随机数的含义与应用概率的应用

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1、知识分析 1、如何理解几何概型？、如何理解几何概型？ 假设保留古典概型的等可能性条件，而试验结果又有无限个，且可用一个有度量（长 度、面积、体积、角度等）的几何区域表示，则这类事件的概率的计算就要用到几何概型。所谓几何概型，具备以下三个特点： （1）对一个试验，每次试验的各种结果是机会均等的； （2）每次试验的结果是无限多个、不可数的； （3）对基本事件空间和事件 A 可以用一个有度量的几何区域来表示。 因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是一样的，同属于“比例解法”。 即也就是说，几何概型是用数形结合的方法来研究和解决问题的。 为了更好的理解几何度量，我们用下面两个例题对比学习：【

2、例 1】在面积为 S 的ABC 的边 AB 上任取一点 P，求使PBC 的面积大于的概 率。解：记事件 A=PBC 的面积大于，基本事件空间是线段 AB 的长度，（如图），即，由三角形的相似性，即所以，事件 A 的几何度量为线段 AP 的长度，因为 AP=，所以 P（A）=。【例 2】在面积为 S 的ABC 内部任取一点 P，求使PBC 的面积大于的概率。解：该题的基本事件空间是ABC 的面积 S，记事件 APBC 的面积大于， （如图）根据面积公式得点 P 的活动区域应在ADE 内，其中 DE/BC, 且过高的分点，所 以。由这两个例子可以看出，解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件由这

3、两个例子可以看出，解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件 空间是指面积还是长度或体积。空间是指面积还是长度或体积。 下面两个题也是题意相似，但采用的几何度量不同，同学们可以尝试处理一下，进一下面两个题也是题意相似，但采用的几何度量不同，同学们可以尝试处理一下，进一 步理解上面的内容：步理解上面的内容： （1）如图，在等腰 RtABC 中，过直角顶点 C 在ACB 内部作一条射线 CM，与线 段 AB 交于点 M，求 AMAC 的概率。（2）如图，在等腰 RtABC 中，在底边 AB 上取一点 M，求 AMAC 的概率。参考答案：参考答案：（1） （2） 2、几何概型的常见题、几何概型的常见

4、题 题型一：长度型题型一：长度型 【例题】取一根长为 3 米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长都不 少于 1 米的概率有多大？ 解：解：如图 1，记剪得两段绳子的长都不小于 1 米为事件 A，把绳子三等份，于是当剪断位置处在中间一段时，事件 A 发生，由于中间一段的长度等于绳长的，所以事件 A 发生的概率为 P(A)=。评述：评述：将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域随机的取一点，该区域每一点被 取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来解。题型二：角度型题型二：角度型 【例题】如图 2 ，在直角坐

5、标系内，射线 OT 落在 60的终边上，任作一条射线 OA ，求射线 OA 落在xOT 内的概率。 解：解：设事件 A 为“射线 OA 落在xOT 内”。事件 A 的几何度量是 60，区域 的几何度量是 360，所以，由几何概率公式得题型三：面积型题型三：面积型 【例题】如图 3，在墙上挂着一块边长为 16cm 的正方形木板，上面画了小中大三个同 心圆，半径分别为 2cm , 4cm, 6cm，某人站在 3m 处向此板投镖。设投镖击中线上或没有 投中木板时都不算，可重投，问： （l）投中大圆内的概率是多少？ （2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ （3）投中大圆之外的概率是多少？分析：分

6、析：投中正方形木板上每一点（投中线上或没投中不算）都是一个基本事件，这一 点可以是正方形木板上任一点，因而基本事件有无限多个且每个基本事件发生的可能性都 相等，所以，投中某一部分的概率只与这部分的几何度量（面积）有关，这符合几何概型 的条件。 解：解：设事件 A：“投中大圆内”，事件 B：“投中小圆与中圆形成的圆环”，事件C：“投中大圆之外”，则，由几何概型的公式得：题型四：体积型题型四：体积型 【例题】在 1L 高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出 10 ml，含 有麦锈病的种子的概率是多少？ 分析：病种子在这 1 L 种子中的分布可以看做是随机的，取得的 10ml 种子可看做

7、构 成事件的区域， 1 L 种子可看做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其 概率。 解：解：取出 10 ml 种子，其中“含有病种子”这一事件记为 A ，则 P (A) =3、如何理解随机数及其应用？、如何理解随机数及其应用？ 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样。 因此，随机数就可以帮助我们安排和模拟一些试验，从而可以代替我们自己做大量重复的 试验。一般的科学计算器和计算机都可以产生随机数，同学们可以在理解了教材上有关随机 数的应用的例题后，尝试用计算器或计算机产生随机数，并试着运用模拟方法（包括计算 器和计算机都可以产生随机数来进行模拟）

8、估计概率，进一步体会几何概型的意义。 用计算器或计算机模拟随机试验，特别是对于一些成本高、时间长的试验，可以起到 降低成本、缩短时间的作用。4、解决概率应用题时，应注意哪些问题？、解决概率应用题时，应注意哪些问题？ （1）准确理解题意，抓住关键词语，将实际问题转化为数学问题； （2）在处理复杂问题时，要注意事件的互斥性，合理运用概率的加法公式； （3）用古典概型求随机事件的概率时，首先对于在试验中出现的结果的等可能性作出 判断；其次通过一个比值的计算来确定随机事件的概率； （4）几何概型的问题解决的关键是要构造出随机事件的几何图形，利用图形的几何度 量来求随机事件的概率。【典型例题典型例题】

9、例 1. 在圆心角为 90的扇形中，以圆心 O 为起点作射线 OC，求使得AOC 和BOC 都不小于 30的概率。 解析：解析：如图所示，设事件 A“作射线 OC，使AOC 和BOC 都不小于 30”，=90-30-30=30，=90，由几何概型的计算公式得：P（A）=点评：点评：本题是与角度有关的几何概型，实际上也可以转化为面积问题进行处理。【模拟试题模拟试题】1. 如图所示，在一个边长为 a、b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a 与，高为 b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率是（ ）A. B. C. D. 2. 设 A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一

10、点与 A 连接，则弦长超过半径倍的 概率是 （ ）A. B. C. D. 3. 在ABC 内任取一点 P，则ABP 与ABC 的面积比大于的概率为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在圆心角为 90的扇形中，以圆心 O 为起点作射线 OC，则使得AOC 和 BOC 都不小于 30的概率是（ ）A. B. C. D. 5. 某医院治疗一种疾病的治愈率为 10%，那么前 9 个病人都没有治愈，第 10 个人就一 定能治愈吗？ （ ） A. 能治愈 B. 不一定能治愈 C. 不能治愈 D. 以上答案都不对 6. 一对夫妇前三胎生的都是女孩，则第四胎生一个男孩的概率是 （ ）A. 0 B. C.

11、 D. 1 7. 从长度分别为 1、3、5、7、9 个单位的 5 条线段中任取 3 条作边，能组成三角形的概 率为（ ）A. B. C. D. 8. 从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中，任取 2 张，这 2 张卡片上的字母恰好是 按字母顺序相邻的概率是 （ ）A. B. C. D. 9. 如图，如果你向靶子上射 200 镖，你期望多少支镖落在红色区域（颜色较深的区域） 。10. 有两个转盘如图所示，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向 B 区域时，甲胜、 否则乙胜，在这两种情况下，甲获胜的概率分别是多少： ； 。11. 小王从他的钱包里取出一张百元钞票，则事件（1）钞票上的号码是

12、奇数的概率为 ； （2）钞票上的号码是 5 的倍数的概率为 ；（3）钞票上的号码是 10 的倍数的概率 为 。 12. 有一批小包装食品，其中重量在 9095 克之间的有 40 袋，重量在 95100 克之间的 有 30 袋，重量在 100105 克之间的有 10 袋，从中任意抽取 1 袋，则此袋食品的重量在 95105 克之间的概率为 。 13. 如图所示，有一杯 2 升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取 0.1 升水， 求小杯水中含有这个细菌的概率。14. 在两个正六面体的骰子的各面上分别标明数字 1，2，3，4，5，6，在一个正十二面 体的骰子的各面上分别标明数字 1，2，3

13、，12。问投掷两个正六面体骰子所得的点数之和与投掷一个正十二面体骰子所得点数的概率分布是否相同？即投掷一个正十二面体的骰 子可否代替投掷两个正六面体的骰子？ 15. 在一个试验中，一种血清被注射到 500 只豚鼠体内，最初，这些豚鼠中 150 只有圆 形细胞，250 只有椭圆形细胞，100 只有不规则形状细胞，被注射这种血清之后，没有一个 具有圆形细胞的豚鼠被感染，50 个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的 豚鼠全部被感染，根据试验结果，估计具有 （1）圆形细胞； （2）椭圆形细胞； （3）不规则形状细胞； 的豚鼠被这种血清感染的概率。【试题答案试题答案】 18：C B D A

14、B C D B9. 100 支 10. 11. 50，20，10 12. 5013. 解：设 A=小杯水中含有这个细菌，则=2 升，=0.1 升。P（A）=0.68。 14. 解：不相同。事实上，正十二面体，将各面写上数字 1，2，12，每个数字出现的可能性是相等的，都是。而抛掷两枚骰子时，设第一粒出现点数为 x，第二粒出现点 数为 y，则 x+y 应如下图：P（1）=0P（2）=P（12）=P（3）=P（11）=P（4）=P（10）=P（5）=P（9）=P（6）=P（8）=P（7）= 所以投掷一枚正十二面体骰子不能替代投掷两个正六面体骰子。 15. 解：（1）因为没有一个圆形细胞的豚鼠被感染，则概率为 0；（2）50 个椭圆形细胞的豚鼠被感染，则概率为； （3）具有不同规则细胞的豚鼠全被感染，则概率为 1。