高中数学 第19讲用样本估计总体及线性相关关系

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1、普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 老苗汤 老苗汤泡脚 老苗汤官网 高三新高三新数学数学第一轮复习教案（讲座第一轮复习教案（讲座 19）用样本估计总体及线用样本估计总体及线性相关关系性相关关系一课标要求：一课标要求： 1用样本估计总体 通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、 画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会他们各自的特点； 通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差； 能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如 平均数、标准差） ，并作出合理的解释； 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思

2、想，会用样本的频率 分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本 频率分布和数字特征的随机性； 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能 通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定 性思维的差异； 形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 2变量的相关性 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识 变量间的相关关系； 经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能 根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 二命题走向二命题走向 “统计”是在初

3、中“统计初步”基础上的深化和扩展，本讲主要会用样本的频率分 布估计总体的分布，并会用样本的特征来估计总体的分布。 预测 2007 年高考对本讲的考察是： 1以基本题目（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问 题为背景，综合考察学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力； 2热点问题是频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征。 三要点精讲三要点精讲 1用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数； 将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据

4、的中位数； （2）平均数与方差如果这 n 个数据是，那么叫做这 n 个数据平均数；nxxx,.,21 niixnx11如果这 n 个数据是，那么叫做这 n 个数据方差；nxxx,.,21)(112 niixxnS同时 叫做这 n 个数据的标准差。s)(11 niixxn2频率分布直方图、折线图与茎叶图 样本中所有数据（或数据组）的频率和样本容量的比，就是该数据的频率。所有数 据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布直方图、折线图、 茎叶图来表示。 频率分布直方图： 具体做法如下： （1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差） ； （2）决定组距与组数； （3）将数据分组

5、； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距=频率。组距频率折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。 总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此 光滑曲线为总体密度曲线。 3线性回归 回归分析：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的 两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系。 回归直线方程：设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个 点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为y对x的回归函数的类型为直线型：。其中，。我们称这个bxay 2121121)()

6、(xnxyxnyxxxyyxx bniiniiiniiniii xbya方程为y对x的回归直线方程。 四典例解析四典例解析 题型 1：数字特征例 1为了检查一批手榴弹的杀伤半径，抽取了其中 20 颗做试验，得到这 20 颗手 榴弹的杀伤半径，并列表如下：(1)在这个问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？ (2)求出这 20 颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数，并估计这批手榴弹的 平均杀伤半径 解析： (1)总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半径的全体；个体是每一颗手榴弹的 杀伤半径；样本是所抽取的 20 颗手榴弹的杀伤半径；样本容量是 20。 (2)在 20 个数据中，10 出现了 6

7、 次，次数最多，所以众数是 10（米） 。 20 个数据从小到大排列，第 10 个和第 11 个数据是最中间的两个数，分别为 9（米）和 10（米） ，所以中位数是（9+10）=9.5（米） 。21样本平均数（米）4 . 9) 112311610495817(201x所以，估计这批手榴弹的平均杀伤半径约为 9.4 米。 点评：(1)根据总体、个体、样本、样本容量的概念答题要注意：总体、个体和 样本所说的考察对象是一种数量指标，不能说成考察的对象是手榴弹，而应说是手榴弹 的杀伤半径。 (2)读懂表格的意义，利用概念求众数、中位数，用样本平均数估计这批手榴弹的 平均杀伤半径另外在这里要会简便计算有

8、多个重复数据的样本的平均数。 例 2为估计一次性木质筷子的用量，1999 年从某县共 600 家高、中、低档饭店抽 取 10 家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0 (1)通过对样本的计算，估计该县 1999 年消耗了多少盒一次性筷子（每年按 350 个 营业日计算） ； (2)2001 年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结 果是 10 个样本饭店，每个饭店平均每天使用一次性筷子 2.42 盒求该县 2000 年、 2001 年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（20

9、01 年该县饭店数、全年 营业天数均与 1999 年相同） ； (3)在(2)的条件下，若生产一套学生桌椅需木材 0.07m3，求该县 2001 年使用一次 性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅。计算中需用的有关数据为：每盒筷子 100 双， 每双筷子的质量为 5g，所用木材的密度为 0.5103kg/m3； (4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去 做，简要地用文字表述出来。解析：(1)0 . 2)0 . 12 . 31 . 22 . 17 . 18 . 25 . 12 . 27 . 36 . 0(101x所以,该县 1999 年消耗一次性筷子为 2600

10、350=420000（盒） 。 (2)设平均每年增长的百分率为 X，则 2（1+X）2=2.42, 解得 X1=0.1=10%，X2=2.1（不合题意，舍去） 。 所以,平均每年增长的百分率为 10%；(3)可以生产学生桌椅套数为（套） 。726007. 0105 . 035060010042. 2005. 03(4)先抽取若干个县（或市、州）作样本，再分别从这些县（或市、州）中抽取若 干家饭店作样本，统计一次性筷子的用量 点评：本题是一道统计综合题，涉及的知识点很多，需要灵活运用各种知识分析解 决问题对于第(1)小题，可先求得样本平均数，再利用样本估计总体的思想来求得问 题的解对于第(2)小

11、题，实际是一个增长率问题的应用题，可通过设未知数列方程的 方法来解对于第(3)小题，用到了物理公式 mv， 体现了各学科知识之间的联系， 让学生触类旁通，在解决实际问题时能综合运用多种知识灵活地解决问题第(4)小题 只要能够运用随机抽样方法，能体会到用样本估计总体的统计思想就可解决，在文字表 述上要注意简洁、明了、正确。 题型 2：数字特征的应用 例 3 （2002 年全国高考天津文科卷(15)）甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下（单位：t / hm2）品种第 1 年第 2 年第 3 年第 4 年第 5 年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.7

12、9.8其中产量比较稳定的小麦品种是 甲 。解析：甲 = ( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0，乙 = ( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + x15x159.8) = 10.0；s= ( 9.82 + + 10.22) 102 = 0.02，s = ( 9.42 + + 9.82) 102 = 0.244 0.02 。2甲152甲15点评：方差与平均数在反映样本的特征上一定要区分开。 例 4 （2005 江苏 7）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个

13、最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （A）9.4, 0.484 （B）9.4, 0.016 （C）9.5, 0.04 （D）9.5, 0.016 答案：D； 解析：7 个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的 5 个数为：9.4, 9.4, 9.6, 9.4, 9.5。则平均数为：，即。5 . 946. 955 . 94 . 96 . 94 . 94 . 9x5 . 9x方差为：016. 0)5 . 95 . 9()5 . 94 . 9()5 . 94 . 9(512222 s即 ，故选 D。016. 02s点评：一定要根据实际的题意解决问题，并还原实际情景。 题型 3：频率分布直方图

14、与条形图 例 5为检测,某种产品的质量,抽取了一个容量为 30 的样本,检测结果为一级品 5 件, 而极品 8 件,三级品 13 件,次品 14 件. （1）列出样本频率分布表; （2）画出表示样本频率分布的条形图; （3）根据上述结果,估计辞呈商品为二极品或三极品的概率约是多少 解析：(1)样本的频率分布表为产品 频数 频率一级晶5017二级晶8027三级晶13043次品4013(2)样本频率分布的条形图为：(3)此种产品为二极品或三极品的概率约为 0.27+0.43=0.7。 点评：条形图中纵坐标一般是频数或频率。 例 6 （2006 重庆理，6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查

15、了该地区100 名年龄为 17.5 岁岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这 100 名学生中体重在56.5,64.5的学生人数是(A)20 (B)30 (C)40 （D）50 答案：C； 解析：根据运算的算式：体重在56.5,64.5学生的累积频率为 20.0320.0520.0520.07=0.4，则体重在56.5,64.5学生的人数为 0.4100=40。 点评：熟悉频率、频数、组距间的关系式。例 7某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的 40 名学生的身高，其结果如下（单位：cm）分组140，145）145，150）150，155）155，160）160，165）165，170）170，175）175，180）合计人数12591363140（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据落在150，170范围内的概率。解析：（1）根据题意可列出频率分布表：分 值频 数频 率140，14510.025145，15020.