《初三数学扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图知识精讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三数学扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图知识精讲（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此，圆锥的侧面积是圆锥的圆锥底面的周长。因此，圆锥的侧面积是圆锥的 .& &初三数学扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面初三数学扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图知识精讲展开图知识精讲一. 本周教学内容：扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图学习目标1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。2. 扇形面积公式：Sn RlR扇236
2、01 2n 是圆心角度数，R 是扇形半径，l是扇形中弧长。3. 圆柱是由矩形绕一边旋转 360形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底面圆周长，宽 为圆柱的高r 底面半径 h 圆柱高Srh圆柱侧 24. 圆锥侧面积圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转 360形成的几何体。侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母 线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。7. 圆柱圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。圆柱的侧
3、面积等于底面周长乘以圆柱的高。如图所示，若圆柱的底面半径为 r，高为 h，则：，Srh侧 2。SSSrhrr hr表侧底22222()8. 圆锥圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面 在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周 长。因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。如图所示，若圆锥的底面半径为 r，母线长为l，则Slrrl侧，1 22。SSSrlrr lr表侧底2()重点、难点扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。例 1. 已知如图 1，矩形 ABCD 中，AB1cm，BC2cm，以
4、B 为圆心，BC 为半径作圆弧交1 4 AD 于 F，交 BA 延长线于 E，求扇形 BCE 被矩形所截剩余部分的面积。图 1解：解：AB1，BC2，F 点在以 B 为圆心，BC 为半径的圆上，BF2，在 RtABF 中，AFB30，ABF60SSBFEABF扇形；60 3602 31 2313 22阴影扇SSScmBFEABF2 33 22()例 2. 已知扇形的圆心角 150，弧长为，则扇形的面积为_。20cm解：解：设扇形的面积为 S，弧长为l，所在圆的半径为 R，由弧长公式，得：20150 180RRcm 24()由扇形面积公式，故填。S 15024 3602402240点拨：点拨：本
5、题主要考查弧长公式和扇形面积公式。ln R 180Sn R2360例 3. 已知弓形的弦长等于半径 R，则此弓形的面积为_。 （弓形的弧为劣弧） 。解：解：弓形弦长等于半径 R弓形的弧所对的圆心角为 60扇形的面积为。60 360622RR三角形的面积为。1 2603 422RRsin 弓形的面积为。RR2 2 63 4即。故应填。23 3 122R23 3 122R点拨：点拨：注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和或差。本 题若没有括号里的条件，则有两种情况。例 4. 若圆锥的母线与底面直径都等于 a，这个圆锥的侧面积为_。解：解：圆锥的底面直径等于 a。底面半径为
6、，1 2a底面圆的周长为。21 2aa又圆锥的母线长为 a，圆锥的侧面积为。1 21 22aaa故应填1 22a点拨：点拨：圆锥的侧面积即展开图的扇形面积，可利用扇形的面积公式求得。Sn RSlR23601 2，或例 5. 如图 2 所示，OA 和 OO1是O 中互相垂直的半径，B 在上，弧的圆心是 O1，O A1OB半径是 OO1，O2与O、O1、OA 都相切，OO16，求图中阴影部分的面积。图 2解：解：设O2与O、O1、OA 分别切于点 D、C、E，设O2的半径为 r，连结 O1O2，O2E， 过点 O2作 O2FO1O 于 F，连结 O1B、OB、OO2。O1O6，O OrO FrO
7、Er121266，O FEOO OO F2122 12()()662 622rrrSO OO FOO O 121 2121 262 66 6 rr又SrrOO O 12996 9696()()()，3 3 92()r，6 63 3 92rr()，2 292rr，892rrrr2890（舍去）rr 19或又是等边三角形O OB1，O BOBO O116BO OBOO1160扇形和扇形的面积相等且都等于。O BO1OO B160 360612O O所组成的图形面积为扇形 O1BO 和扇形 OO1B 的面积之和减去三角形11OO BOB、O1OB 的面积，即：661 2663 2129 3 又扇形
8、OAO1的面积为：1 4692阴影部分的面积为：9129 312()9129 39 34点拨：点拨：本题比较复杂，考查的知识面比较多，要正确作辅助线，找出解题的思路。例 6. 在半径为 2 的圆内，引两条平行弦，它们所对的弧分别为 120和 60，求两弦间所 夹图形的面积及周长。解：解：分两条弦在圆心的同侧或两侧这两种情况：如图 3 所示，由题意，AmBCnD12060，图 3则AOB120，COD60又ABCD，ACBDAOCBOD又AOCBOD180AOCBOD90SSAOCBOD扇形扇形 90 3602又SOAOBAOBAOB1 2sin1 2223 23 SOCODCODCOD1 2s
9、in1 2223 23 故所求面积为SSSSSAOBCODADCBOD扇形扇形3323()又AOC90，AC 的长圆的周长 1 41 42同理BD又OCD 是等边三角形，CDOCOD2又ABOA260223 22 3 sin所求的周长P 2 32231()如图 4 所示，由第一种情况，得所求面积：图 4SSSABCDAmBCmD弓形弓形()()SSSSOAmBOABOCmDOCD扇形扇形()()120 3601 2223 260 3601 2223 222 4 332 332 3所求周长PABCDACBD 2 3230 18030 1802 32332313 ()点拨：点拨：要注意本题的两种情
10、况，另外，弧长公式和扇形以及弓形的面积求法要求正确掌握， 熟练运用。例 7. 如图 5 所示，已知正方形的边长是 4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积。 （答案保留） （1999 年广州）图 5解：解：设正方形外接圆、内切圆的半径为 R、r，面积为SS12、。SSSRrRr122222()Rr2224 24( )。Scm 42()常见错误：常见错误：此题最容易产生的问题是找不出正方形边长的一半与两圆的半径之间的勾股关 系。即不会运用圆内接正方形与圆外切正方形的性质来解题。这一点读者应认真体会。例 8. 如图 6 所示，已知ABC 内接于O，且 ABBCCA6cm图 6（1）求证：OBC
11、30；（2）求 OB 的长（结果保留根号） ；（3）求图中阴影部分的面积（结果保留） 。解：解：（1）ABBCCA，A60BOC120，又OBOC，OBC1 218012030()（2）过 O 作 ODBC 于 D，OBOC，BC6cm，BDBCcm1 23，cosOBDBD OBOBcm3 3032 32 3cos()（3）OBcmBOC2 3120，ScmOBC扇形1202 3 36042 2()即阴影部分面积是。42cm常见错误：常见错误：此题常见的问题是不会运用正三角形这一条件，从而无法证明OBC30； 当然，解直角三角形失误，求扇形面积时公式记错产生的错误，也是考试中的常见错误，应引
12、 起警惕。例 9. 一个圆锥的高是 10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。点悟：点悟：如图 7 所示，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l，底面半径 r。由圆锥的形成过程 可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即 RtSOA，且 SO10，SAl，OAr，关键找出l与 r 的关系，又其侧面展开图是半圆，可得关系，即。2 22lrlr 2图 7解：解：设圆锥底面半径为 r，扇形弧长为 C，母线长为l，由题意得ClCr2 22，又 2 222lrlr，得在 RtSOA 中， lr22210由、得：。rcmlcm10 3 320 3 3，所求圆锥的侧面积为。Srlcm10 3 320 3 32
13、00 32()例 10. 圆锥的轴截面是等腰PAB，且 PAPB3，AB2，M 是 AB 上一点，且 PM2，那么 在锥面上 A、M 两点间的最短距离是多少？点悟：点悟：设圆锥的侧面展开图是扇形 PBB，A 点落在 A点，则所求 A、M 之间的最短距离 就是侧面展形图中线段 AM 的长度。解：解：如图 8 所示，扇形的圆心角360r l3601 3120图 8APB60，在APM 中，过 A作 ANPM 于 N，则PNPA1 215.，A N.3153 2322RtA MNA MA NMN中，2227 41 47（答题时间：40 分钟） 一、填表（1）已知：正 n 边形边长为 a正 n 边形中
14、心角半径边心距周长面积n3n4n6（2）已知：正 n 边形半径 R正 n 边形中心角半径边心距周长面积n3n4n6二、填空题：1. 如果扇形半径长 3cm，圆心角 120，则它的面积是_cm2。2. 若圆锥母线长 5cm，高 3cm，则其侧面展开图的圆心角是_度。3. 若圆锥底面半径为 3cm，母线长 5cm，则它的侧面展开图面积是_cm2。4. 有一圆柱状玻璃杯，底面半径 3cm，高为 8cm，今有一长 12cm 的吸管斜放入杯中，若不 考虑吸管粗细，则吸管最少露出杯口处的长度是_cm。5. 用一个半径为 30cm，圆心角为 120的扇形纸片做成一圆锥侧面，那么圆锥底面半径是 _cm。6. 如图 1，正方形 ABCD 边长为 2，分别以 AB、BC 为直径在正方形内作半圆，则图中阴影部 分面积为_平方单位。图 17. 如图 2，AB2cm，A
