中考动点问题

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1、- 1 -中考动点问题中考动点问题1. 已知：如图，ABC 中，C90，AC3 厘米，CB4 厘米两个动点 P、Q 分 别从 A、C 两点同时按顺时针方向沿ABC 的边运动当点 Q 运动到点 A 时，P、Q 两点运动 即停止点 P、Q 的运动速度分别为 1 厘米/秒、2 厘米/秒，设点 P 运动时间为 （秒） t （1）当时间 为何值时，以 P、C、Q 三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）t 等于 2 厘米2；（2）当点 P、Q 运动时，阴影部分的形状随之变化设 PQ 与ABC 围成阴影部分面积 为 S（厘米2） ，求出 S 与时间 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；tt （3）点

2、 P、Q 在运动的过程中，阴影部分面积 S 有最大值吗？若有，请求出最大值； 若没有，请说明理由2. 如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=2，BC=3，点 P 是 AD 边上的一动点（P 异于 A、D） ， Q 是 BC 边上的任意一点. 连 AQ、DQ，过 P 作 PEDQ 交 AQ 于 E，作 PFAQ 交 DQ 于 F. （1）求证：APEADQ； （2）设 AP 的长为 x，试求PEF 的面积 SPEF关于 x 的函数关系式，并求当 P 在何处 时，SPEF取得最大值？最大值为多少？ （3）当 Q 在何处时，ADQ 的周长最小？（须给出确定 Q 在何处的过程或方法，不必 给出证明）

3、CBAPQABCDPEFQ- 2 -3. 已知正方形 ABCD 的边长 AB=k（k 是正整数） ，正PAE 的顶点 P 在正方形内，顶点 E 在边 AB 上，且 AE=1. 将PAE 在正方形内按图 1 中所示的方式，沿着正方形的边 AB、BC、CD、DA、AB、连续地翻转 n 次，使顶点 P 第一次回到原来的起始位置. （1）如果我们把正方形 ABCD 的边展开在一直线上，那么这 一翻转过程可以看作是PAE 在直线上作连续的翻转运动. 图 2 是 k=1 时，PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请 你探索：若 k=1，则PAE 沿正方形的边连续翻转的次数 n= 时，顶点 P 第

4、一次回到原来的起始位置.（2）若 k=2，则 n= 时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置；若 k=3，则 n= 时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置. （3）请你猜测：使顶点 P 第一次回到原来的起始位置的 n 值与 k 之间的关系（请用含 k 的代数式表示 n）.4. 已知，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连 PA、PB、PC. （1）将PAB 绕点 B 顺时针旋转 90到PCB 的位置（如图 1）. 设 AB 的长为 a，PB 的长为 b（ba） ，求PAB 旋转到PCB 的过程中边 PA 所 扫过区域（图 1 中阴影部分）的面积； 若 PA=2，PB=4，APB=135，求 P

5、C 的长. （2）如图 2，若 PA2+PC2=2PB2，请说明点 P 必在对角线 AC 上.5.（1）如图一，等边ABC 中，D 是 AB 上的动点，以 CD 为一边，向上作等边EDC，连结ABCDPE 图 1ABCDP(E)CDABCDABCDABABCD图 2ABCDPP图 1ABCDP图 2- 3 -AE。求证：AE/BC； （2）如图二，将(1)中等边ABC 的形状改成以 BC 为底边的等腰三角形。所作EDC 改 成相似于ABC。请问：是否仍有 AE/BC？证明你的结论。6.如图 1，RtPMN 中，P90，PMPN，MN8cm，矩形 ABCD 的长和宽分别为 8cm 和 2cm，C

6、 点和 M 点重合，BC 和 MN 在一条直线上。令 RtPMN 不动，矩形 ABCD 沿 MN 所在 直线向右以每秒 1cm 的速度移动（如图 2） ，直到 C 点与 N 点重合为止。设移动 x 秒后，矩形 ABCD 与PMN 重叠部分的面积为 y。求 y 与 x 之间的函数关系式。2cm1.二次函数综合题专题：压轴题- 4 -分析：（1）由于 PC=3-t，CQ=2t，C=90，可表示 SPCQ，从而求出 t 的值； （2）根据运动状态，分三种可能情况：当 0t2 时，当 2t3 时，当 3t4.5 时，分别表示阴影部分面积，在中，S=SABC-SAPQ，由，C=90，AC=3 厘米，CB

7、=4 厘米，用勾股定理可求 AB=5 厘米，作 AB 边上的高 PH，利用相似比表示 PH， 再表示面积； （3）用（2）的结论，分别求出每一种情况下的最大值（注意自变量取值范围） ，再比 较，求出整个过程中的最大值 解答：解：（1）SPCQ= PCCQ= （3-t）2t=（3-t）t=2，1 21 2 解得 t1=1，t2=2 当时间 t 为 1 秒或 2 秒时，SPCQ=2 厘米2；（2）当 0t2 时，SPCQ= PCCQ= （3-t）2t=（3-t）t，1 21 2S=-t2+3t=-（t- ）2+ ；3 29 4当 2t3 时，S=SABC-SAPQ，即 S= t2- t+6= （t

8、- ）2+ ；4 518 54 59 439 20当 3t4.5 时，S=- t2+ t- =- （t- ）2+ ；3 527 542 53 59 215 4 （3）有：在 0t2 时，当 t= ，S 有最大值，S1= ；3 29 4在 2t3 时，当 t=3，S 有最大值，S2= ；12 5在 3t4.5 时，当 t=，S 有最大值，S3= ；9 215 4 S1S2S3t=时，S 有最大值，S 最大值= 9 215 4点评：本题考查了二次函数的实际运用，以时间 t 为自变量，面积为函数，形成二次函数 关系式，再求二次函数最大值；同时，渗透了分类讨论的思想 2. 二次函数综合题专题：动点型-

9、 5 -分析：（1）根据 PEQD 得出的同位角相等即可证得两三角形相似 （2）由于 PEDQ，PFAQ，因此四边形 PEQF 是平行四边形，根据平行四边形的性 质可知：SPEF= 12S 平行四边形 PEQF，可先求出AQD 的面积，然后根据AEP 与ADQ 相似，用相似比的平方即面积比求出APE 的面积，同理可求出DPF 的面积，进而可求出 平行四边形 PEQF 的面积表达式，也就能得出关于 S，x 的函数关系式，根据函数的性质即 可得出 S 的最大值即对于的 x 的值 （3）ADQ 中，AD 长为定值，因此要使ADQ 的周长最小，AQ+QD 需最小，可根据轴 对称图形的性质和两点间线段最

10、短为依据来确定 Q 点的位置 解答：解：（1）PEDQ APE=ADQ，AEP=AQDAPEADQ（2）可证APEADQ 与PDFADQ，及 SPEF=S 平行四边形 PEQF，1 2 根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方， SAEP/SAQD= (x/3)2， SDPF/SADQ= (3-x/3)2， 得 SPEF= 1/23- (x/3)23- (3-x/3)23= 1/2（- 2/3x2+x）=- 1/3x2+x=- 1/3（x- 3/2）2+ 3/4 当 x= 3/2，即 P 是 AD 的中点时，SPEF 取得最大值 3/4 （3）作 A 关于直线 BC 的对称点 A，连 DA交

11、BC 于 Q，则这个点 Q 就是使ADQ 周长最 小的点，此时 Q 是 BC 的中点 点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、图形面积的求法、二次函数的应用等知 识3. 正方形的性质；等边三角形的性质专题：压轴题分析：正PAE 的顶点 P 在正方形 内按图 1 中所示的方式连续地翻转，顶点 P 第一次回到原来的起始位置，实际上正方形周 长和与三角形的周长和相等，正方形的周长=4k，三角形的周长=3，即找 4k，3 的最小公倍 数，由此求出 k=1，2，3 时 n 的值；故当 k 是 3 的倍数时，n=4k；当 k 不是 3 的倍数时， n=12k解答：解：正PAE 的顶点 P 在正方形内按

12、图 1 中所示的方式连续地翻转，顶点 P 第一次回到原来的起始位置，实际上正方形周长和与三角形的周长和相等，正方形的周长 =4k，三角形的周长=3，即找 4k，3 的最小公倍数； （1）当 k=1 时，4k，3 的最小公倍数是 12，故 n=12； （2）当 k=2 时，4k，3 的最小公倍数是 24，故 n=24；当 k=3 时，4k，3 的最小公倍数是 12，故 n=12； （3）当 k 是 3 的倍数时 n=4k，当 k 不是 3 的倍数时 n=12k点评：本题考查了等边三角形 在正方形中的翻转中周长的最小公倍数问题，注意找到等量关系- 6 -4. 扇形面积的计算；勾股定理；等腰直角三角

13、形；旋转的性质专题：综合题 分析：（1）PAB 旋转到PCB 的过程中边 PA 所扫过区域（图 1 中阴影部分）的面积实 际是是大扇形 OAC 与小扇形 BPP的面积差，且这两个扇形的圆心角同为 90 度； （2）连接 PP，证PBP为等腰直角三角形，从而可在 RtPPC 中，用勾股定理求得 PC=6； （3）将PAB 绕点 B 顺时针旋转 90到PCB 的位置，由勾股逆定理证出PCP=90， 再证BPC+APB=180，即点 P 在对角线 AC 上 解答：解：（1）S 阴影=S 扇形 ABC+SBPC-S 扇形 PBP-SABP， =S 扇形 ABC-S 扇形 PBP， = 90(a2-b2

14、)/360， = /4（a2-b2） ； 连接 PP， 根据旋转的性质可知： BP=BP，PBP=90； 即：PBP为等腰直角三角形， BPP=45， BPA=BPC=135，BPP=45， PPC=90； 在 RtPPC 中，PP=4 2，PC=PA=2，根据勾股定理可得 PC=6（2）将PAB 绕点 B 顺时针旋转 90到PCB 的位置，连接 PP 同（1）可知：BPP是等腰直角三角形，即 PP2=2PB2； PA2+PC2=2PB2=PP2， PCP=90； PBP=PCP=90，在四边形 BPCP中，BPC+BPC=180； BPA=BPC， BPC+APB=180，即点 P 在对角线

15、 AC 上点评：本题是一道综合性很强的题，不但考查了扇形的面积公式，还综合了旋转及三角形、 正方形等相关知识，难度较大- 7 -5. 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质专题：动点型；探究型 分析：（1）证明ACEBCD 推出ACB=EAC 即可证 （2）证明ABCEDC 后可推出EAC=ACB，由此可证 解答：证明：（1）ABC 和EDC 是等边三角形 ACB=ECD=60，AC=CB，EC=DC， ACD+BCD=ACE+ACD， BCD=ACE， ACEBCD， EAC=B=60， 又ACB=60， ACB=EAC， AEBC； （2）仍平行； ABCEDC， ACB=ECD， AC/EC=BC/DC， ACD+BCD=ACE+ACD， BCD=ACE， AECBDC， EAC=B， 又ACB=B， EAC=ACB， AEBC点评：本题考查的是全等三角形的判定以及相似三角形的判定的有关知识关 键是证明ACEBCD 和ABC