人教版八年级数学 二次根式的加、减法

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1、二次根式的加、减法（八年级数学下册湘教版）一、追忆感悟师：前节课我们学了二次根式的除法，主要讲了二次根式的除法法则，谁 回答？生：二次根式的除法法则一般的有：1、（a0） aa112、(a0 b0) 3、 (a0 b0)学生上去纠正，改ab abab ab为(a0 b0) abab师：把(a0 b0)从右到左写，就是二次根式的除法法则。经ab ab过昨天晚上自主学习，通过探学导航你对本节课有什么感悟？ 生：我知道二次根式的加减法一般步骤有三点：1、如果有括号根据去括 号的法则去掉括号；2、把不是最简的二次根式的二次根式进行化简；3、合并 被开方数相同的二次根式。师：（肯定学生的回答，并给予鼓励

2、）还有谁知道？ 生：1.只有被开方数相同的二次根式才能合并；不是被开方数相同的二次 根式不能合并；2.加法运算的定律也可以在二次根式的运算中出现。 师：她说的是我们要注意的事项，大家掌声鼓励，还有谁知道？ 生：我知道二次根式的加减法的方法;只需要把被开方数相同的二次根式的 系数相加减，而被开方数不变。 师：掌声鼓励！三位同学感悟了一个方法，第二个要注意一个重点，第三 个讲了我们这节课的什么？ 生：二次根式的法则，加减法法则。 师：那么这节课我们要学的是二次根式的加减法，大家说我们在大海中航 行要找什么？ 生：目标。 师：那么就由我这个舵手来帮大家找到目标！目标在哪里大家看一下？ （老师挂小黑板

3、展示本节课的学习目标。 ）1.通过探索了解二次根式的加减法法 则，2.熟练的进行二次根式的加减法运算，大家说，这两个目标大家有没有信 心？ 生：有！ 师：接下来根据探学导航的内容，大家开始进行自主交流活动，begin!二、自主学习合作交流五分钟后，展示呈疑师：在交流当中有疑问的，可以把问题写在纸条上，再交给我。生 A：前面的学习目标中，我们要知道通过探索了解二次根式的法则，首 先我们来看说一说。题目：如图，矩形 ABCD 的边 AD、AB 的长，分别为 和 2 cm，5矩形 BEFC 边 EF、BE 的长分别为，3cm ，点 B、C 分别在线段 AE、DF5上，试求这两个矩形的面积是多少？生

4、B：首先我们看一下题目，我们已知矩形 ABCD 的边 AD 是等于的，5AB 是等于 2 cm，然后在这个矩形 BEFC 当中，EF 等于，BE 是等于 3 5cm，其中点 B 在 BE 上，点 C 在 DF 上，它要我们求矩形 ABCD 加上矩形 BEFC 的面积之和，那么大家看我手上的这个矩形，它是由两个小的矩形和在 一起变成一个大的矩形，那么现在要我们求这个大的矩形的面积，也就是两个 小的矩形的面积之和，大家知道矩形的面积是长宽的， （板书在黑板上， ）则矩形 ABCD 的面积=2=2cm2，矩形 BEFC 的面积=3=3 cm2，5555要我们求出面积之和，则是矩形 ABCD 的面积+

5、矩形 BEFC 的面积=（2+35）平方厘米，那么它还有另外一种方法，就是将线段 BC 擦掉，那么就得到5一个大的矩形，我们已知 AB=2 cm，BE=3 cm，那么 AE=5 cm，它的宽则是EF，也就是cm，那么这个大矩形 AEFD 的面积就是（2+3）=5平555方厘米，由此我们就可以得出，同样是求一个大矩形的面积，那么（2 +35）平方厘米与（2+3）平方厘米之间相等吗？55生：相等。生 B：则我们就可以得出（2+3）平方厘米，也就是 5平方厘米，55是等于 2+3，则 2+3=（2+3）=5平方厘米，那么我们可555555以得出实数的运算满足乘法对加法的分配律。 生 A：那么，有哪个

6、同学还有不懂的？生：为什么说 2+3 等于 5 ？555生 A：因为她开始求这个小矩形的面积，然后再求大矩形的面积，再把它 们的面积相加就是整个的大矩形的面积，然后我们又直接求大矩形的面积，我 们知道 AE=AB+BE，然后再用大矩形的长宽，也就是 AEEF，然后进行运 算得到的，懂了吗? 生：懂了。 生 A 那么由这一个题目我们就可以得出一条结论（用小黑板展示所得的结 论） ，实数可以满足乘法对加法的分配律，那大家接下来就来应用一下。首先看 例题 1。 生 C：请同学们先看例题 1，计算：（1） （2）2327我们一眼就可以看出它们的被开方数相同，则我们可以运用，23225二次根式的加减法法

7、则，乘法对加法的分配律，只需要把它们的系数相减即可，可得（73），然后就得到 4，我讲完了，大家请鼓掌。22生 A：大家请看题，他是先把被开方数相同的系数进行相加减，得出结果4。接下来请看第二个 223225生 D：请大家看题，我们首先运用加法的交换律和加法的结合律，得到，我们看的系数就是 1，是等于 1=，然后我们在32225222利用乘法对加法的分配律。得到（5+1） ，得到，由这里2323226我们可以看出二次根式加减法的运算需要运用实数的加法的结合律，以及对乘 法的分配律，由此课的二次根式加减法法则：二次根式的加减法运算只需要把 被开方数相同的二次根式的系数相加减，而被开方数不变。 生

8、 A：掌声，大家看这两道题目，首先我们要知道什么叫做系数？像 7 ， 3，5，3等这些数，我们把 7 叫做2232的系数，把 3 叫做的系数，把 5 叫做 的系数，则3的系数就2232是3，则我们就把根号前的数叫做被开方数的系数。我们就可以由得出的第一 个结论：实数可以满足乘法对加法的分配律，则我们可以得出第二个结论： （小黑板板书， ）二次根式的加减法运算需要运用实数的加法交换律，结合律以 及乘法对加法的分配律，由此可以得出二次根式的加减法运算法则：只需要把 被开方数相同的二次根式的系数相加减，而被开方数不变，由这三个结论大家能不能帮我做一道题目?3+5等于多少？它们的被开方数不同我们该怎么

9、28算？生 E：（ 在黑板上板书）3+5我们一眼就可以看出它们的被开方数28不同，那我们怎么办？我们就要把它们变成相同的，先把化简成 2，再82与系数 5 相乘得到 10，再将 3+10进行运算。222生 A：好，大家看现在它们的系数就是相同的。然后我们在用二次根式的加减法法则，再将它们的系数相加减，被开方数不变，3+10=13，由222此我们得出一个结论：当二次根式的被开方数不同时，我们要把每个二次根式 的被开方数化成相同的，或者进行化简，化简成相同的二次根式后，再将被开 方数相同的二次根式的系数进行相加减，而被开方数不变。 生 B：老师，她说错了，不是把每个二次根式的被开放数进行化简，而是

10、 把不是最简二次根式的被开方数化简。 师：嗯，对的，掌声鼓励！ 生 A：我们再看例题 2，大家看它们两个的被开方数都不相同，怎么办？生 F：请同学们看到例题 2 的计算题，79，我们一眼就可以看1248出， 和不是最简二次根式，所以我们把它们化成最简二次根式，得到1248了 34 36再运用二次根式的加减法法则，被开方数相同，把它们的系数33相加减，被开方数不变，则得到2。3生 A：掌声鼓励，下一个。生 E: 同学们请看这一道题目 2 +，首先找它们的系数，18503145然后可以看出被开方数不是最简二次根式，将它们的被开方数化简再与系数相乘，得到了 65+，然后运用二次根式的加减法法则。可得

11、结果225+。25生 A：掌声，他们已经讲得很详细了，我觉得重点是：把不是最简二次根 式的化简成最简二次根式，把被开方数相同的二次根式运用二次根式的加减法 法则进行运算，下面我来总结一下！这节课我们主要学了：（小黑板展示）我 们主要注意的有：1.方法 2.步骤 3.注意。 我们重点要了解的是二次根式的加减法法则，也就是我们要学的方法，只 需要把被开方数相同的二次根式的系数相加减，而被开方数不变，其他的大家 只要注意熟悉了解，并且会运用就可以了。 师：掌声鼓励！三、聚焦点拨师：经过同学们的精彩展示，由小老师的点拨，我相信同学们已经了解的很透彻了，我再来总结一下，这一节课，我们着重讲的是二次根式的

12、加减法， 第一个法则的探索，法则的探索从哪里来？师：从一个矩形，我们得到了一个结论是：乘法对加法的分配律，然后通 过两个题目总结了一个法则，大家要记清楚把被开方数相同的二次根式相加减， 而被开方数不变，大家看这两道题，如果被开方数有 3 个，如果有 4 个，大家 会不会？如果有 5 个，大家会不会？ 生：会！ 师：我们把被开方数相同的要放在一起，然后再运算，利用了加法的交换律和乘法对加法的分配律得到结果，我们又由一个说一说，3+5，这道28题目初看起来被开方数相不相同？ 生：不相同。师：但是我们仔细一看，这个 5，能够化简，就像我们平常说的庐山的8真面目还没有揭开，我们将 5化成最简二次根式

13、10，然后我们就可以看82出它们的被开方数都相同，呵，变成同一号人了，同是天涯沦落人，再进行运 算，由这一道题目我们再进行深化一下，下一道题两个被开方数都不相同，都 不是最简二次根式，我们都要把它进行化简，就像例题 2 的这两个题，都要进 行化简，然后才能进行运算。 生 E;老师我有一个问题？ 师：什么问题？生 E：例题 2 的 2 小题的结果是+，它们都是最简的二次根式，为25什么不能进行运算？ 生：它们的被开方数都不相同，所以不能进行化简。 师：嗯!它提的问题很好，这个问题就是我们这节课要讲的，被开方数相同 才能相加减，这是个很重要的条件，有的同学可能会产生误解，他说：“老师，+不就是等于

14、的吗？能不能这样说？257生：不能。 师：我们的前提条件就是被开方数相同，根指数也要相同，所以这样不能 再进行运算，现在来检测一下同学们学的怎么样？我先来总结一下：二次根式 的方法，一定要注意是被开方数相同，2、步骤，要将不是 最简二次根式的化 成最间的，一定要注意啊 ！3、注意事项：重点是不是同类的二次根式不能合 并，加法运算任然适用于二次根式的运算，同学们一起来做一道题目！计算：32+9 来检测一下同学们。20455师：这块白板上是一道写错了的题，谁来帮他改正一下？生 A：我来。大家看这一道题有什么问题？3202+9=32+9=126+9=15。 455549555555生：3应该得出结果是 6，4 是 2 的平方，提出后与系数相乘得545到 6。5生 A：对这位同学在 3这里计算错了，应该得到 6，然后再进行545运算，结果是 9 ，注意，平方因子应该与平方号约掉。5师：对的，接下来进行课堂测评，根据探学导航的内容再进行自主探究。 教师批阅学生课堂测评。结束。