《2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十二章)第三讲：变量间的相关关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十二章)第三讲：变量间的相关关系（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三讲第三讲 变量间的相关关系变量间的相关关系 教学目的：教学目的： 认识变量间的相关关系. 明确事物间的相互联系. 教学重点：教学重点： 利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立 线性回归方程 教学难点：教学难点： 变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法 的思想.【知识概要知识概要】 知识点知识点 1 相关关系相关关系 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系. 两个变量之间的关系分两类： 确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等； 带有随机性的变量间的相关关
2、系. 如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、 居民收入、生活环境等有关） 知识点知识点 2 两个变量间的相关关系的判断两个变量间的相关关系的判断 散点图的概念：散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形, 这样的图形叫做散点图，如右图. 根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系 如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关 系 如果所有样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系. 正相关与负相关的概念：正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布
3、在从左下角到右上角的区域内,称为正相关. 如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关. 如果散点图的点几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系. 2变量的相关性 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关 系； 经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性 回归方程系数公式建立线性回归方程 知识点知识点 3 线性相关线性相关 如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系. 知识点知识点 4 求回归直线的方程求回归直线的方程 从散点图上看,这些点大致分布在通过散点图中心的一
4、条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看 大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线 (regression line). 回归直线的方程简称回归方程。 那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经 过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式其中，b 是回归方程的斜率，a 是截距. .) 1 (,)()(2121121xbyaxnxyxnyxxxyyxx bniiniiiniiniii推导公式的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一
5、下得出它的原理. 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)，且所求回归方程是=bx+a, 其中 a、b 是待定参数.当变量 x 取 xi(i=1,2,n)时可以得到 y=bxi+a(i=1,2,n),它与实际收集到的 yi之间的偏差 y是 yi-=yi-(bxi+a)(i=1,2,n). 这样，用这 n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的. y由于（yi-）可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用来代替，但由于它含有绝对值，运 y niiiyy1 |算不太方便，改用 Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+
6、(yn-bxn-a)2 来刻画 n 个点与回归直线在整体上 的偏差. 这样，问题就归结为:当 a,b 取什么值时 Q 最小，即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算，a,b 的值由公式给出. 通过求式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方 和最小，这一方法叫做最小二乘法（method of least square）. 求线性回归方程的步骤：求线性回归方程的步骤：（1）计算平均数； （2）计算 xi与 yi的积，求xiyi; （3） 计算xi2,yi2，yx,（4）将上述有关结果代入公式求 b,a,写出回归直线方 xbyaxnxyxnyxxxyyxx bn
7、iiniiiniiniii , )()(1221121程 直线回归方程的应用直线回归方程的应用: 描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系. 利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量 x）代入回归方程对预报量（即因变量 Y）进行 估计,即可得到个体 Y 值的容许区间. 利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计控制的目标.如已经得 到了空气中 NO2的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中 NO2的浓度.【基础题基础题典例解析典例解析】 例例 1 （求线性回归方程及直线回归方程的应用求线性回归方程及直
8、线回归方程的应用） 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热 饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度/-504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654（1）画出散点图； （2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； （3）求回归方程； （4）如果某天的气温是 2 ，预测这天卖出的热饮杯数. 解：解：（1）散点图如下图所示： （2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此， 气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越 少.（3）从散点图可以看出，这些点大
9、致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系 数.利用计算器容易求得回归方程=-2.352x+147.767. y(4) 当 x=2 时，=143.063.因此，某天的气温为 2 时，这天大约可以卖出 143 杯热饮. y指出：指出：气温为 2 时，小卖部一定能够卖出 143 杯左右热饮吗？小卖部不一定能够卖出 143 杯左右 热饮，原因如下： 1. 线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导致预测 结果的偏差. 2. 即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于 x 的预报值，能够与实际值 y 很接近.我们不能保证点（x,y）落在回
10、归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近，事实上，y=bx+a+e=+e. 这里 e 是随机变量，预报值与实际值 y 的接近程度由随机变量 e 的标准差所决 y y定. 既然不一定能够卖出 143 杯左右热饮，那么为什么我们还以“这天大约可以卖出 143 杯热饮”作为结 论呢？这是因为这个结论出现的可能性最大.具体地说，假如我们规定可以选择连续的 3 个非负整数作为 可能的预测结果，则我们选择 142，143 和 144 能够保证预测成功（即实际卖出的杯数是这 3 个数之一） 的概率最大. 例例 2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.机动车辆数 x千台9511011
11、2120129135150180交通事故数 y千件6.27.57.78.58.79.810.213（1）请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系, 如果不具有线性相关关系,说明理由； （2）如果具有线性相关关系,求出线性回归方程. 解：解：（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图. 直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系（2） 计算相应的数据之和：=1 031，=71.6, 81iix 81iiy=137 835，=9 611.7.将它们代入公式计算得 b0.077 4,a=-1.024 1,所以,所求线性回归方 812iix 81iiiyx程为=0.077 4x-1.0
12、24 1.【综合题综合题典例解析典例解析】 例例 1 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间为此进行了 10 次试验,测得数 据如下：零件个数 x（个）102030405060708090100加工时间 y（分）626875818995102108115122请判断 y 与 x 是否具有线性相关关系,如果 y 与 x 具有线性相关关系,求线性回归方程 解：解：在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图. 直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系由测得的数据表可知：=38 500,=87 777,=55 950. 1012, 7 .91,55iixyx 1012iiy 101i
13、iiyxb=0.668. a=91.7-0.6685554.96.因此,所求线性回2 21012101 5510385007 .915510559501010 xxyxyxiiiii xby 归方程为=bx+a=0.668x+54.96. y例例 2 某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（Xi）与公司所获得利润（Yi）的统计资料 如下表：科研费用支出（Xi）与利润（Yi）统计表 单位：万元年份科研费用支出利润1998 1999 2000 2001 2002 20035 11 4 5 3 231 40 30 34 25 20合计30180要求估计利润（Yi）对科研费用支出（Xi）的线性回
14、归模型.解：解：设线性回归模型直线方程为：,=5,=30,iiXY10 630 nXxi 6180 nYYi根据资料列表计算如下表：年份XiYiXiYiXi2Xi-XYi-Y(Xi-)2X(Xi-)(Yi-)XY 1998 1999 2000 2001 2002 20035 11 4 5 3 231 40 30 34 25 20155 440 120 170 75 4025 121 16 25 9 40 6 -1 0 -2 -31 10 0 4 -5 -100 36 1 0 4 90 60 0 0 10 30合计301801 0002000050100现求解参数 0、1的估计值：方法一：=2,
15、300600 900120054006000 3020061803010006 )(2221 iiiii XXnYYXn=30-25=20.xY10 方法二：=2，=30-25=20.50100 5620030561000 )(2221 xnXYxnYXiiixY10 方法三：=2，=30-25=20.50100 )()(21 xXYYxXiiixY10 所以利润（Yi）对科研费用支出（Xi）的线性回归模型直线方程为：=20+2Xi.iY【补充习题补充习题】 1. 在某种产品表面进行腐蚀线实验，得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 t 之间对应的一组数据：时间 t(s)5101520304050607090120深度 y(m)610101316171923252946（1）画出散点图； （2）试求腐蚀深度 y 对时间 t 的回归直线方程。 解：解：（1）散点图略，呈直线形（2）经计算可得： =46.36，=19.45，=36750，=5442，=13910。ty 1112iit 1112iiy 111iiiytB=0.3. A=b =19.450
