《八上勾股定理及其逆定理的复习与巩固[1][1]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八上勾股定理及其逆定理的复习与巩固[1][1]（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、勾股定理单元复习与巩固勾股定理单元复习与巩固 知识网络知识网络目标认知目标认知 学习目标：学习目标：1、了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；2、理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；3、能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题重点：重点：勾股定理及其逆定理的应用难点：难点：勾股定理及其逆定理的应用知识要点梳理知识要点梳理 知识点一：勾股定理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。 （即：a2+b2c2）要点诠释：要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要 应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直
2、角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系 a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2a2+b2，则ABC 是以C 为直角的直 角三角形（若 c2a2+b2，则ABC 是以C 为钝角的钝角三角形；若 c2a2+b2，则ABC 为 锐角三角形） 。知识点三：勾股定理与勾股定理逆定
3、理的区别与联系知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。知识点四：互逆命题的概念知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互 逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导规律方法指导1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边 边关系的题目。3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角
4、边，这是这个知识在应用过程中 易犯的主要错误。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a，b，c 有下列关系：a2+b2c2，那 么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运 算，通过学习加深对“数形结合”的理解经典例题精析经典例题精析 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。思路点拨：思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比 值设未知数
5、，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：解析：设此直角三角形两直角边分别是 3x，4x，根据题意得：（3x）2+（4x）2202化简得 x216；直角三角形的面积3x4x6x296总结升华：总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程 （组）求解。举一反三举一反三【变式变式 1 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。【答案答案】如图，等边ABC，作 ADBC 于 D则：BDBC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）ABACBC2（等边三角形各边都相等）BD1在直角三角形 ABD 中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413ADS
6、ABCBCAD注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为a。【变式变式 2 2】直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【答案答案】设此直角三角形两直角边长分别是 x，y，根据题意得：由（1）得：x+y7，（x+y）249，x2+2xy+y249 (3)(3)(2)，得：xy12直角三角形的面积是xy126（cm2）【变式变式 3 3】若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3，求 n。思路点拨：思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长 n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为 n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2
7、）2（n+3）2化简得：n24n2，但当 n2 时，n+110，n2总结升华：总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给 出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式变式 4 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40解析：解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用 c2a2+b2的变形：b2c2a2（ca） （c+a）来判断。例如：对于选择 D，82（40+39）（4039） ，以 8，39，40 为边长不能组成直角三角形。同理可以判
8、断其它选项。【答案】：A【变式变式 5 5】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。解：连结 ACB=90，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90（勾股定理逆定理）S四边形 ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36类型二：勾股定理的应用类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中 学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那
9、么拖拉机在公 路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知 拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离 是否小于 100m, 小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其 长度。 （2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。 因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析解析：作 ABMN，垂足为 B。在 RtABP 中，ABP90，APB30， A
10、P160， ABAP80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半）点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响， 那么 AC100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么，AD100(m)， BD60(m),CD120(m)。拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/st120m5m/s24s。答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时 间为 24 秒。总结升华总
11、结升华: :勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过 作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三举一反三【变式变式 1 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花 园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设 2 步为 1m） ，却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为 3+47(m)设走“捷径”的路长为 xm，则故少走的路长为 752(m)又因为 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了 4 步路。【答案】4【变式变式 2 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边 长为 1 的正三角形，这样的三角形
12、称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD 的面积 是多少？（3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线） 。【答案】 （1）单位正三角形的高为，面积是。（2）如图可直接得出平行四边形 ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积。（3）过 A 作 AKBC 于点 K（如图所示） ，则在 RtACK 中，故类型三：数学思想方法类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问 题转化为直角三角形问题来解决3、如图所示，
13、ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。思路点拨：思路点拨：现已知 BE、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是 线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD解解：连接 AD因为BAC=90，AB=AC又因为 AD 为ABC 的中线，所以 AD=DC=DBADBC且BAD=C=45因为EDA+ADF=90又因为CDF+ADF=90所以EDA=CDF所以AEDCFD（ASA） 所以 AE=FC=5同理：AF=BE=12在 Rt
14、AEF 中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。总结升华总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可 以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在 同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法（二）方程的思想方法4、如图所示，已知ABC 中，C=90，A=60，求、 的值。思路点拨：思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。解解：在 RtABC 中，A=60，B=90-A=30，则，由勾股定理，得。因为，所以，。总结升华：总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：举一反三：【变式变式】如图所示，折叠
15、矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的长。解：解：因为ADE 与AFE 关于 AE 对称，所以 AD=AF，DE=EF。因为四边形 ABCD 是矩形，所以B=C=90，在 RtABF 中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，所以。所以。设，则。在 RtECF 中，即，解得。即 EF 的长为 5cm。中考题萃中考题萃 一、填空题一、填空题1.（甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是 5，底边长是 6，则它底边上的高为 _2.（江西省）如图，已知点 F 的坐标为(3，0)，点 A、B 分别是某函数图象与 x 轴，y 轴的交点，点 P 是此图像上的一动点，设点 P 的横坐标为 x，PF 的长为 d，且 d 与 x 之间满足关系：d=5-x(0x5),则结论：AF=2； BF=5； OA=5； OB=3 中，正确结论的序号是_.3.（永州）一棵树因雪灾于 A 处折断， ，测得树梢触地点 B 到树根 C 处的距离为 4 米， ABC 约 45，树干AC 垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为_米（答案可保留 根号） 4.（湖州市）利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学 中一
