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1、勾股定理的测量问题例 4. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了 1 米，当他把绳子 的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，他想了想，求出了旗杆的高度，你知道他是 怎样算出来的吗？分析：分析：由题意可知绳子比旗杆多 1 米，把 下端拉开 5 米后，下端刚好接触地面，如图， 这时旗杆 AB，绳子 AC，旗杆底点 B 与绳接触 地面的点 C 所连结的线段 BC 构成直角三角形。解：解：设旗杆 ABx 米，则绳长 AC（x1）米 在 RtABC 中，由勾股定理可知：222BCABAC即2225) 1(xx解得12x（米） 答：答：旗杆的高度为 12 米。例 5. 有一圆柱
2、形油罐，如图，以 A 点环绕油罐建梯子，正好到 A 点的正上方 B 点，问 梯子最短需多少米？（已知油灌的周长为 12m，高 AB 是 5m）分析：分析：本题直接解答困难，若把图的侧面展开，所求梯子最短距离就变为在 BAARt中斜边AB的长可通过利用勾股定理求得。 解：解：假设将圆柱体的侧面沿 AB 剪开铺平，则BBAA为长方形，则 mBAAB5，mBBAA12，因此沿 AB建梯子则最省材料，梯子最短。在BAARt中)(135122222mBAAAAB答：答：梯子最短需 13m。例 6. 如图，在 ABC 中，C30，BAC105，ADBC，垂足为 D，AC2cm，求 BC 的长。解析：解析：
3、在 ABC 中，ADBCADC 为 RtC30ACAD21AC2AD14560105DACBACBAD60DAC105BAC312ADACDC2222，Q即 RtABD 为等腰三角形BDAD1BCDBDC（13） （cm）例 7. 如图，已知 BC9，AB17，AC10，ADBC 于 D，求 AD 的长。分析：分析：无论把 AD 放在直角 ADC 还是在直角 ADB 中，都不易直接利用勾股定理 计算 AD，必须先求出 CD 的长才能解决问题，需求 CD 的长，可设 CDx，设法找到关 于 x 的方程，通过解方程的方法求出未知的 CD 长，题中的 AD 可作为解题的桥梁，列出 方程。 解：解：设
4、 CDx，在直角三角形 ADC 中2222210xCDACAD 在直角 ABD 中222222222)9(1710)9(17xxxBDABAD解得6x例 8. 如图分别以直角三角形的三边为边长向外作正三角形，试探索三个正三角形面积间 的关系。861022 AD分析：分析：首先应探索出正三角形的面积与正三角形的边长 之间的关系，然后可设出直角 ABC 的各边长，分别计算 SI、SII、SIII，再进行比较。 一、填空题1. 在 RtABC 中，C90，若 AC5，AB13，则 BC_。2. 在直角三角形中有两边的长为 3 和 4，则第三边的长为_。3. 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，已知底
5、 AD6cm，BC11cm，腰 CD12cm，则直 角梯形的周长为_。图 14. 直角三角形的周长为62，斜边的长为 2，则此三角形面积为_。5. 若222543，则将等式两边乘以 3 得 27、48、75 为边的三角形_（不是 直角三角形，是直角三角形）6. 一个等腰三角形周长是 16cm，底边上的高是 4cm，则三角形各边长为_。7. 若一个直角三角形的三边为三个连续的偶数，则它的周长为_。8. 如果一个直角三角形的三边为三个连续的整数，则它的面积为_。9. 若直角三角形的两条直角边各扩大一倍，则斜边扩大_倍。10. 正方形的面积为236cm，是其对角线长为_cm。二、选择题1. 等腰直角
6、三角形斜边为 10，则其直角边为（ ）A. 25B. 34C. 52D. 322. 矩形的周长为 20m，宽为 2m，则对角线长为（ ）A. m35B. m112C. m172D. m1323. ABC 中，若A:B:C1：2：3，则 BC：AC：AB 的值为（ ）A. 3:2:1B. 3:2:1C. 2:1:3D. 2:3:14. 直角三角形两直角边的长分别为 5，12，则斜边上的高为（ ）A. 6B. 8C. 1380D. 13605. 已知在 ABC 中，a3，633cb，则A，B 分别为（ ）A. 60，30B. 30，60C. 70，60D. 60，906. 在 RtABC 中，C9
7、0，已知104:3:cba，则 ABC 面积为（ ）A. 24B. 12C. 28D. 307. 三角形三边的长分别为 a、b、c，且0)()(22222cbaba，则三角形的形 状为（ ） A. 任意等腰三角形B. 任意直角三角形 C. 等腰直角三角形D. 等边三角形8. 一直角三角形的斜边长比直角边大 2，另一直角边为 6，则斜边长为（ ）A. 4B. 8C. 10D. 129. 已知一个直角三角形的周长为 30cm，面积为 30cm2，那么这个直角三角形的斜边长为 （ ）A. 15B. 14C. 13D. 1210. ABC 的三边长分别为 8、15、17，则最短边上的中线长为（ ）A.
8、 1717 B. 241C. 273D. 以上都不对三、解答题1. 如图 2，四边形 ABCD 中，BAD90，DBC90， AD3，DC13，BC12，求四边形 ABCD 的面积。图 22. 已知，如图 3，ABDC90， ACBC，BD6，AD12，求 BC 的长。图 33. 已知，如图 4，在 ABC 中，C90，AB 的中垂线 交 BC 于 M，交 AB 于 N，若 AC8，MB2MC，求 AB 的 长。图 44. 上午 9 时，在灯塔 P 的西南方向 120 海里处的 M 处，一只船向正东方向航行，中午 12 时到达这座灯塔的正南方向的 N 处（如图 5） ，求这只船航行速度。北 P
9、 东 M N 图 5 5. 将一根长 24cm 的筷子，置于底面直径 为 5cm，高为 12cm 的圆柱形水杯中，如 图 6，设筷子露出在杯子外面长为 hcm， 则 h 的取值范围是多少？图 6【试题答案试题答案】一、1. 122. 5 或73. 42cm4. 215. 6. 5，5，6cm7. 248. 69. 110. 26 二、1. A2. C3. D4. D5. B6. A7. C8. C9. C10. B三、1. 362. 633. 164. 220（海里/时）5. cmhcm1211第第 4 4 课时课时 勾股定理（勾股定理（3 3）教学目标：教学目标：使学生进一步掌握勾股定理，运
10、用勾股定理解决实际问题中的测量与计算。 教学重点：教学重点：运用勾股定理解决实际问题中的测量与计算。 教学难点：教学难点：运用勾股定理解决实际问题中的测量与计算。 教学过程：教学过程： 一、复习和练习：一、复习和： 在ABC 中，C=90. 1.若 a=5,b=12,求 c； （c=13）2.若 b=7,c=9,求 a； （a=）243.若 c=10,a:b=3:4 求 a,b。 （a=6，b=8） 二新课探究：二新课探究：例 1.已知 RtABC 中，斜边长为，周长为。求其面积。262分析 ：欲求 Rt的面积，只需求两直角边之积，由已知得直角边之和为，结合勾股定理又得平方和为 4。于是可列方
11、程组求解。6解：如图,设 RtABC 的两直角边为、则 a, b6ba 422ba -得:2ab=2,则2 21 21abc cb ba aC CB BA ASABC 21说明：在直角三角形中，已知几条边之间的某种关系，常结合勾股定理列方程组求解。 在此题中，采用了“设而不求”的技巧。例 2.作长为的线段。5, 3,2分析 ：由勾股定理，直角边长为 1 的等腰 Rt，斜边长等于；直角边长为、221 的直角三角形的斜边长就是；类似地也可作出。35作法：作法：1.作直角边长为 1（单位长）的等腰 RtABC。 2.以斜边 AB 为一直角边，作另一直角边长为 1 的 Rt ABB1。 3.顺次这样作
12、下去，最后作到 RtAB2B3。这时斜边 AB、AB1 、AB2、AB3的长度就是。、5432说明：说明：根据确定两直角边的长度，构造直角三角形，则斜边就是所求做的线段。n三、引申提高：三、引申提高： 例 3已知，如图ABC 中，AB=AC,D 为 BC 上任一点，试说明：DCBDADAB22分析：欲说明，必须构造直角三角形，由于 AB=AC，故作DCBDADAB22BC 边上的高，运用勾股定理即可说明。 解：过 A 作 AEBC 于 E。在 RtABE 中，。 222BEAEAB在 RtADE 中，。 222EDAEAD-得：。)(2222EDBEEDBEEDBEADABAB=AC，AEBC
13、，BE=EC。DCBDEDECBDADAB)(22方法技巧：说明某些线段平方式问题常通过作垂线，构造直角三角形，从而运用勾股 定理，结论中有两条线段积的形式时，常运用平方差公式进行因式分解。 四。巩固练习：四。巩固练习： 目标手册P.93.当堂课内练习.P.93.15 五。课时小结：五。课时小结：1 根据确定两直角边的长度，构造 Rt，则斜边即为所求线段。n2.矩形的折叠问题中，经常会用勾股定理得到一个方程或方程组来求某些未知线段 的长。3 32 21 11 11 1B BB BB B1 11 1C CB BA AB BA AE ED DC C考点二：线段是否垂直的问题考点二：线段是否垂直的问
14、题 例 3：小月同学根据印度数学家什迦罗(1141 年-1225 年)曾提出的“荷花问题”编了一道 “新荷花问题”：“平平湖水清可鉴，某处湖底生有莲，湖水深知 3.75 尺，面上红莲有半尺； 忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远，恰露花朵在水面；此莲出泥而不染， 是否亭亭立湖间？ 【思路分析思路分析】首先要根据题意画出图形，构造成三角形，利用三角形的三边关系确定三 角形是否是直角三角形，从而说明花是否与湖面垂直。 解：解：根据题意画图如下：BD=0.5 尺,BC=3.75 尺,AC=BD+BC=0.5+3.75=4.25 尺,AB=2 尺.在ABC 中,因为 AB2+BC2=22+3.752=18.0625=4.252=AC2,所以ABC=90.因为水面是水平的,故荷花亭亭立于 湖水中.1. 求下图中字母所代表的正方形的面积6、下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老师 想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流并提出一个设计方 案“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深、 葭长各几何 ”练习：风动红莲 平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？
