分类加法原理与分布乘法原理

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1、分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理第一课时1 1 分类加法计数原理分类加法计数原理 （1）提出问题 问题问题 1.11.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号 码？问题问题 1.21.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有 3 班，汽车有 2 班.那么一天中， 乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（2）发现新知分类加法计数原理分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第 1 1 类方案中有类方案中有m种不同的方法，在第种不同的方法，在第 2 2

2、 类方案中类方案中有有n种不同的方法种不同的方法. . 那么完成这件事共有那么完成这件事共有nmN 种不同的方法种不同的方法. . （3）知识应用 例例 1.1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体 情况如下：A 大学 B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？变式：变式：若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共 有多少种？探究：探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有1m种不同的方法，在第 2

3、 类方案中有2m种不同的方法，在第 3 类方案中有3m种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：一般归纳： 完成一件事情，有 n 类办法，在第 1 类办法中有1m种不同的方法，在第 2 类办法中有2m种不同的方法在第 n 类办法中有nm种不同的方法.那么完成这件事共有nmmmN 21 种不同的方法. 理解分类加法计数原理： 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各 种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 例 2.一

4、蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 练习 1填空：( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法 完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是 ; ( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有条第二课时2 2 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 （1）提出问题 问题问题 2.12.1：用前 6 个大写英文字母和 19 九个阿拉伯数字，以1A,2A,，1B,2B,的方式给教室里的 座位编号，总共能编出多少个不同的号码？

5、（2）发现新知分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第 1 1 类方案中有类方案中有m种不同的方法，在第种不同的方法，在第 2 2 类方案类方案中有中有n种不同的方法种不同的方法. . 那么完成这件事共有那么完成这件事共有nmN 种不同的方法种不同的方法. . （3）知识应用 例例 1.1.设某班有男生 30 名，女生 24 名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同 的选法？探究：探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第 1 步有1m种不同的方法，做第 2 步有2m种不同的方法，做第3 步有3m种不同的方法，那么完成这

6、件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：一般归纳：完成一件事情，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有1m种不同的方法，做第 2 步有2m种不同的方法做第n 步有nm种不同的方法.那么完成这件事共有nmmmN 21 种不同的方法. 理解分步乘法计数原理： 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一 步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原

7、理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类 中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计 数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完 成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例 2 .如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但 相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 变式 1，如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使

8、用多次,但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？2 若颜色是 2 种，4 种，5 种又会什么样的结果呢？练习 2现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名 ( 1 ）从中任选 1 人参 加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去 C 村，不同 ( 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待 外宾的活动，有多少种不同的选法？ 第三课时3 3 综合应用综合应用 例例 1.1. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放 2 本不同的体育 书. 从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？ 从书架的

9、第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？ 从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？例例 2.2. 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不 同的挂法？例例 3.3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3 个数字也必须合成一组出现那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？练习1乘积12312312345)()()aaabbbccccc（展开后共

10、有多少项？2某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。到 9 之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？ 3从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名， 有多少种不同的选法？4某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不 同的进出商场的方式？第四课时例例 1.1.给程序模块命名，需要用 3 个字符，其中首字符要求用字母 AG 或 UZ , 后两个要求用数字 19问最多可以给多少个程序命名？例例 2.2. 核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 RNA 分子是一个有着数百个甚

11、至数千个 位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据 总共有 4 种不同的碱基，分别用 A,C,G,U 表示在一个 RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在 任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关假设有一类 RNA 分子由 100 个碱基组成，那么能有多少种 不同的 RNA 分子？例例 3.3.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态因 此计算机内部就采用了每一位只有 O 或 1 两种数字的记数法，即二进制为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最

12、小计量单位，每 个字节由 8 个二进制位构成问： (1）一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字符？ (2）计算机汉字国标码（GB 码）包含了 6 763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码， 每个汉字至少要用多少个字节表示？例例 4.4.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序 从开始到结束的路线） ，以便知道需要提供多少个测试数据一般地，一个程序模块由许多子模块组成如图 1.1 一 4，它是一个具有许多执行路径的程序模块问：这个程序模块有多少条执行路径？ 另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设

13、计一个测试方法，以减少测试 次数吗？图 1.1 一 4巩固练习：巩固练习： 1.如图,从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到丁地有 4 条路可通, 从丁地到丙地有 2 条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2.书架上放有 3 本不同的数学书，5 本不同的语文书，6 本不同的英语书 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？3.如图一,要给,四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同

14、颜色,则不同涂色方法种数为()A. 180 B. 160 C. 96 D. 60若变为图二,图三呢? 5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠 军，获得冠军的可能性有多少种？6 （2013 年重庆卷）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ C ） A5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分课堂小结课堂小结 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理 论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想. 2理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别 分类加法计

15、数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件 事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做 完这件事. 3运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点： 分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于 图一图二图三不同的两类的方法都是不同的方法，即“不重不漏“.分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这 n 个步骤，这件事才算完成.分配问题分配问题 把一些元素分给另一些元素来接受这是排列组合应用问题中难度较大的一类问题因为这涉及到两类元 素：被分配元素和接受单位而我们所学的排列组合是对一类元素做排列或进行组合的，于是遇到这类问题便 手足无措了 事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素例如，把 10 个全排列，可以理解为在 10 个人旁边，有 序号为 1，2，10 的 10 把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类 是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是mnA，这里nm.其中m是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位” ，不要管它在生活中原来的意义，只要nm