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1、浙生家教网- 专注杭州中小学课外 1 对 1 上门家教2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共 5 页. 150 分.考试时长 120 分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无 效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要 求的一项. 1已知集合 A=xR|3x+20 B=xR|（x+1）(x-3)0 则 AB=A （-，-1）B （-1，-2 3） C （-2 3,3）D (3,+)【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考
2、查的是一次和二次不等式的解法。因为，利用二次不等式可得或画32023|xxRxA1|xxB3x出数轴易得：故选 D3|xxBAI【答案】D2设不等式组，表示平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐 20, 20 yx标原点的距离大于 2 的概率是（A）4（B）2 2（C）6（D）4 4【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点 D 2020 yx可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选 D。44 22241222 P【答案】D 3设 a，bR。“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
3、D.既不充分也不必要条件【解析】当时，如果同时等于零，此时是实数，不是纯虚数，因此0a0b0bia 不是充分条件；而如果已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到bia ，因此想必要条件，故选 B。0a 【答案】B 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）浙生家教网- 专注杭州中小学课外 1 对 1 上门家教A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】，循环结束，输0k11ks21ks22ks8s 出的 s 为 8，故选 C。 【答案】 5.如图. ACB=90，CDAB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E.则( )A. CECB=ADDB B. CECB=AD
4、AB C. ADAB=CD D.CEEB=CD 【解析】在中，ACB=90，CDAB 于点 D，所以,由切割线定ACBDBADCD2理的,所以 CECB=ADDB。CBCECD2【答案】A 6.从 0，2 中选一个数字.从 1.3.5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为 ( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。 如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3 种选择)，之后十位(2 种选择)，最后 百位(2 种选择)，共 12 种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3 种情
5、况)，十位(2 种情况)，百位(不能是 0，一种情况)，共 6 种，因此总共 12+6=18 种情况。 【答案】B 7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+125555【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的 为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。 本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：浙生家教网- 专注杭州中小学课外 1 对 1 上门家教，因此该几何体表面积10底S10后S10右S56左S，故选 B
6、。5630左右后底SSSSS【答案】B 8.某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前 m 年的年 平均产量最高。m 值为（ ）A.5 B.7 C.9 D.11 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选 C。 【答案】C 第二部分(非选择题共 110 分) 二.填空题共 6 小题。每小题 5 分。共 30 分.9直线为参数)与曲线为参数)的交点个数为_。ttytx(12 (sin3cos3 yx【解析】直线的普通方程，圆的普通方程为，可以直线圆相交，01 yx922 yx故有 2 个交点。 【答案】210已知等差
7、数列为其前 n 项和。若，则=_。nanS211a32aS 2a【解析】因为，212111132132addadaaaaaaS所以，。112daanndnnnaSn41 41) 1(2 1【答案】，12annSn41 41211在ABC 中，若=2，b+c=7，cosB=，则 b=_。a41浙生家教网- 专注杭州中小学课外 1 对 1 上门家教【解析】在ABC 中，利用余弦定理 cbcbc acbcaB4)(4 41 2cos222，化简得：，与题目条件联立，可解得cbc 4)(740478 bc7cb . 2, 4, 3abc【答案】412在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线=4x
8、的焦点 F.且与该撇物线相交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60.则OAF 的面积为 【解析】由可求得焦点坐标 F(1,0)，因为倾斜角为，所以直线的斜率为xy4260，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立360tank33 xy，因此 )332,31()32 , 3(4332BAxyxy332121 21AOAFyOFS【答案】313已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则的值为CBDE_，的最大值为_。DCDE【解析】根据平面向量的数量积公式，由图可知，DADECBDEcos|DADE ，因此，|cos|DADE1|2D
9、ACBDE，而cos|DCDEDCDEcos|DE就是向量在边上的射影，要想让cos|DEDEDC最大，即让射影最大，此时 E 点与 B 点重合，射影为DCDE，所以长度为 1DC【答案】1，114.已知，若同时满足条件：)3)(2()(mxmxmxf22)(xxg，或；Rx0)(xf0)(xg, 。)4,(x)(xf0)(xg浙生家教网- 专注杭州中小学课外 1 对 1 上门家教则 m 的取值范围是_。 【解析】根据，可解得。由于题目中第一个条件的限制，022)(xxg1xRx或成立的限制，导致在时必须是的。当时，0)(xf0)(xg)(x1x0)(xf0m不能做到在时，所以舍掉。因此，作为
10、二次函数开口0)(xf)(xf1x0)(xf)(xf只能向下，故，且此时两个根为，。为保证此条件成立，需要0mmx2132mx，和大前提取交集结果为；又由于条件 421131221mm mxmx0m04m2：要求，0 的限制，可分析得出在时，恒负，)4,(x)()(xgxf)4,(x)(xf因此就需要在这个范围内有得正数的可能，即应该比两根中小的那个大，)(xg421,xx当时，解得，交集为空，舍。当时，两个根同为)0 , 1(m43 m1m，舍。当时，解得，综上所述42) 1, 4(m42m2m)2, 4(m【答案】)2, 4(m三、解答题公 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算
11、步骤或证明过程。 15 （本小题共 13 分）已知函数。xxxxxfsin2sin)cos(sin)(（1）求的定义域及最小正周期；)(xf（2）求的单调递减区间。)(xf浙生家教网- 专注杭州中小学课外 1 对 1 上门家教16 （本小题共 14 分）如图 1，在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且DEBC，DE=2，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CCD,如图 2. (I)求证：A1C平面 BCDE； (II)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小； (III)线段 BC 上是否存在点 P，
12、使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由解： （1）QCDDE，1AEDEDE 平面1ACD，又Q1AC 平面1ACD，1AC DE又1ACCD，1AC 平面BCDE。浙生家教网- 专注杭州中小学课外 1 对 1 上门家教（2）如图建系Cxyz，则200D ，002 3A，030B，220E ，1032 3AB uuu r，,1210AE uuu u r，设平面1ABE法向量为nxyzr ，则1100AB nAE nuuu r ruuu u r r 32 3020yzxy3 22zyyx 123n r，又103M ，103CM uuuu r，1342cos2| |143132 2 2
13、CM n CMnuuuu r r uuuu rr ，CM与平面1ABE所成角的大小45。（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为00a，则03a，则102 3APau u u r，20DPauuu r，设平面1ADP法向量为1111nxyzu u r，则11112 3020ayzxay11113 6 1 2zayxay 1363naa u u r，。假设平面1ADP与平面1ABE垂直，则10nnu u r r，31230aa，612a ，2a ，03a，不存在线段BC上存在点P，使平面1ADP与平面1ABE垂直。17 （本小题共 13 分） 近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽 取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据
