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1、第第 1212 讲讲 几何图形计数几何图形计数知识方法扫描知识方法扫描计数是组合数学的重要内容，计数的方法有分类法，分步法，递推法和与 对应法等。 1分类计数分类计数 在计数时，为了做到不重复也不遗漏，可以先将图形按某个标准分类，然 后将其每一类相的方法数加，便得到了总数。这种方法叫做分类法。 2分步计数分步计数 在计数时，为了有序地思维，我们常将其分成若干步，然后将其每一步的 方法数相乘，便得到了总数。这种方法叫做分步法。 3递推计数递推计数 为了求出计数的总数，当所研究的对象数目较大时，我们常常对较小数量 的对象进行观察，计算。如果对研究对象的个数 n 观察，计算后，发现由 n=1 的结果
2、可以算出 n=2 的结果，由 n=2 的结果可以算出 n=3 的结果，等等，我们 就找到了计数的规律。这种方法叫做递推法。4对应计数对应计数 在解决某些计数问题时，为了解决某个问题 A，我们将其中的研究对象和 另一个问题 B 中的研究对象配成对，通过解决 B 问题来达到解决 A 问题的目的。 这种方法叫做对应法经典例题解析经典例题解析例例 1 1如图，直线上有 6 个点：A，B，C，D，E，F，以这些点为端点的线段 有多少条？ABCDEF解解 1 对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点 为标准，将线段分 5 类分别计数： (1)以 A 为左端点的线段有 AB，AC，AD
3、，AE，AF 共 5 条； (2)以 B 为左端点的线段有 BC，BD，BE，BF 共 4 条； (3)以 C 为左端点的线段有 CD，CE，CF 共 3 条； (4)以 D 为左端点的线段有 DE，DF 共 2 条； (5)以 E 为左端点的线段只有 EF 一条 所以，不同的线段一共有 5+4+3+2+1=15(条) 解解 2 因为每两点可以连一条线段，我们先取一点，有 6 种取法；再取第二点， 有 5 种取法。故一共有 65=30 种取法。但因先取 A 点再取 B 点和先取 B 点再 取 A 点得到的是同一条线段，在上述计数中被重复计算了，故实际上是 302=15 种取法，即一共可以连 4
4、5 条线段。 评注：评注：1一般地，如果一条线段上有 n+1 个点(包括两个端点)，那么这 n+1 个点把这条线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+2+1=。(1) 2n n2有些题目，形式上和上题不同，但思维方式是一样的。如下面一道题： “ n 个人参加 6 个小组, 如果其中每个人都参加且只参加 2 个小组, 每 2 个小组共有且仅共有一名组员,求 n.。 ” 若将 6 个小组看成 6 个点，每两点的连线就是这两个小组的公共组员，于是 n 就是这样连接成的直线的条数了。例例 2 2 （第（第 18 届届“迎春杯迎春杯”数学竞赛试题）数学竞赛试题） 如图 DE、FG、HI、BC 分别平行
5、, 图中梯形的个数一共有 个. 解：解：按照梯形两腰所在线段分类计数. (1)平行线截线段 AB 与 AC 形成 3+2+1=6(个)梯形； (2)平行线截线段 BD 与 CD 形成 2+1=3(个)梯形； (3)平行线截线段 BF 与 FC 形成(1)个梯形； (4)平行线截线段 CD 与 CE 形成 2+13(个)梯形； (5)平行线截线段 CF 与 CG 形成 1(个)梯形； (6)平行线截线段 CF 与 CJ 形成 1(个)梯形； 因此图中梯形的个数一共有 6+3+1+3+1+115(个). 例例 3 （1995 年第年第 5 届华杯赛口试备用题）届华杯赛口试备用题） 由 35 个单位
6、正方形组成的长方形中，如图所示有两个“A”，问包含两个“A”在 内的由小正方形组成的长方形（含正方形）有多少？A A解解 1 含两个 A 的长方形，与二，三两行有公共部分。它们可能与第一行有公共部分，也可能与第一行没有有公共部分，故可以 分为两类；每一类的长方形，可能和第四，五两行有公共部分，或都没有公共部分， 或仅与第四行有公共部分，而与第五行没有公共部分，即又分为三类。故从行 考虑共有（23）种方法；同理，从列来考虑有（34）种方法；于是，含两个“A”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）有（23） （34）=72 个。 解解 2 要确定一个符合条件的长方形，需要有上下左右四条边。 选择
7、上边所在的直线，有 2 种方法；选择下边所在的直线，有 3 种方法； 选择左边所在的直线，有 3 种方法；选择右边所在的直线，有 4 种方法。 于是，含两个“A”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）有 2334=72 个。例例 4 4如图，在一个 88 的方格棋盘中，有多少个由 4 个小方格组成的“凸”字形图形？解法解法 1 考虑下图“凸”字形中的 A：A当 A 在方格棋盘的边上时，对应 1 个“凸”字形，共有 64=24 个； 当 A 在方格棋盘的内部时，对应 4 个“凸”字形，共有 664=144 个。 于是共有 24+144=168 个。 解法解法 2 在每个 23 的长方形中可以找
8、到 2 个“凸”字形图形。而在 88 方格棋 盘中 23 的长方形有（67）2=48（个） 。 所以可以找到 842=168 个“凸”字形图形。例例 5 5（1996 年汉城国际数学邀请赛中国集训队试题）年汉城国际数学邀请赛中国集训队试题） 如图，ab,直线 a 上有十个点：A1，A2，A10；直线 b 上有九个点： B1，B2，B9。将 a 上的每一个点与 b 上每一个点相连，可以得到许多线段， 已知没有三条线段交于一点，问这些线段一共有多少个交点？abA1A2A10B1B2B9解解在 a,b 上各取两点，四点确定唯一的一个交点。从 a 上取两点有 1092=45 种方法，从 b 上取两点有
9、 982=36 种方法，一共可以得到 4536=3240 个交点。例例 6 6如图，将边长为 1 的等边三角形三角形的每一边 4 等分, 过各分点作 另外两边的平行线,在所得的图形中有多少个平行四边形?解解 1 将尖角向上的平行四边形分成三类,分别计算: 平行四边形两边长都为 1 的, 有 6 个; 平行四边形一边长为 1, 另一边长为 2 的, 有 6 个; 平行四边形两边长都为 3 的, 有 3 个; 一共有 15 个.同理, 夹角指向右下方或左下方的也各有 15 个, 故一共有 45 个平行四边形.解解 2 图中每个平行四边形有一对锐角顶点, 它们不在同一条直线上; 反过来, 任何两个不
10、在同一条直线上的点可确定一个边与ABC 的两条边分别平行的平 行四边形.图中共有 1+2+3+4+5=15 个交点,共有 1+2+14=105 个点对. 其中两点在 同一直线上的应该删去. 因平行于 AB 的直线上依次有 2,3,4,5 个点, 从而共应 删去 31+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)=60 个点对. 故图中共有 105-60=45 个平行四边 形. 评注评注 解 1 是分类计数的, 这种解法比较烦琐, 当数字较大时容易出错, 且不易 推广到一般.解 2 是利用对应法来解题的, 即找出点对的个数和平行四边形个数的对应 关系, 将对平行四边形计数的问题转化为对点对的计
11、数问题来解决. 这种解法容 易推广到一般, 本题中若将三角形的每一边 n 等分, 则平行四边形的个数是 (n-1)n(n+1)(n+2).1 8例例 7.7. （1990 年北京市初中数学竞赛试题）年北京市初中数学竞赛试题） 如图，我们规定在边长为 1 的正方形方格纸上，从格点 O 到与它相邻的格 点 A，B，C，D，E，F，G，H 的直线运动形成的线段分别记为数码 0，1，2，3，4，5，6，7。如以 O 为始点，数码 2 代表线段 OC，数码 7 代表 线段 OH 等等，在图 2 中画出了从 P 点出发，依次按数码 001223355 的轨线图 形。 请你在图 3 的边长为 1 的正方形方
12、格纸上，从点 M 出发，依次按数码 006756442312 画出相应的轨线图形，以这轨线图形周界和内部的格点为顶点， 可画出面积不小于 2 的正方形的个数是 个。O OB BF FD DH HC CE E G GA AP PM（图 1） （图 2） （图 3）解006756442312 所对应的轨线图形为下图中的粗线所表示的封闭折线。M在这个图形的边界上有 12 个格点，内部有 5 个格点。这 17 个点可以形成面积 不小于 2 的正方形顶点的四点组 13 个，其中：面积为 2 的 5 个；面积为 4 的 3 个；面积为 5 的 4 个；面积为 8 的 1 个。例例 8.8. (2003 年
13、第年第 8 届全国数学公开赛试题届全国数学公开赛试题) 在一个平面内，画 1 条直线，能把平面分成 1 + 1=2 部分；画 2 条直线，最多 能把平面分成 1 + 1+2=4 部分；画 3 条直线，最多能把平面分成 1 + 1+2+3=7 部 分；画 4 条直线，最多能把平面分成 1 + 1+2+3+4=11 部分；照此规律计算 下去，画 2003 条直线，最多能把平面分成_部分. 解解 1 条直线最多将平面分成 2 个部分；2 条直线最多将平面分成 4 个部分；3 条直线最多将平面分成 7 个部分；4 条直线最多将平面分成 11 个部分现在添上第 5 条直线它与前面的 4 条直线最多有 4
14、 个交点，这 4 个交点 将第 5 条直线分成 5 段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，所以 5 条 直线最多将平面分成 11+5=16 个部分 完全类似地，5 条直线最多将平面分成 11+5=16 个部分；6 条直线最多将 平面分 16+6=22 个部分；7 条直线最多将平面分成 22+7=29 个部分；8 条直线 最多将平面分成 29+8=37 个部分等等 一般地，n 条直线最多将平面分成 1+（1+2+3+n）=个部分2) 1(1nn当 n=2003 时, =1+20031002=20070072) 1(1nn即 2003 条直线，最多能把平面分成 2007007 部分.原版赛题传
15、真原版赛题传真同步训练同步训练一 选择题1平面上有 2000 条直线，它们每两条都不平行，每三条都不交于一点，它们 彼此相交而成的线段的条数是（ ） （A）20001999 （B）199919981000 （C）20001999 （D）20002001 1B 每条直线上有 1999 个交点，有 1+2+1998=199819992 条线段，2000 条直 线上共有（199819992）2000=199819991000 条线段。2 （2004 年江苏省第年江苏省第 19 届初中数学竞赛试题）届初中数学竞赛试题） 如图是 33 正方形方格，将其中两个方格涂黑有若干种涂法约定沿正方形 ABCD 的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形 ABCD 中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如就视为同一种图案，则不同的涂法有 ( )(A)4 种 (B)6 种 (C)8 种 (D)12 种。2 2C C 涂两个角上的方块的，有 2 种；涂两条边上中间的方块的，有 2 种；涂两方块 中有正中一块的，有 2 种；共 6 种。3 （2004 年北京初二数学竞赛试题）年北京初二数学竞赛试题） 平面内的 7 条直线任两条都相交,交点数最多有 a 个,最少有 b 个.则 a+b 等于( ) (A) 42 (B) 41
