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1、浙生家教网- 专注杭州中小学课外 1 对 1 上门家教2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共 5 页. 150 分.考试时长 120 分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无 效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要 求的一项. 1已知集合 A=xR|3x+20 B=xR|(x+1)(x-3)0 则 AB=A (-,-1)B (-1,-2 3) C (-2 3,3)D (3,+)【解析】和往年一样,依然的集合(交集)运算,本次考
2、查的是一次和二次不等式的解法。因为,利用二次不等式可得或画32023|xxRxA1|xxB3x出数轴易得:故选 D3|xxBAI【答案】D2设不等式组,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 20, 20 yx标原点的距离大于 2 的概率是(A)4(B)2 2(C)6(D)4 4【解析】题目中表示的区域如图正方形所示,而动点 D 2020 yx可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此,故选 D。44 22241222 P【答案】D 3设 a,bR。“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
3、D.既不充分也不必要条件【解析】当时,如果同时等于零,此时是实数,不是纯虚数,因此0a0b0bia 不是充分条件;而如果已经为纯虚数,由定义实部为零,虚部不为零可以得到bia ,因此想必要条件,故选 B。0a 【答案】B 4执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )浙生家教网- 专注杭州中小学课外 1 对 1 上门家教A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】,循环结束,输0k11ks21ks22ks8s 出的 s 为 8,故选 C。 【答案】 5.如图. ACB=90,CDAB 于点 D,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E.则( )A. CECB=ADDB B. CECB=AD
4、AB C. ADAB=CD D.CEEB=CD 【解析】在中,ACB=90,CDAB 于点 D,所以,由切割线定ACBDBADCD2理的,所以 CECB=ADDB。CBCECD2【答案】A 6.从 0,2 中选一个数字.从 1.3.5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为 ( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【解析】由于题目要求的是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇;偶奇奇。 如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析(3 种选择),之后十位(2 种选择),最后 百位(2 种选择),共 12 种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理:个位(3 种情
5、况),十位(2 种情况),百位(不能是 0,一种情况),共 6 种,因此总共 12+6=18 种情况。 【答案】B 7.某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( )A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+125555【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字所表示的 为直接从题目所给三视图中读出的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。 本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式,可得:浙生家教网- 专注杭州中小学课外 1 对 1 上门家教,因此该几何体表面积10底S10后S10右S56左S,故选 B
6、。5630左右后底SSSSS【答案】B 8.某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前 m 年的年 平均产量最高。m 值为( )A.5 B.7 C.9 D.11 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选 C。 【答案】C 第二部分(非选择题共 110 分) 二.填空题共 6 小题。每小题 5 分。共 30 分.9直线为参数)与曲线为参数)的交点个数为_。ttytx(12 (sin3cos3 yx【解析】直线的普通方程,圆的普通方程为,可以直线圆相交,01 yx922 yx故有 2 个交点。 【答案】210已知等差
7、数列为其前 n 项和。若,则=_。nanS211a32aS 2a【解析】因为,212111132132addadaaaaaaS所以,。112daanndnnnaSn41 41) 1(2 1【答案】,12annSn41 41211在ABC 中,若=2,b+c=7,cosB=,则 b=_。a41浙生家教网- 专注杭州中小学课外 1 对 1 上门家教【解析】在ABC 中,利用余弦定理 cbcbc acbcaB4)(4 41 2cos222,化简得:,与题目条件联立,可解得cbc 4)(740478 bc7cb . 2, 4, 3abc【答案】412在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线=4x
8、的焦点 F.且与该撇物线相交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60.则OAF 的面积为 【解析】由可求得焦点坐标 F(1,0),因为倾斜角为,所以直线的斜率为xy4260,利用点斜式,直线方程为,将直线和曲线联立360tank33 xy,因此 )332,31()32 , 3(4332BAxyxy332121 21AOAFyOFS【答案】313已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则的值为CBDE_,的最大值为_。DCDE【解析】根据平面向量的数量积公式,由图可知,DADECBDEcos|DADE ,因此,|cos|DADE1|2D
9、ACBDE,而cos|DCDEDCDEcos|DE就是向量在边上的射影,要想让cos|DEDEDC最大,即让射影最大,此时 E 点与 B 点重合,射影为DCDE,所以长度为 1DC【答案】1,114.已知,若同时满足条件:)3)(2()(mxmxmxf22)(xxg,或;Rx0)(xf0)(xg, 。)4,(x)(xf0)(xg浙生家教网- 专注杭州中小学课外 1 对 1 上门家教则 m 的取值范围是_。 【解析】根据,可解得。由于题目中第一个条件的限制,022)(xxg1xRx或成立的限制,导致在时必须是的。当时,0)(xf0)(xg)(x1x0)(xf0m不能做到在时,所以舍掉。因此,作为
10、二次函数开口0)(xf)(xf1x0)(xf)(xf只能向下,故,且此时两个根为,。为保证此条件成立,需要0mmx2132mx,和大前提取交集结果为;又由于条件 421131221mm mxmx0m04m2:要求,0 的限制,可分析得出在时,恒负,)4,(x)()(xgxf)4,(x)(xf因此就需要在这个范围内有得正数的可能,即应该比两根中小的那个大,)(xg421,xx当时,解得,交集为空,舍。当时,两个根同为)0 , 1(m43 m1m,舍。当时,解得,综上所述42) 1, 4(m42m2m)2, 4(m【答案】)2, 4(m三、解答题公 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算
11、步骤或证明过程。 15 (本小题共 13 分)已知函数。xxxxxfsin2sin)cos(sin)((1)求的定义域及最小正周期;)(xf(2)求的单调递减区间。)(xf浙生家教网- 专注杭州中小学课外 1 对 1 上门家教16 (本小题共 14 分)如图 1,在 RtABC 中,C=90,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且DEBC,DE=2,将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置,使 A1CCD,如图 2. (I)求证:A1C平面 BCDE; (II)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (III)线段 BC 上是否存在点 P,
12、使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由解: (1)QCDDE,1AEDEDE 平面1ACD,又Q1AC 平面1ACD,1AC DE又1ACCD,1AC 平面BCDE。浙生家教网- 专注杭州中小学课外 1 对 1 上门家教(2)如图建系Cxyz,则200D ,002 3A,030B,220E ,1032 3AB uuu r,,1210AE uuu u r,设平面1ABE法向量为nxyzr ,则1100AB nAE nuuu r ruuu u r r 32 3020yzxy3 22zyyx 123n r,又103M ,103CM uuuu r,1342cos2| |143132 2 2
13、CM n CMnuuuu r r uuuu rr ,CM与平面1ABE所成角的大小45。(3)设线段BC上存在点P,设P点坐标为00a,则03a,则102 3APau u u r,20DPauuu r,设平面1ADP法向量为1111nxyzu u r,则11112 3020ayzxay11113 6 1 2zayxay 1363naa u u r,。假设平面1ADP与平面1ABE垂直,则10nnu u r r,31230aa,612a ,2a ,03a,不存在线段BC上存在点P,使平面1ADP与平面1ABE垂直。17 (本小题共 13 分) 近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽 取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据