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1、年年 级级初三学学 科科数学版版 本本人教新课标版内容标题内容标题第二十八章 锐角三角函数编稿老师编稿老师郑如霞【本讲教育信息本讲教育信息】一、教学内容：一、教学内容： 锐角三角函数 1. 锐角三角函数的定义 2. 锐角三角函数性质 3. 特殊角的三角函数值 4. 解直角三角形及应用二、知识要点：二、知识要点： 锐角三角函数是解决现实世界中测量、建筑、工程技术等问题的重要数学工具。在图 形中研究各个元素之间的关系（主要是边角之间的关系） ，把这种关系用数量的形式表示出 来，就是数形结合的思想方法。学生需要理解角的三角函数（正弦、余弦、正切）的概念 以及熟悉特殊角的三角函数值等知识，能够联系实际
2、，构建数学模型，利用解直角三角形 的知识解决问题。 1. 锐角三角函数的定义： 锐角三角函数概念是学习解直角三角形的基础，在解决边之比在不同三角形中的灵活 转化的问题时，不必写繁琐的相似过程，方法更加简洁；同时与高中三角函数的知识相衔 接。初步了解正弦、余弦、正切的概念；能较正确地用 sinA、cosA、tanA 表示直角三角形 中两边的比； 归纳三角函数定义。sinA=，cosA=，tanA=对对对对对A 对对对对对A 的邻边的对边 AA 例：如图所示的 RtABC 中，ACB=90，BC=4，CA=3，分别求 sinA，cosA，tanA 的值。分析：分析：锐角三角函数基本概念的应用解：解
3、：由勾股定理 AB=522BCAC 2243 sinA=，cosA=，tanA=54 53 34点评：点评：熟练掌握锐角三角函数中边的对应关系. 2. 锐角三角函数性质： 我们在了解三角函数概念的同时，三角函数性质也是方便解题的重要手段. 主要包括 同角三角函数性质和互为余角三角函数性质. 同角三角函数满足：1cossin22 互为余角三角函数满足：sinA=cosB，cosA=sinB，tanAtanB=1（A+B=90）如图：，caA sincbA coscbB sincaB cosbaA tanabB tan可以推导出上述公式. 例：若 sin cos=，求 sincos 的值. 22分
4、析：分析：若题中出现 sincos 的表达式，我们都可以把含 sincos 的等式两边平方；解：解：（sin cos） =（） ，sin 2 sincos+ cos =，2 22222 21sin2+ cos2=1，sincos=41点评：点评：充分利用 sin + cos =1 是解题的关键. 22思考题：求 tan41tan42tan48tan49的值. 3. 特殊角的三角函数值： 在引入正弦、余弦的概念后，相应的求出 30、45、60角的正弦、余弦值。在求值时， 要充分利用下面两个图形，建立起数与形之间的联系。并用数形结合的方法记忆。4530我们知道，30角的 RT中，三边的关系为 1：
5、2：；45角的 RT中，三边的关3系为 1：1：，如此，根据锐角三角函数的概念，不难记住特殊角的三角函数值. 2例：cos3045tan60sin230cos2分析：分析：特殊角的三角函数值问题，分别代入相应的函数值；解：解：原式=1232)23(2322) 123(23)231 (2313 点评：点评：根式内存在根式的时候，多考虑用完全平方公式去根号，更方便解题. 4. 解直角三角形及应用： 了解到在含 30 角、45 角的直角三角形中，相应的边与角之间有确定的对应关系，那 么对于一般的直角三角形，边与角之间是否也有确定的对应关系呢？ 在直角三角形 ABC 中，C=90，a、b、c、A、B
6、这五个元素间有哪些等量关系 呢？（1）边角之间关系：sinA= cosA= tanA=ca cb ba（2）三边之间关系：a2 +b2 =c2 （勾股定理） （3）锐角之间关系：A+B=90. 以上三点正是解直角三角形的依据. 例 1：如图，东西两炮台 A、B 相距 2000 米，同时发现入侵敌舰 C，炮台 A 测得敌舰 C 在它的南偏东 40的方向，炮台 B 测得敌舰 C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离。分析：分析：本题中，已知条件是什么？（AB2000 米，CAB90CAD50） ，那 么求 AC 的长是用“弦”还是用“切”呢？求 BC 的长呢？显然，AC 是直角三角形的斜边， 应该
7、用余弦函数，而求 BC 的长可以用正切函数，也可以用余切函数。解：解：cosCAB=，AC=；ACAB 50cosAB 50cos2000tanCAB=，=；ABBC50tanABBC 50tan2000请同学们思考以下问题： （1）在 AC 求出后，能否用勾股定理求得 BC； （2）在这道题中，是否可用正弦函数求 AC，是否可以用余切函数求得 BC。 点评：点评：通过这道例题的分析和挖掘，可以明确在求解直角三角形时可以根据题目的具 体条件选择不同的“工具”以达到目的。例 2：如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为 10 米，A=26，求中柱 BC（C 为底边中点）和上弦 AB 的长（精确
8、到 0. 01 米）. 分析：分析：同学们对照图形，根据题意，思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本 题已知什么，求什么？由题意知，ABC 为直角三角形，ACB=90，A=26，AC=5 米，可利用解 RtABC 的方法求出 BC 和 AB. 把实际问题转化为数学问题后，同学们可 自行完成 点评：点评：求出中柱 BC 的长为 2.44 米后，我们也可以利用正弦计算上弦 AB 的长。 不仅掌握选何种关系式，更重要的是知道为什么选这个关系式，以培养分析问题、解 决问题的能力及计算能力，形成良好的学习习惯. 另外，本题是把解等腰三角形的问题转 化为解直角三角形的问题，渗透了转化的数学思想. 三、
9、重点难点：三、重点难点： 1、重点：计算特殊角的三角函数值及有关三角函数的代数式的值是本章的重点内容。 2、难点：解直角三角形或构造直角三角形解特殊的斜三角形；建立三角函数模型解决测 量、航海和工程等方面的实际问题，这是本章教学的难点。【典型例题典型例题】例题 1、在 RtABC 中，C=90，BC=5，且 sinB=，试分别求 AC、AB 的值. 32【分析分析】利用锐角三角函数值并借助勾股定理是解这类题的常用方法. 解：解： 在 RtABC 中，C=90，32sinABACB故设 AC=2x，则 AB=3x. 由勾股定理得 AB2AC2=BC2，即 9x24x2=25， x=. 5 AC=
10、2x=2，AB=3x=3. 55【点评点评】 解这道题的关键是：根据正弦函数的定义，把握准图形的特征，确定出B 的 对边、斜边、邻边. 同时直角三角形的勾股定理为计算提供的有利保障是不可忽视的. 例题 2、如图，在ABC 中，D 是 AB 的中点，CDAC 于 C，且 tanBCD=，求31sinA，cosA，tanA 的值. CABDE【分析分析】 解答本题的突破口是将BCD 转化为直角三角形中的角. 解：解：过点 D 作 DECD 于 D，交 BC 于点 E，在 RtCDE 中， tanBCD=，设 DE=x，则 CD=3x. 31CDDE又 CDAC， DEAC. 又 D 为 AB 的中
11、点， E 为 BC 的中点， DE=AC， AC=2DE=2x. 21在 RtACD 中ACD=90，AC=2x，CD=3x，；x13x9x4CDACAD2222；13133x13x3 ADCDAsin13132x13x2 ADACAcos23 23tanxx ACCDA【点评点评】在题设中出现的 tanBCD=， 由于BCD 所在的三角形并非是直角三角31形，因而给解题带来一些困难，此时如果联想起正切函数的定义，想方设法构造出一个与 之相关的直角三角形就顺理成章了，另外三角形的中位线的判定及其性质在本例中得到了 充分利用，为计算A 的正弦值，余弦值，正切值架起了桥梁，要善于从中总结经验. 例
12、题 3、如果 090，且|+，求 tan 的值. 41sin20)23(cos2【分析分析】 两个非负数和为零，则这两个数同时为零，便可求得 sin 和 cos 的值. 解：解：|0，0，41sin22)23(cos且|+，41sin20)23(cos2=0，=0. 41sin223cos ，（舍去） ，. 21sin21sin23cos 在 090中， =30. tan=tan30=. 33【点评点评】本题的突破口是两个非负数和为零的条件是“这两个数同时为零” ，从而求出 sin 和 cos 的值，由特殊值求出特殊角，另外本题也可以不求出 的度数，直接利用同角 的三角函数间的关系求 tan
13、的值. 例题 4、已知等腰三角形一腰上的高为 1，且这条高与底的夹角的正弦值为，求该三23角形的面积. 【分析分析】 已知高，再求出底边，便可求出面积的值. 解：解：根据题意画出图形，如下：DBCA 高 BD 与底边 BC 的夹角的正弦值为，23 在 RtBCD 中， sinCBD=23BCCD CBD=60 . C=30. 在ABC 中，AB=AC ， ABC=C=30. ABD=CBDCBA =6030=30. 在 RtABD 中，332 30cosBDAB332 ABAC SABC=ACBD21 33 332 21【点评点评】本例中等腰三角形腰上的高在三角形的外部，否则不能满足高与底的夹
14、角为60. 例题 5、如图，某海防哨所（o）发现在它的北偏西 30距离 500m 的 A 处有一艘船。该 船向正东方向航行，经过 3 分钟到达哨所东北方向的 B 处。求这艘船的航速是每时多少km？（取 1.7）3【分析分析】 1、AB 与正北方向有什么位置关系？ 2、欲求速度，题中已知时间，还需什么条件？ 3、如何得到 解：解：设 AB 与正北方向交于点 C，则 OCAB。 在 RtAOC 中，OA=500m，AOC=30， AC=OA sinAOC=500sin30=500=250（m）. 21OC=OAcosAOC=500cos30=500=250（m）. 233在 RtCOB 中，BOC
15、=45，BC=OC=250（m）3AB=AC+BC=250+250=250（1+）250（1+1.7）=675（m）. 33船速为 675360=13500（m）. 答：答：这船的船速是每时 13.5km. 【变式】如图，某海防哨所（o）发现在它的北偏东 30距离 500m 的 A 处有一艘船。 该船向正东方向航行，经过 3 分钟到达哨所东北方向的 B 处。求这艘船的航速是每时多少 km？【分析分析】根据上题，此时的 AB 有如何表示呢？ AB=BCAC其中 AC=OA sinAOC=500sin30OC=OA cosAOC=500cos30 BC=OC=500cos30 对比两题列式的不同。 【点评点评】通过对比、探索、发现问题关键所在，并列出算式。在解直角三角形的教学 中，要考虑数形结合的方法，弄清各相关元素之间位置关系与这些元素之间的数量关系的 对应与转化，四、小结：四、小结： 在直角三角形中，当锐角一定时，它的对边与斜边、邻边
