《《几何画板》圆锥曲线的形成和画法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《几何画板》圆锥曲线的形成和画法（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、几何画板课件制作圆锥曲线的形成选题：选题：圆、椭圆、抛物线、双曲线这四种曲线可以看作不同的平面截圆锥面所得到的截线，故它们统称为圆锥曲线。在中学数学教学中，很难用实物教具演示圆锥曲线的形成过程。在学习之初，学生很难对圆锥曲线的形成有一个直观的认识。现利用几何画板模拟不同的平面截圆锥面的过程 ，动态演示不同圆锥曲线及截面的形成，为高中数学圆锥曲线的学习作引入。这样设计使学生对抽象的圆锥曲线概念有一个更感性的认识，更便于学生理解圆锥曲线的实际意义。原理：原理：圆锥面被一平面所截所得的曲线形有：圆、椭圆、抛物线、双曲线。制作过程：制作过程：圆锥曲线的构造1 构造能够控制截面作移动和倾斜变化的示意图1
2、 作小椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴为 OA，短半轴为 OB；（1）过 O 作 OA 的垂线，在垂线的上方任取一点 H，作线段 HO 并隐藏垂线。用线段连接 AH，分别在线段 HO 和 AH 上任取点 C 和点 D，连接 CD；（2）作截面：以点 C 为圆心，以小线段 r 为半径作圆。在上半圆上任取一点 E，隐藏小圆。依次选定点 E 和点 C 并标记为向量，把点 C 按标记向量平移得到点 E，再依次选定点 C 和点 D 并标记为向量，把点 E 和 E按标记向量平移得到点 F 和F。同时选定点 E、F、F和 E，用线段相连得截面 EFFE，并涂上浅黄色，如图 1 所示：rFFEAOBHC
3、DEr rb a 圆圆锥锥截截面面的的形形成成 G G G G P P N N MF F D D F FE E C C H H A A O OA A O O H HC CD DE EMN NP P1 2注意注意：利用示意图控制截面作移动和倾斜变化：利用示意图控制截面作移动和倾斜变化：1）拖动点 A 或点 B，可以改变椭圆的大小；2）拖动点 C 或点 D，可以使截面 EFFE上下移动或上下倾斜；3）拖动点 E，可以使截面左右倾斜或翻转。 2 构造圆锥面被截面所截形成圆锥截面曲线的过程（1）做大椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴 OA=2|OA|，短半轴OB=2|OB|，椭圆中心为；（2）作圆
4、截面：依次选定点 O 和点 H 并标记为向量，把点 O按标记向量平移两次得点 H,使 OH=2 |OH|。在椭圆上任取一点，用线段连接 O依次选定点和点 并标记为向量，把点按标记向量平移得点，用线段连接和；作 P轨迹，同时选定点 P 和点 P，执行作图/轨迹选项，求得一个与圆椭圆关于 H对称的椭圆；作 PP轨迹，再同时选定线段 PP和点 P，执行作图/轨迹选项，作出圆锥面，并用浅颜色表示。（3） 作截面：依次选定点 O 和 C 并标记为向量，把点 O按标记向量平移两次得点C，使 OC=2|OC|。过点 C作平行于 CD 的直线 a 交 HA于点 D。在直线a 上任取一点 M，选定点 M 和 C
5、并标记为向量，把点 C按标记向量平移得点M。过点 M 作 EE平行线 d，在 d 上任取一点 N，选定点 N 和 M 并标记为向量，使点 M 按标记向量平移得点 N。依次选定点 M 和 M并标记为向量，使点 N，N按标记向量平移得点 Q 和 Q。隐藏直线 d，用线段连接 N、N、Q、Q 得截面 NNQQ，并涂上浅黄色。（4）作圆锥曲线：先求作截面 NNQQ 与棱 HP 的交点 G。过点 D作 OA平行线交 OH于 O点。分别过点 O和 D作线段 OP 和 FF的平行线 b 和 c，并交于点 R。作直线 RC，求得 RC与 PP的交点 G，即为截面与棱 PP的交点。隐藏除直线 a 外的所有直线。
6、（5）求点 G 的轨迹，同时选定点 G 和点 P，执行作图/轨迹选项，求得截面与锥面相交的圆锥曲线。根据截面不同位置，点 G 的轨迹可分别形成椭圆、抛物线、双曲线等，建立动画按钮控制截面的运动，改标签为“圆锥曲线” 。用同样方法，可求得圆锥曲线在水平面上的投影，即过 G 点作 AO的垂线与 PO交于点 G，求点 G的轨迹即是。（6）在控制图上选取四个特殊点，此时所成圆锥曲线为双曲线、抛物线、椭圆、圆。分别构造到这几个点的移动按钮，并改名为“双曲线” 、 “抛物线” 、 “椭圆” 、 “圆” 如图 2 所示：圆锥曲线的画法选题：选题：圆锥曲线的画法虽然很多种，但归纳起来有以下五种：1.利用圆锥曲
7、线的第二定义；2.利用圆锥曲线的第一定义；3.利用圆锥曲线的参数方程；4.利用圆锥曲线的极坐标方程；5.利用圆锥曲线的标准方程。此部分将将详细介绍以上方法，并将以动态的形式展示出来。 一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线原理：到定点和定直线的距离之比等于定值 m 的点的轨迹：当 01 时，轨迹为双曲线。制作过程：1） 如图（3）所示：打开一个新画板，画一条竖直的直线 j（定直线）和直线外一点A（定点） 。在直线 j 上取点 C，过点 A，C 作直线 j 的垂线 l,k,点 B，C 为垂足。c3c1lkj01t = 1.54tDFGEEBAC32） 取点 C，B 作圆 C1，交直线 k
8、 于 E。3） 新建参数 t，并标记比值，让点 E 以 C 为中心，按标记比进行缩放得 E。4） 取 C，E作圆 C2，取 CA 的中点 G 和点 C 作圆 C3，交 C2 于 F。5） 用直线连接 A，F 交直线 k 于 D，则 AD/CD=CE/CE=1/t。6） 选中 C，D 作轨迹，作点 D 关于直线 l 的对称点 D，选中 C，D作轨迹，最后隐藏不必要的对象。说明：（1）在圆 C1 中，CB=CE，在圆 C2 中，CF=CE，在BCF 和ADC 中，因为CFB=ACD=BAC，CBF=DAC（同弧上的圆周角相等） ，所以BCF 和ADC 为相似三角形。则 CB/CF=AD/CD=CE
9、/CE=m=1/t,即定点 A 和定直线 j 距离之比等于定值 m。（2）单击“运动参数 t“按钮，比值 m 随之改变，这时可以动态地看到，当 m 小于 1的值逐渐变为 1 时，轨迹由椭圆变成抛物线；当 m 大于 1 时，轨迹变成双曲线。 二、由第一定义出发，构造椭圆和双曲线及抛物线原理：椭圆（双曲线）到定点的距离和定直线的距离之和（差）等于定值的点的轨迹；抛物线到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹。制作过程：1.椭圆（或双曲线）的制作：642-2-4-10-55BAEHNOF1F2M642-2-4-5510BAEHNOF1F2M4 5 1211221121,2()()xFxFFMFMMN
10、NF MF NMNABABFF AF B作出平面直角坐标系，在轴上任取两点作圆标记圆心的点记为，另一点隐藏。再轴上任取一点记为（在圆内时并且不与重合时如图(4)，轨迹为椭圆，在圆外时如图（5），轨迹为双曲线），在圆上任取一点。过、作直线，交圆于另一点。联结、，并且作它们的中垂线，与直线相交于、。即为过焦点的椭圆或双曲线的弦，、就是椭圆或双曲线的焦半径。2.抛物线的制作： 8642-2-4-6-551015jPNOFM6221,00,2,2,22 sinPFPxFyMMFMxNNMPPypxFPPFPQXFPaa FQFFQ）是轴正向上的自由点过的动直线与轴交于过作的垂线交轴于作与关于对称的点。
11、如图（6）选择点M 、P，单击，得点的轨迹为抛物线方程为。是它的一条焦半径。说明：设过的抛物线的焦点弦为。设，则过抛物线焦点的弦长为，这样可以计算出，以为圆心，以算出的值为半径作圆，可以找Q出点。从而作出抛物线的焦点弦。第二部分 学习几何画板的体会计算机在数学教学中有着它的独特作用，在辅助学生认知的功能要胜过以往的任何技术手段。在帮助学生系统地复习、运用知识方面也有着比传统教学更先进的模式，特别它的表述的方式很灵活，可以以文字、图形、动画、电影、图表等多种方式出现。再加入良好的教学软件辅助更显示出计算机辅助教学的强大优势。所以，当代教师应该掌握计算机辅助教学，并达到对一两种软件的熟练使用。几何
12、画板作为优秀的教学软件之一，是一个通用于数学，物理，天文的教学平台。其丰富的功能使用户可以随心所欲的编写所需的教学课件。该软件提供了充分的技术手段帮助用户实现其教学思想。用户只要熟悉它的简单使用技巧就可以自行设计和编写应用范例，无需学习任何编程语言。所做的课件所体现的并不是设计者的计算机软件应用水平，而是他具有的数学教学思想和实际教学水平。几何画板不仅能够帮助教师扩展在传统教学中的能力，而且还为新的教学方法提供了可能。在新的教学方法中，强调学生的主体参与，学生课堂的主体，通过学生的参与来帮助学生更好地学习。但是现在普通的课堂，还不能完全体现学生的主体性，在几何画板和计算机网络的支持下，教师可以
13、很容易地为每一位学生的比较和抽象创造一种活动的空间和条件，让学生能在活动中进行反身抽象，获得，理解和掌握抽象概念。只有这样学生获得的才是真正的数学经验，而不是数学结论。从这个意义上说，几何画板不仅仅是教师教学的工具，更应该成为学生的有利的认知工具。在本文所提到的几何画板的课件制作中，充分利用了几何画板的动态原理。第一个课件，主要是利用了标记向量、缩放、平移、动画等方法，动态的展示了平面截圆锥得圆锥曲线的过程，使学生能更好的通过动态的演示达到理解圆锥曲线定义的目的。第二个课件，主要解决的是圆锥曲线的画法，利用圆锥曲线的性质来构造圆锥曲线的图象。主要利用了几何画板中的计算以及新开发的对轨迹的多种处
14、理的功能，非常简便的制作出了较为理想的演示课件。通过对本课件的制作过程，我深深的体会到，利用几何画板只要通过精心的设计、简单的制作，就可以研发出能够解决传统教学中比较难以解决的诸多问题的优秀教学课件。当然任何一种软件都不可避免存在一定的局限性， 几何画板也不例外。它目前只适用于能够用几何模型来描述的内容例如：几何问题，部分物理问题，天文问题等。这是因为几何画板课件要遵循一定的几何关系。这也告诉我们利用几何画板制作课件，就要具备一定的数学知识。总之， 几何画板为我们创造了一个数学实验室，提供了一个理想的“做数学”的环境。使学生从传统的“听”数学转变为“做”数学，也就是以研究者的方式参与包括发现，探索在内的获得知识的全过程。具有动态直观，数形结合，色彩鲜明，变化无穷的特点，能极大的增强学生的学习兴趣，是一个很有发展的教学平台。作为一名数学教师应该学会它，并能够利用这个平台自主研发适合自己教学的课件。通过这两个课件的设计，我深入理解并熟练掌握了几何画板课件研发的主要过程，为以后的数学教学工作打下了良好的基础。
