的空间 dVyxI)(22x21,222zzzy及闭区域（8 分） 。五、 （13 分）计算，其中 L 是面上的任一条无重点且分段光滑不经 LyxydxxdyI22xoy过原点的封闭曲线的逆时针方向
6、。 )0 , 0(O六、 （9 分）设对任意满足方程，且存在，求)(,xfyx)()(1)()()(yfxfyfxfyxf)0(f 。)(xf七、 （8 分）求级数的收敛区间。11212)2() 1(nn n nx高等数学（下册）考试试卷（二）高等数学（下册）考试试卷（二）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、设，则 。zyxzyx32)32sin(2 yz xz2、 。xyxyyx93lim003、设，交换积分次序后， 。202),(xxdyyxfdxII4、设为可微函数，且则 。 )(uf, 0)0(f 222)(1lim22 30tyxtdyxft5、设 L 为取正向的圆周，则
7、曲线积分422 yx。 Lxxdyxyedxyey)2() 1(6、设，则 。 kxyzjxzyiyzxA)()()(222Adiv7、通解为的微分方程是 。xxececy2 218、设，则它的 Fourier 展开式中的 。 xxxf0, 10, 1)(na二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 。1、设函数 ,则在点（0，0）处（ ） 0, 00,),(2222 422yxyxyxxy yxf（A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在；（C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。2、设在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足),(yxu及 ，02 yxu2
8、2xu022 yu则（ ）（A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部；（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上；（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上；（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上。3、设平面区域 D：，若，1) 1()2(22yxDdyxI2 1)(DdyxI3 2)(则有（ ）（A）； （B） ； （C）； （D）不能比较。21II 21II 21II 4、设是由曲面及 所围成的空间区域，则1,xxyxyz0z=（ ） dxdydzzxy32（A）； （B）； （C） ； （D）。3611 3621 3631 36415、设在曲线弧 L 上
9、有定义且连续，L 的参数方程为 ),(yxf )()(tytx，其中在上具有一阶连续导数，且)( t)(),(tt,， 则曲线积分（ ）0)()(22tt Ldsyxf),(A) ； (B) ；dtttf)(),(dtttttf)()()(),(22(C) ； (D)。dtttttf)()()(),(22dtttf)(),(6、设是取外侧的单位球面， 则曲面积分1222zyx=（ ） zdxdyydzdxxdydz(A) 0 ； (B) ； (C) ； (D)。247、下列方程中，设是它的解，可以推知也是它的解的方程是（ ）21, yy21yy (A) ； (B) ；0)()(xqyxpy0)
10、()( yxqyxpy(C) ； (D) 。)()()(xfyxqyxpy 0)()( xqyxpy8、设级数为一交错级数，则（ ）1nna(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若，则必收敛。)0(0nan三、求解下列问题（共计 15 分）1、 （8 分）求函数在点 A（0，1，0）沿 A 指向点 B（3，-2，2）)ln(22zyxu的方向的方向导数。2、 （7 分）求函数在由直线所围成的)4(),(2yxyxyxf0, 0, 6xyyx闭区域 D 上的最大值和最小值。 四、求解下列问题（共计 15 分）1、 （7 分）计算，其中是由及 3)1 (
11、zyxdvI0, 0, 0zyx所围成的立体域。1zyx2、 （8 分）设为连续函数，定义，)(xf dvyxfztF)()(222其中，求。222,0| ),(tyxhzzyxdtdF五、求解下列问题（15 分）1、 （8 分）求，其中 L 是从 A（a，0）经 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(到 O（0，0）的弧。2xaxy2、 （7 分）计算，其中是 dxdyzdzdxydydzxI222的外侧。)0(222azzyx六、 （15 分）设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分)(x与路径无关，求函数。高等数学（下高等数学（下 Lxdyxydxxexx)()(2)(32)(
12、x册）考试试卷（二）参考答案册）考试试卷（二）参考答案一、1、1； 2、-1/6； 3、 ； 4、；202/4222/),(),(yyydxyxfdydxyxfdy)0(32f 5、； 6、； 7、； 8、0；8)(2zyx02 yyy二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C；三、1、函数在点 A（1，0，1）处可微，且)ln(22zyxu；)1 , 0, 1(221zyxxuA2/1；01)1 , 0, 1(2222 zyyzyxyuA2/11)1 , 0, 1(2222 zyzzyxzuA而所以,故在 A 点沿方向导数为：),1 , 2, 2( AB
13、l)31,32,32(olABl +AluAxu cosAyu cosAzu cos. 2/131 21)32(032 212、由得 D 内的驻点为且，0)24(0) 1()4(22yxxfxyyxxyfyx),1 , 2(0M4) 1 , 2(f又0)0 ,(, 0), 0(xfyf而当时，0, 0, 6yxyx)60(122),(23xxxyxf令得0)122(23xx4, 021xx于是相应且2, 621yy.64)2 , 4(, 0)6 , 0(ff在 D 上的最大值为，最小值为),(yxf4) 1 , 2(f.64)2 , 4(f四、1、的联立不等式组为 yxzxyx101010 :所以1010103)1 (xyxzyxdzdydxIxdyyx
