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1、竞赛数学中几类不等式的解法竞赛数学中几类不等式的解法1 1排序不等式定理定理 1 设，则有1212.,.nnaaa bbb(倒序积和)1211.nnnaba ba b（乱序积和） 1212. nrrnraba ba b（顺序积和）1 122.nnaba ba b其中是实数组一个排列，等式当且仅当或1, 2,.,nr rr1,2,.,nb bb12.naaa时成立.12.nbbb（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明证明：考察右边不等式，并记。 1212. nrrnrSaba ba b不等式 的意义：当时，S 达到最大 1212. nrrnrSaba ba b121
2、,2,.,nrrrn值.因此，首先证明必须和搭配，才能使 S 达到最大值.也即，1 122.nnaba ba bnanb设且和某个搭配时有nrnnb()ka kn（1-. nnknnrkrnna ba ba ba b1）事实上，()()()0 nnnnnkrknnrnrnka ba ba ba bbbaa不等式（1-1）告诉我们当时，调换和的位置（其余 n-2 项不变） ，会nrnnb nrb使和 S 增加.同理，调整好和后，再调整和会使和增加.经过 n 次调整后，nanb1na1nb和 S 达到最大值，这就证明了1 122.nnaba ba b 1212. nrrnraba ba b. .1
3、 122.nnaba ba b再证不等式左端,由及已证明的不等式右端，1211.,.nnnaaabbb 得1211(.)nnnaba ba b 1212(.) nrrnraba ba b 即 .1211.nnnaba ba b 1212. nrrnraba ba b例例 1 1 （美国第 3 届中学生数学竞赛题）设 a,b,c 是正数，求证：.3()a b c abca b cabc 思路分析思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明.证明证明：不妨设，则有abclglglgabc根据排序不等式有：lglglglglglgaabbccabbccalglglglglglgaabbccac
4、bacb以上两式相加，两边再分别加上 lglglgaabbcc有 3( lglglg )()(lglglg )aabbccabccab即 lglg3abcabca b cabc故 .3()a b c abca b cabc 例例 2 2 设 a,b,c，求证：.R222222333222abbccaabcabccabbccaab思路分析思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明证明：不妨设，则 且abc222abc111 cba根据排序不等式，有222 222111abcabccababc222 222111abcabcbcaabc两式相加除以 2，得2222
5、22222abbccaabccab再考虑，并且333abc111 bccaab利用排序不等式，333 333111abcabcbccaabcaabbc333 333111abcabcbccaababbcac两式相加并除以 2，即得222222333222abbccaabc cabbccaab综上所述，原不等式得证.例例 3 3 设，而与是的两个12120.,0.nnaaabbb1, 2,.,ni ii1,2,.,nj jj1,2,.,n排列.求证：. （1-1111rsnnnnijrsrsrsa ba b rsrs2）思路分析思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，
6、考虑使用排序不等式.证明证明：令 （r=）1snj r sbdrs1,2,.,n显然 12.nddd因为 ， 且 12.nbbb111.(1)1rnrnr由排序不等式 1n s r sbdrs又因为 12.naaa所以 且（注意到0）11rnnrrir rra da d 111nnn s rrr rsrbaa drs ra故 11111rssrnnnnnijj irir rsrsra bbaa drsrs 11111nnnnn srs rrr rrsrsba ba darsrs 故 原式得证.2.均值不等式定理定理 2 设是 n 个正数，则称为均值不等式.12,.,na aa( )( )( )
7、( )H nG nA nQ n其中，121( )111.nH naaa ，12( ).nnG na aa，12.( )naaaA nn222 12.( )naaaQ nn分别称为的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数.12,.,na aa证明证明： 先证 .( )( )G nA n记 ，令 ，12.nnca aai iabc则 原不等式12.nbbbn其中 1 2121.(.)1nn nbbba aac取 使 则 12,.,nx xx112 121 23,.,n n nxxxbbbxxx 1.n nxbx由排序不等式，易证11 12 21.nn n nxxxbbbnxxx下证 (
8、)( )A nQ n因为 2222 12121.(.)nnaaaaaan222 12131()().()naaaaaa2222 232421()().().()nnnaaaaaaaa2 121(.)naaan所以 .222 1212.nnaaaaaa nn从上述证明知道，当且仅当时，不等式取等号.12.naaa下面证明 ( )( )H nG n对 n 个正数，应用 ，得12111,.,naaa( )( )G nH n1212111.1 11.nnnaaa na aa 即 （等号成立的条件是显然的）.( )( )H nG n例例 4 4 已知，求证：.2201,0axy1log ()log 28
9、xy aaaa证明证明：由于 ，01a0,0xyaa有 22xyxyx yaaa aa从而 log ()log (2)log 22xyxy aaaxyaaa a下证 ， 即 。1 28xy1 4xy又因为 ，等号在 x=(这时 y=)时取得2111()244xyxxx 1 21 4所以 . 1log ()log 28xy aaaa例例 5 5（IMO）设 a,b,c 是正实数，且满足 abc=1.证明：111(1)(1)(1)1abcbca 证明证明：令 ，其中 x,y,z 是正实数，将原不等式变形为,yyzabcxzx（2-()()()xyzyzx zxyxyz1）记 ，,uxyz vyzx
10、 wzxy注意到 u,v,w 任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数.如果恰有一个负数，那么， （2-1）式成立.0uvwxyz如果这三个数都大于 0，由算术几何平均不等式1()2uvxyzyzxx同理可证，vwywuz于是 uv vw wuxyz即 ， （2-1）式得证.uvwxyz例例 6 6 已知，且.12,.,0na aa 12.1naaa求证：.1223131211.1.1.21nnnnaaan aaaaaaaaan思路分析思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为.112(1)22nn iiiiia aa左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平
11、均难以求证，而左边各项可看为倒数形式，尝试用调和平均.2 2ia证明证明：不等式左边化为，112(1)22nn iiiiia aa对，利用有12222,.,222naaa( )( )A nH n111 22 2n i n iiiian ana即 2221122 11221 22n i n i i iannn nnna所以 .2111222(1)22221nnn iiiiiiiaannnaan21n n3 3柯西不等式柯西不等式定理定理 3 设，（i=1,2,n）,恒有不等式，当且仅当iaibR222111.()nnniiii iiiabab时，等式成立.1212.nnbbb aaa证明证明：
12、作关于 x 的二次函数222111( )()2()nnniiii iiif xaxab xb若，即时，显然不等式成立.210ni ia12.naaa若时，则有210ni ia222 1122( )()().()0nnf xa xba xba xb且 2221112()4()()0nnniiii iiiabab故 222111.()nnniiii iiiabab从上面过程看出，当且仅当时，不等式取等号.1212.nnbbb aaa例例 7 7 设，求证：.12,.,nx xxR2222 112 12 231.nn n nxxxxxxxxxxx思路分析思路分析：注意到式子中的倒数关系，考虑运用柯西
13、不等式来证明.证明证明：因为0，故由柯西不等式，得12,.,nx xx2222 112 231 2312112 231 2312 231(.)(.)(.)(.)nn n nnn n nnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以 .2222 112 12 231.nn n nxxxxxxxxxxx例例 8 8 已知实数，e 满足，求 e 的取值, , ,a b c d222228,16abcdeabcde 范围.思路分析思路分析：由联想到应用柯西不等式.22222abcde解解：因为 222222224()(1 1 1 1)()abcdabcd 2() ,abcd 即 ，224(16
