《用不等式求最值2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用不等式求最值2（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用不等式求最值用不等式求最值 一、不等式的基本性质与定理一、不等式的基本性质与定理 1实数的大小顺序与运算性质之间的关系： ； ； .0baba0baba0baba 2不等式的性质： （1）或（反对称性）abbaabba （2）或（传递性）cacbba ,cacbba ,（3）cbcaba 推论 1：（移项法则） ；bcacba 推论 2：（同向不等式相加）dbcadcba ,（4），bcaccba0,bcaccba0,推论 1：；bdacdcba0, 0推论 2：nnbaba0（5）（）nnbaba0,2nN n（6）（倒数法则）110,ababab3常用的基本不等式和重要的不等式（1），
2、当且仅当取“=”.0, 0,2aaRa0a （2）（当且仅当时取“=” ）abbaRba2,22则ab（3），则（当且仅当时取“=” ）Rba,abba2ab注：算术平均数，集几何平均数.2abab（4）（当且仅当时取“=” ）22 2()22ababab（5）222abcabbcac推论 1：（当且仅当时取“=” ）222 2()33abcabcabc推论 2： acbcabcbacba3)(2 222（6）（当且仅当时取“=” ） （柯西不等式）22222()()()abcdacbdab cd(7) 若 ab0,m0,则 ；bbm aam4、最值定理：设得,0,2x yxyxy由（1）如积
3、为定值，则当且仅当时有最小值；xyPxyxy2 P（2）如和为定值，则当且仅当时有最大值.xySxyx y2( )2S即：积定和最小，和定积最大. 注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5含绝对值的不等式性质： （注意等号成立的情况）.bababa二、一个有用的结论二、一个有用的结论关于函数xpxy1时，当时；当时.在、0p 0x 2pxpx0x 2pxpx 0p(，上是减函数；在、上是增函数.,0)pp（，,)p2时，在、上为增函数.0p 0，0 （，）一、题型 1、不等式求最值例 1.求函数的最小值，下列解法是否正确？为什么？)0(322xxxy解法一、3322243212321
4、232xxxxxxxxy解法二xxxxxy623223222当，即时，xx3222123 x633min3242123221262y答：以上两种解法均有错误，解法一、错在取不到等号，即不存在 x 使xxx3122解法二、不是常数。x62 正确解法：333223623 29323 232323 232xxxxxxy当且仅当即时，xx2322263 x3 min3623y单变量型： 例 2.求下列函数的最值： （1 1）；（；（2 2） ；1 3yxx3x 2 41yxx0x 解：（解：（1 1）1 3yxx331)3(xx32331)3(xx（2 2）2 41yxx3 422 4131 21 2
5、1xxx3223（3 3）；（；（4 4） ；（；（5 5） 23yxx0x 21yxx01x21yxx01x解：（解：（3 3）23yxx333221823 49323 23323 23xxxxxx（4 4）21yxx274)3112(21)1)(1 (2213xxxxxx（5 5）21yxx3)3(1)(1)1)(1 (nxnmxmx mnnxnmxmxmnxxx3)3(1nm mn其中其中，解得解得 nxnmxmxnm1nn mmnm111 231231nm932)33(23macxy法法 2 2：274)32(21)3112(21)1)(1 (22133222 2222xxxxxxy所
6、以所以392 274y（6 6）)310()31 (2xxxy解：解：2434)31(94)31 (23 23 94)31 (32xxxxxy（7） 21yxx解：21 21)1 (|22 22xxxxy21 21y（8）求的最大值。) 14(22222 xxxxy解：11)1(2111) 1(21 ) 1(21) 1( 222222xxxxxx xxxy1221若变为如何？1x111) 1(21 ) 1(21) 1( 222222 xxxx xxxy所以1miny（9）已知：，求证：0ab13aab b解：3)(1)(3)(1 )(1bbabbabbabbabbaa练习已知那么的最小值是 1
7、.1a11 aa. A12aa.B15 .C3.D22 下列函数中，的最小值为的是 （ ）y4. A4yxx.B222(3)2xy x .C4xxyee.D4sin(0)sinyxxx3. (福建文)下列结论正确的是05当且时，则 当时，. A0x 1x 1lg2lgxx.B0x 12xx当时，的最小值为 当时，无最大值.Cx21xx2.D02x1xx已知，则的最小值为（ ）4.30x 29yxx. A9 2.B9 2.C3 2.D1 2 8(2004 年湖北高考文史第 8 题)已知有（ ）4254)(,252xxxxfx则A最大值B最小值C最大值 1D最小值 145 455.，由不等式，02
8、1tantan2222tantan22tantan2 22tan 3333tantan，启发我们得到推广结论：33tantantan3 333tan 4，则 tantanna1n*nNa 6 求下列函数的最值； （2） 1231( )1xxf xx1x )20(cossin2xxxy7已知，成等差数列，成等比数列，0x 0y xaby，xcdy，则的最小值是（ ）2()ab cd0124【答案答案】：D D【分析分析】：,abxy cdxyQ222(2)()()4.xyabxy cdxyxy例 6.用一张长 16 厘米，宽 10 厘米的矩形铁皮，四角各减去一个正方形，折成 一个无盖铁盒，求此铁
9、盒的最大容积。 错解：设正方形边长为厘米（）x50 x27439432)5()8( 22)5)(8(2)210)(216(3xxxxxxxxxV最大容积为（厘米）3。274394由于不等式等号成立的条件不存在，所以这个答案是错的。xxx258 注：本题正确解法是： 设正方形边长为厘米（）x50 x14433)210()8(323)210)(8(32)210)(216(3xxxxxxxxxV当，即是等号成立，xxx321082x 所以铁盒的最大容积为 144（厘米）3。小结：如果 a,b,c,参数，那么RR21,（1）（当且仅当时取“”号） ；abba2)(22ba （2）（当且仅当时取“”号）
10、 ；abba2ba （3）（当且仅当时取“”号） 。321213abccbacba21正参数由“值定，可等”确定。这样可使原来不能同时成立的条件得到满足，从而求出最值。21,例 1求函数的最大值。)210()21 (23 23 231)22()1(3)21 (2)1(xxxy 当且仅当即时取等号，此时。022 ,21xx31, 1x271maxy若所含因子仅幂次不同，则不需增加参数的个数。例 2求的最大值。) 10)(1 (2321221 213)1 ()1 ()1()1 ()1 (1()1)(1 (ttttttttty 32121213)() 1()1( t当且仅当01,)1 ()1 (21
11、21ttt即时取等号，此时。33,213,21321t932maxy类似地可求得函数的最大值为。)20(cossin2一类函数的最值问题。, 2 , 1i)k例 3求函数的最小值。), 0(0(cos3sin443xxy解：设，0, 021)()cos3()sin2sin2(2124 133xxxy则)(cos32sin43214 236 1xxy)(cos32sin43212 2231xx当且仅当2314 23 13243 ,cos3,sin2xx即时取等号，此时可求得。依照215sin,253 29, 45221x2755maxy上例还可拓广为求某些形如与且xbxaynmcossinNnm
12、Rbaxbxaynm,(cossin的函数的最值问题。)2,nm当函数的解析式变量多、项数多、系数无一定规律时，如果直接用均值定理求其最大（小）值一般较为困难，此时便可通过“设参、定参” ，并把表达式进行适当的化分或重组，创设使用含参均值定量的情景，然后利用含参均值定理加以解决。条件（双变量）型 例 1. 已知（为常数） ，求的最小值, , ,a b x yR, a b1ab xyxy1)法一：直接利用基本不等式：当且xay ybxba)yb xa)(yx(yxab2ba仅当，即时等号成立 1yb xaybx xayabbyabax说明：为了利用均值不等式，本题利用了“1”的逆代换。 法二：消
13、元化为一元函数由得1yb xabyayxaya( yb)abxyyyybyb ababay( yb)abybyb x0，y0，a0 由0 得 y-b0byay x+ybaab2当且仅当，即时，等号成立 1yb xabybyababaxabby法三：三角代换.令，（0，）2cosxa2sinyb2 ，2 2secacosax2cscby x+y=2211a(tan)b(cot)22abatanbcotab2ba当且仅当时，等号成立 1yb xacotbtana例 2：已知，且，求 的最大值.0x 0y 1xy2121xy 解：法一，2222baba 2222baba2121xy 22242212122yx法二、由得2222yxyx2121xy 22212122
