解三角形典型例题分析

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1、解三角形典型例题分析解三角形典型例题分析知识点知识点 1 1正弦定理正弦定理: :或变形：或变形：. .2sinsinsinabcRABC: :sin:sin:sina b cABC（熟记：在有关三角形的证明题中，有如下性质（熟记：在有关三角形的证明题中，有如下性质,sin()sin,cos()cos;sin2ABABCABCABC ） 考察点考察点 1：利用正弦定理解三角形：利用正弦定理解三角形 例例 1 、在ABC 中，已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c.V考察点考察点 2 2：利用正弦定理判断三角形形状：利用正弦定理判断三角形形状例例 2 2、在ABC 中，tanB=tan

2、A，判断三角形 ABC 的形状。2a2b例例 3 3、在ABC 中，如果，并且 B 为锐角，试判断此三角形lglglgsinlg2acB 的形状。考察点考察点 3 3：利用正弦定理证明三角恒等式：利用正弦定理证明三角恒等式例例 4 4、在ABC 中，求证.222222 0coscoscoscoscoscosabbcca ABBCCA例例 5 5、在ABC 中，a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边，C=2B，求证.22cbabcos,cossin.222CABC考察点考察点 4 4：求三角形的面积：求三角形的面积例例 6 6、在ABC 中，a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，若,

3、2 52,cos425BaC求ABC 的面积 S.例例 7 7、已知ABC 中 a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，ABC 的外接圆半径为 12，且, 求ABC 的面积 S 的最大值。3C考察点考察点 5 5：与正弦定理有关的综合问题：与正弦定理有关的综合问题例例 8 8、已知ABC 的内角 A,B 极其对边 a,b 满足求内角 Ccotcot,abaAbB例例 9 9、在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a,b,c,且 c=10,，求 a,bcos4 cos3Ab Ba例例 1010、在ABC 中，若求的取值范围。 （易错题易错题）3 ,CBc b提升训练提升训练 学以致用

4、学以致用1 1、在ABC 中，下列关系式中一定成立的是（ ）A B. =asinbAasinbA C. D. asinbAasinbA2 2、在ABC 中，若，则ABC 是（ ）coscoscosabc ABCA直角三角形 B.等边直角三角形 C钝角三角形 D.等腰直角三角形3 3、在ABC 中，则，满足此条件的三角形有（ ）,3 ,45abAA0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个4、在ABC 中则。75 ,45 ,3 2,ABc_b 5、 （2011山东模拟）在ABC 中角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，若，则角 A 的大小为2,2,sincos2abBB_6、在ABC 中，角

5、 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，求证。222sin sinABab cC知识点知识点 2 2余弦定理：余弦定理： 或或. .2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC 222222222cos2cos2cos2bcaAbc acbBac bacCab 考察点考察点 1 1： 利用余弦定理解三角形利用余弦定理解三角形例例 1 1：已知ABC 中，求 A，C 和。3,3 3,30 ,bcBa例例 2 2：ABC 中，已知，求 A，B，C2 6,62 3,4 3abc考察点考察点 2 2： 利用余弦定理判断三角形的形状利用余弦定理判断三角形的形状例例 3

6、3：在ABC 中，已知且，试判断3,abcabcab2cossinsinABCgABC 的形状。例例 4 4：已知钝角三角形 ABC 的三边求 k 的取值范围。,2,4,ak bkck考察点考察点 3 3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题：利用余弦定理证明三角形中的等式问题 例例 5 5、在中，a,b,c 分别是角 A，B，C 的对边，（1）求证 （2）求证coscos;aBbAc221coscos.222CAaabc例例 6 6、在中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c。ABCV（1）求证 （2）求证222sin;sinABab cCcossin cossinacBB bcAA考察点

7、考察点 4 4：正余弦定理的综合应用：正余弦定理的综合应用例例 7 7：设的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABCV2223,bcabc（1）求 A 的大小； （2）求的值。2sincossinBCBC例例 8 8：设得到内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且ABCVcos3, sin4.aBbA（1）求边长 a； （2）若的面积 S=10，求的周长 。ABCVABCVl例例 9 9（易错题）：（易错题）：在中，已知试判断的形状。ABCVcoscos ,aAbBABCV例例 1010（易错题）：（易错题）：在中，已知求。ABCV2,2 2,15 ,abCA提升训练提升训

8、练 学以致用学以致用1、中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，则 c 等于（ ABCV,7,1,3Aab）A B.3 C. D.2 2312 32、如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么他的顶角的余弦值为（ ）A B. C. D.5 183 43 27 83、 （2011.广东模拟）在中， 分别是角 A，B，C 所对的边，已知ABCV则角 A 等于3,3,6abC_4、的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c 设向量p p， ABCV,ac b，若p p q q，则 C 的大小为,ba ca_5、在锐角三角形中，角 A，B，C 所对的边分别是 a,b,c，已知。ABC1

9、cos3A （1）求的值22tansin22BCA（2）若，求的值2,2ABCaSVb参考答案例例 1、解：例例 2、解：由正弦定理变式 a=2RsinA,b=2RsinB 得：,即，sincossincos ,AABBsin2sin2AB2222ABAB或.为等腰三角形或直角三角形。2ABAB或ABCV例例 3、解：. 又B 为锐角，B=45. 由2lgsinlg2,sin2BB Q由正弦定理，得, 2lglglg2,.2caca 得sin2 sin2A C代入上式得：18045,AC2sin2sin 135CC2cos2sin,CCcos0,90 ,45 .CCAABCV为等腰直角三角形。

10、例例 4、【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为.222abc，222sin,sin,sinABC证明：由正弦定理的变式得：a2 sin,2 sinRA bRB2224coscos coscosR AB（1-A）-(1-B)22 2(coscos)4(coscos)coscosBARBAAB同理22 222 24(coscos),coscos4(coscos).coscosbcRCBBC caRACCA 2=4(coscoscoscoscoscos)0RBACBAC左边右边等式成立。:1:2:3,A.,63213: : sin:sin:sinsin:sin:si

11、n:11:3:2.63222A B CBCABCa bABCQ而22sinsin2Rsin2RsincoscosBAABBA2 sin135 coscos135 sinCC2222224sin4sin=coscoscoscosabRARB ABAB 例例 5、【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.证明： 180 ,180.ABCBCAQ2 ,.CBCBBQ又sin()sin(180)sin,BCAAQ2222222224(sinsin)4(sinsin)(sinsin)42sincos2cossin2222 4sin()sin()4sinsin.cbRCBRCBCBBCCBBCCBRR

12、CBCBRABab右边等式成立.例例 6、【点拨】先利用三角公式求出 sinB,sinA 及边 c，再求面积。解：由题意，得B 为锐角，2 5cos25B23cos2cos1,25BB 由正弦定理得437 2sin,sinsin()sin(),5410BABCB10,7c 111048sin2.22757SacB 例例 7、【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。解：11sin2 sin2 sinsin22ABCSabCRARBCVggg231cos().22RABcos()1,ABAB当即时，例例 8、由及正弦定理得，cotcotabaAbBsinsin=coscosABAB

13、，从而sincoscossinAABBsincoscossincossinsincos,4444AABB即 又0A+B，sin()sin().44AB,44AB,.22ABC例例 9、解：变形为coscossin,=,coscossinAbAB BaBA由可得又ABC 是直角三角形。,22 ,2abABABQ2233sinsincos()cos()2RABRABAB2 max3 33 3()144108 3.44ABCSRVgsincossincos ,sin2sin2AABBAB由解得222104 3,abb a6,8.ab例例 10、由正弦定理可知sinsin3sin(2 )=sinsin

14、sincCBBB bBBBsincos2cossin2 sinBBBB B22cos22cos4cos1.BBB=180ABCQ，0B45，1. 13，故 13.3 .CB2 2cosB24cos1Bc b知识点知识点 2 2例例 1、由正弦定理得，2222cos ,bacacB22233 323 3cos30aa解得或 6. 当时， 29180,aa3a 3a 30 ,120AC当时，由正弦定理得6a 16sin2sin1,3aBAb 90 ,60 .AC例例 2、由余弦定理得： 222 22262 34 32 6 cos2262 34 3bcaAbc 。3624 3124824 48 3487224 3333