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1、小议向量背景下的轨迹问题小议向量背景下的轨迹问题向量是沟通代数、几何与三角函数的工具，有着丰富的实际背景。本文就轨迹问题谈 之。一、中点问题一、中点问题例例 1 已知 A（2，0） 、B（2，0） ，点 C、点 D 满足，|AC 2AD 1 2。()ABAC （I）求点 D 的轨迹方程；（II）过点 A 作直线 l 交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点，线段 MN 的中点到 y轴的距离为，且直线 l 与点 D 的轨迹相切，求该椭圆的方程。4 5解：解：（I）设点 C（） ，D（x，y） ，则，xy00，ACxy ()002，AB （ ， ）40ABACxyADABACx (00061 2
2、23，），（），y0 2）。又ADxy ()2，故 解得xxyy002322xx yy0022 2 将其代入得，即为所求点 D 的轨迹方程。|()ACxy 02 0222xy221（II）易知直线 l 与 x 轴不垂直，设直线 l 的方程为yk x()2椭圆方程为x ay aa22222 414（）因为直线 l 与圆相切，故，解得。将代入，整xy221|211 2kkk21 3理得，而，即()a kaxa k xa kaa222222224244440k21 3()axa xaa2224233 440设 M（） ，N（）xy11，xy22，则xxa a12223 由题意有，解得。a aa222
3、 324 53()a28经检验，此时0。故所求的椭圆方程为。xy22841二、角问题二、角问题例例 2 如图 1，已知两定点 A（c，0） ，B（2c，0） （c0） ，在AMB 中，设向量的单位向量分别为1。AMBMAB ，与eeeeeee123231322 ，与，且()（I）求顶点 M 的轨迹方程，并画出方程的曲线；（II）自古代开始，数学家就想只用圆规和直尺三等分任意角，但一直没有成功。直 到十九世纪，其不可能性才被 Galois 的方程论证明。但是若利用所求方程的曲线、圆规和 直尺，则我们可以三等分任意角。请三等分图中的ADB，并证明。图 1解：解：（I）设MBA=，MAB=，由题设，
4、当coscoscos2122时，有xc 2tantan tan 2 12设点 M（x，y） ，当点 M 在 x 轴上方时，将，代入，tany xc2tany xc整理得；当点 M 在 x 轴下方时，仍有x cy c222231tany xc2tan y xc。x cy c222231注意到当 x=2c 时，亦满足方程。故所求的轨迹方程是双曲线的右支，但不包括 x 轴上的点，x cy cxc222231（）图形如图 1。（II）如图 1，作ADB 的外接圆与双曲线交于点 C（C 是x cy cxc222231（）不在圆弧 ADB 上的点） 。连 AC，CB，CD，则有ADC=，BDC=，由， 2
5、得BDC=ADB。1 3三、垂直问题三、垂直问题例例 3 如图 2，P（3，0） ，点 A 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，且，在的延长线上取一点 M，使。AP AQ 0AQ |QMAQ 2（I）当 A 点在 y 轴上移动时，求动点 M 的轨迹 C 的方程；（II）已知经过（1，0）以为方向向量的直ij（ ， ），（ ， ）0110kij 线与轨迹 C 交于 E、F 两点，又点 D（1，0） ，若EDF 为钝角时，求 k 的取值范围。l图 2解：解：（I）设 A（0，） 、Q（） 、M（x，y） ，则） ，y0x00，AP ( 3，y0。AQxy ()00，又AP AQ 0所以 3
6、0000xyy()()所以yx02 03又|QMAQ 2所以，所以xxyy00302 3xxyy0032 将代入，得yxx240（）（II）kijkk（ ， ）（ ， ）（ ， ）01101则 ：，此与联立得，时，lyk xyxk xkxkxxk kx xk ()()()()142404210100122222122212U又0DExyDFxyEDFDE DF ()()112211，若为钝角，则而 DE DFxxy yx xxxk xk x ()()()() ()121212121211111()()()kx xkxxk2 122 1221110将代入，整理得4202k所以2 22 2k由题知
7、 k0，故k ()()2 2002 2，U四、平行四边形问题四、平行四边形问题例例 4 一椭圆中心在原点，右焦点为 F（2，0） ，离心率为。6 3（I）过 F 作弦 AB，使，求点 P 的轨迹方程；OABP （II）OAPB 是不是矩形，如果是，写出相应的直线 AB 的方程，如果不是，说明理 由。解：解：（I）cc a26 3，所以，所以椭圆方程为abxy222226622621设 P（x,y）为轨迹上一点，由题设得平行四边形 OAPB，其对称中心为（）xy 22，设，则，两式相减，得A xyB xy()()1122，xyxy12 12 22 223636和，即()()()()xxxxyyy
8、y1212121230xykAB30而，将其代入上式，整理得，即kyxy xAB20224()xyx234022（）为所求点 P 的轨迹方程。（II）若 ABx 轴，得，相应的 OAPB 不是矩形|AB 22 34设 AB：联立，得yk xxy()23622，与()131212602222kxk xkxxk kx xk k1222122212 13126 13 ，因为 OAOB，所以x xy yx xkxx1212122 12220()()即()()12402 122 122kx xkxxk所以21 132126 1340222222kk kkk kk()() 即1543042kk解得（舍去）kk223 51 3 或故时矩形存在，AB 方程为。k 15 5yx 15 52()
