函数的最值问题

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1、第 1 页 共 4 页函数的最值问题函数的最值问题利用 TI-92PLUS 图形计算器上数学活动课广广东东广雅中学广雅中学 何其峰何其峰1.1.教学目标：教学目标： （1）使学生能在已掌握的知识的基础上，运用数形结合、数学建模思想和方法解决函数最值 中的某些问题。 （2）通过让学生亲自动手操作图形计算器，培养学生的观察、动手操作能力，探索解决问题 的“新方法” ，从而发展探索、转化问题的能力。 （3）通过分组讨论、实际操作的活动，调动学生学习的主动性和积极性，提高学习数学和动 手做“数学实验”的兴趣。 2.2.教学重点与难点：教学重点与难点：如何建立适当的数学模型，再恰当地运用图形计算器解决问

2、题。 3.3.教学形式和方法：教学形式和方法：课外活动小组分组讨论形式教学。通过启发式提问和讨论，学生以小组为 单位使用 TI-92PLUS 图形计算器做“数学实验” ，最后老师进行归纳小结。 4.4.教学用具：教学用具：若干台 TI-92PLUS 图形计算器、投影屏、电脑和投影（利用 PowerPoint 进行教 学演示） 。 5.5.教学过程：教学过程： 课前复习提问：常用的求函数最值的方法有哪些？ 学生回答：二次函数法、判别式法、均值定理法、数形结合法、三角换元法等等。 老师：不错，上述都是求函数最值的基本方法。除此之外，我们还可以使用 TI-92PLUS 图形计 算器来解决有关问题。这

3、两节课，我们就来研究：如何利用 TI-92PLUS 图形计算器解决有关函数的 最值问题。问题一：问题一：求函数的最小值。29102222xxxxy让学生进行分组讨论，找出解决问题的方案。 （后面各问题均以同样的方式进行探讨） 方法一：方法一：直接使用 TI-92PLUS 图形计算器中内置的 Advanced Mathematics Software（高级数 学软件）求出当 x=7/3 时函数取得最值，并可计算出其最小值为 5。 （如图 1-1 所示）方法二：方法二：作出函数的图象，并利用图象求出其最小值。29102222xxxxy （如图 1-2 所示）图 1-1 图 1-2方法三：方法三：将

4、函数解析式配方变形为:2222)20()5() 10() 1(xxy利用数形结合的思想,将求函数的最小值转化为问题：已知 P(1,1)、Q(5,2)两点,求在 X 轴上 找一点 M(x,0)，使|PM|+|QM|最小。利用 TI-92PLUS 图形计算器中的 Cabri Geometry（卡氏几何） 功能，引导学生观察|PM|+|QM|的值随点 M 在 x 轴上移动而变化的情况，探索出所求点 M 的位置， 然后作出图形，通过测量点 M 的坐标及线段 PQ 的长度可得，当 x=2.33 时，所求的最小值即为 PQ 的长度为 5。 （如图 1-3 所示）第 2 页 共 4 页图 1-3 图 2-1

5、问题问题二：求函数的最大值及最小值。2sin3cos y方法一：方法一：同样可以直接使用 TI-92PLUS 图形计算器中内置的 Advanced Mathematics Software 求出函数的最值。值得注意的是：若将图形计算器的精确度设置为 AUTO（自动） ，则不能找出其取 得最值时 x 的值。通过不断尝试，发现，把精确度设为 APPROX（即近似值） ，并且在其一个周期 内计算时，可求出当时，取得最小值约为；当时，取得最大2,026303. 1x1547. 384335. 3x 值约为。 （如图 2-1 和 2-2 所示）845299. 0图 2-2 图 2-3 方法二：方法二：直

6、接利用图形计算器作出函数的图象，在图象上找出最大值和最小值。 （如图 2-3 和 2-4 所示）方法三方法三：函数的解析式可以看作与两点所确定直线的斜率。又因)3,2(P)cos,(sinQ，联想到点 Q 在单位圆上运动，故求函数最值的问题就转化为求射线 PQ 斜率的1cossin22 最值。利用 TI-92PLUS 图形计算器中的 Cabri Geometry 功能，来求射线 PQ 的斜率的最值，从图上 直接测量出两切线的斜率，即为所求的最大值和最小值。故所求的最大值为-0.85;最小值为-3.15。图 2-4 图 2-5 问题三：问题三：（2000 年高考应用题）某蔬菜基地种植西红柿，由历

7、年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价 与上市时间的关系用图 3-1 的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间关系用图 3-2 的抛物线 段表示。 （1） 写出图 3-1 表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t)；写出图 3-2 表示的种植成本与时间的函数关系式 Q=f(t);第 3 页 共 4 页（2） 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）分析：分析：图 3-1 的关键点:(0,300) (200,100) (300,300);图 3-2 的关键点:(50,150) (15

8、0,100) (250,150)。利用 TI-92PLUS 的函数拟合功能，求出图 3-1、图 3-2 这两个分段函数的解析式。解解:(1)由图 3-1 可得市场售价与时间的函数关系为： 300200,30022000,300)(tttttf由图 3-2 可得种植成本与时间的函数关系为：)3000(5 .2125 . 1005. 0)(2ttttg图 3-3 图 3-4 （2）在图形计算器中分别输入两个函数的解析式， 注意分段函数的输入方法。将图一函数减去图二的函 数得到目标函数，利用图形计算器的函数作图功能， 在同一个坐标系中作出上述三个函数的图象。再利用 作图功能中的F5 Math 4：M

9、aximum 找出目标函数的 最大值。故当 t=50 天时，最大值为 100 元/102kg。 问题四问题四：由沿河的城市 A 运货到 B，B 离河岸最近 点 C 为 30 公里，C 和 A 距离 40 公里，如下图。如果每 吨公里的运费水路比公路便宜一半，应该怎么样从 B 筑 一条公路到河岸，才能使 A 至 B 的运费最省？ 分析分析：不妨设水路每吨公里运费为 1 个价格单位， 那么公路每吨公里运费为 2 个价格单位。打开 Cabri Geometry,设置长度单位为 mm(即 1mm 代表 1 公里)。如 图 4-2 画出示意图，测量出线段|AD|、|BD|的长度，然后 计算每吨货物从 A

10、 到 B 的总运费 y=|AD|+2 |BD|。 下面，我们来学习一种新的解答方法。图 4-2 图 4-3 拖动点 D 观察 y 值的变化，估算 y 的最小值。再利用F66：Collect Data 功能同时收集|AD|和 y 的数据（如图 4-3 所示） 。从收集到的数据可以观察出：当 x=22.6 时，y 的最小值约为 91.9615（如图 4-4 所示） 。然后，作出散点图，并根据所收集的数据拟合一个近似函数。提示 window 设置： xmin=0; ymin=-50 xmax=350 ymax=350 xsc1=50 ysc1=50 res=5ABCD 图 4-1图 3-1图 3-2

11、第 4 页 共 4 页图 4-4 图 4-5 提问：由散点的分布状态（如图 4-5 所示）猜测，近似函数是什么？ 学生通过动手验证，并观察拟合出的函数的可靠系数，比较得出，拟合四次函数的可靠程2R 度最高（如图 4-6、4-7 所示） 。然后，根据所选择的函数解析式，作出图象，利用图象求最值功能 求出最小值。由图 4-9 可看出：当 x=22.64 时，y 的最小值为 91.96。图 4-6 图 4-7图 4-8 图 4-9 我们可以换一种解法来检测上面所求的答案。设 AD 为 x，则，直接2230)40(2xxy利用其内置的 Advanced Mathematics Software，可求出

12、函数的最小值。此外，我们也 可以运用常规的技巧（如：判别式法）来求其函 数最小值（如图 4-10 所示） ，结果是一致的。虽 然用几何作图进行数据的收集，然后拟合一个近 似的函数求出函数的最小值，数值上存在一定的 误差，但其误差在可接受范围内。 事实上，在现实世界中各种变量之间不一定存在确切的函数关系式；即使存在，有时很难找出 或者找出后使用不方便。通过采集数据，来拟合一个近似的函数关系式更具有现实意义。小结：小结：这两节课，我们利用 TI-92PLUS 图形计算器强大的数学运算功能和作图功能，从一个 新的角度研究了函数的最值求解问题。同学们利用图形计算器进行数学建模，对做“数学实验”有 了初步的认识。今后，我们还应仔细观察周围的事物，多动手，多动脑，学活数学，活用数学。图 4-10