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1、科 黑 龙 江 技信总一 科 I 技 l 论 l 坛 最小二乘曲线拟合及其 MA T L A B实现 代 冬岩李 智 勇 张 宏 礼 ( 黑龙江八一农 垦大学文理学院数 学 系， 黑龙江 大庆 1 6 3 3 1 9 ) 摘要 ： 根据 最小二 乘曲线拟合理论 ， 分别针对线性最小二 乘曲线拟合和非线性最 小二乘 曲线拟合进行 了分析和总结 ， 同时针对每种情 况给 出 利用 MA T L A B来 实现曲线拟合。 关键 词 ： 曲线拟合； 最小二乘法； MA T L A B 前言 在实验数据的处理 、 分析时 ， 数据拟合是经常 采用的一种方法。数据拟合的目标是找到能反映 变量之间关系的一种
2、表达式 ，使其在某种准则下 最佳地接近已知数据。其原理有最， b -乘法 、 契比 雪夫法等， 且以最小二乘法最为常见和重要。 随着人类认识能力的不断进步以及计算技术 的快速发展 ， 对于变量之间的未知关系 ， 应用 曲线 拟合的方法揭示其内在规律具有重要的理论和现 实意义 。针对最小二乘曲线拟合的有l关问题以及 相应的 MA T L A B实现进行探讨。 1最小二乘曲线拟合 曲线拟合是指： 已知 n 个数据点( x Y ) ， f _ 1 ， 2 ， ，11 ， 其中 X 不全相同 ， 寻求 函数 f ( x ； a ， ， a 2 ， ， a m ) 的待定参数 a l , a ， ， a
3、 m 的一组取值 ， 使得在这 组取值之下， 函数 fi x ； ， a ， ， a m ) 与已知 n 个数据 点整体上最为接近。 最小二乘曲线拟合方法根据已知数据，首先 构造 出能够反映含有待定参数 的函数 f ( x ； a ， a ， ，a 邢 ) 与 n个数据点 x Y) ， i= l ， 2 ， n偏离程度 n 的函数 ： J ( a l a 2 ， ， a |1) = a 。 ， 8 2 ， ， a ) r 然后应用数学方法求 函数 j ( a ， a ， ， a m ) 的最 小值 mi n I j a l ， a 2 ， ， a m ) ， 此时 a I ， a 2 ， a
4、m 的取值 1 ， 就是所求的待定值。这样一组取值使得函数 fi x ； a 。 ， a 2 ， ， a ) 与 n个数据点在二次平方和意义下最 为接近 。 2最小二乘曲线拟合的 MA T L A B实现 Z 1 线性最小二乘 曲线拟合的 MA T L A B实现 线性最小二乘曲线拟合的含有待定参数 的函 数形式为 ： f ( x ； a l ， a 2 ， 一， a n ) = = a l r I ( x ) 十 a 2 r 2 ( x ) + 。 + a x ) 其 中 r k ( x ) 为事先选定 的一组已知函数 ， a 为 待定系数 ， k = l ， 2 ， ， n ， m n 。
5、为寻求 a l , a 2 ， ， a 使 反映偏离程度的函数 J ( a ， a 2 ， ， a m ) 最小 ， 只需要 、T 利用极值的必要条件 ： |0 ， k = 0 ， ， r f l ， 得到关于 o lt k al ， a2 ，a 的线性方程组 ： ( ) 【 a rd x , ) - y , l = 0 I =1 k= 1 ( ) ( t ) 一 】 = 0 该方程组可简化为 R T R A = R T y ， 其中 ( ) r 2 ( x , ) r( x 1 ) ， i ( ) ( x ) t ax 2 ) ( ) ( ) ( ) A _ ( a 。 。 ， a ， r
6、4y 一， y 当r ( x ) ， ， r m ( x ) 线性无关时， R 可逆 ， 方程 组 RA = R 有唯一解。 根据线 陛最小二乘拟合理论可得关于待求参 数构成的矩阵 A的解 ，利用 MAT L A B下命令 A = R Y， 可以直接求得待求参数， 下面举例说明。 例 1下表给出了一组实测数据 曲线拟合中仞值的选取是一 个重要的问题，目前 为止还没有 固定 的理论或方法给L l 一般性 的结 论。 在 MA T L AB中实现非线性最小二乘曲线拟 合有三个常用的命令。 ( 1 ) l s q e u r v e fi t () 命令，其使用格式为x = x 0 02 0 4 0
7、 7 09 y 2 8 8 22 5 7 6 1 9 6 8 3 1 9 2 5 8 208 6 2 0 9 2 0 9 9 1 2 1 4 1 4 8 1 5 2 1 0 9 2 1 9 7 9 25 4 0 9 2 9 6 2 7 3 1 5 5 3 2 ( 5 2 已知数据( x Y) 的函数原型为： Y ( x ) = e l + e 2 * e ( x ) + e 3 * e o s ( - 2 * x ) * e x p( 一 4 * x ) + c 4 * x 2 试用已知数据进行曲线拟合，求出待定参数 的值。 在 MA T L A B中输入以下程序： x - lo ， 0 2
8、， 0 4 ， 0 7 ， 0 9 ， 0 9 2 ， 0 9 9 ， 1 2 ， 1 4 ， 1 A 8 ， 1 5 r ； Y= Z 8 8 ； 2 2 5 7 6 ； 1 9 6 8 3 ； 1 9 2 5 8 ； 2 0 8 6 2 ； 2 1 0 9 ； Z1 9 7 9 ； 2 5 4 0 9 ； 2 9 6 2 7 ； 3 1 5 5 ； 3 2 0 5 2 ； A = o n e s ( s i z e ( x ) ) e x p ( - 3 x ) ， c 0 s ( _ 2 x ) e x p ( 一 4 x ) 2 1 ； A ； c 运行程序， 输 出待定参数结果为 ：
9、 a n s=l 22 O 0 Z3 3 9 7 m 6 7 9 7 0 8 7 0 0 下面画出拟合得到的曲线及 已知的数据散点 图： x l = 0 ： 0 0 1 ： 1 5 1 ； A1 b- e s ( s i z e ( x 1 ) ) e x p ( 一 3 * x 1 ) ， c o s ( - 2 * x 1 ) * e x p ( - - 4 * x 1 ) x 1 2 1 ； y l = Al c ； p l o t ( x l ， Y 1 ， x , y ， 0 ) 图 1线性最小二乘曲线拟合生成图 南图 1 可见， 曲线拟合效果非常好 。事实上， 所给数据就是由已知曲
10、线： y ( x ) = O 8 7 0 0 - O 6 7 9 7 * e ( - 3 * x ) +2 3 3 9 7 * c o s ( 一 2 * x ) * e x p ( - 4 * x ) +1 2 2 0 0 “ x 2产生的。 2 2非线陆最小二乘曲线拟合 在最小二乘曲线拟合中，如果待定参数不能 全部以线性形式出现，如指数拟合函数f( x ) = 时 al ，这便是非线性最小二乘曲线拟合。 非线 最小二乘曲线拟合与线性最小二乘曲 线拟合的原理没有什么区别 ，但是最小二乘的解 常-g -以通过人的手算实现 ，从而制约 了该方法 的应用。 随着训 算机技术的 进步、 专业软件的不
11、断 涌现 ， 这一问题 的求解 已不再困难。但是 ， 非线性 一 图2利用 t s q e u r v e fi t () 曲线拟合生成图 l s q e u r v e fi t ( f u n ， x 0 ， x d a t a ， y d a t a ) ， 其中 fun是要 拟 合的非线性函数， x 0是初始参数 ， x d a t a ， y d a t a 是拟 合 的数据， 该 函觌爵终返回系数矩阵。 ( 2 ) n l i n f i t () 命令 ， 其应用格式为 b e t a - n l i n fi ! ( x ， v ， fun ， b e t a 0 ) ， 其
12、中X和 Y 是拟合点数据 ， fun是 被回归( 拟合) 的函数 ， b e a t 0是初始参数。 ( 3 ) l s q n o n l i n( )命令 ，其应用格式 为 x ： l s q n o n l i n ( f u n ， x O ) ， 其中 fun的定义与 l s q n o n l i n () 函数中 f u n的定义有差别 ， x 0 仍为初始参数向量 ， 将输出的系数结果放在变量 X 中。 例 2假设已知 x = 0 ： 0 0 1 ： 1 0 ， y = O 1 2 e x p( - 0 21 3 x ) + 0 5 4 e x p ( - 0 1 7 x )
13、s i n ( 1 2 3 x ) 并 已知该 函数 原型 为 Y ( x ) 。e x p ( a 2 x ) + 0 5 4 e x p ( a 3 x ) s i n ( a n x ) ， 其中 a ， 为待定系数。 在 MA T L A B中输入以下命令 ： x = 0： O 01 ： 1 0； Y = 0 1 2 e x p ( n2 l 3 x ) + 0 55 4 e x p ( nl 7 x ) * s i n ( 1 2 3 “ x ) ； f = i n l i n e ( a ( 1 ) e x p ( - a ( 2 ) x ) + a ( 3 ) e x p ( (
14、 4 ) x ) * s i n ( a ( 5 ) x ) ， ，a ， ，x ) ； 建立函数原型 ，则可以根据他来进行 下面 的求取系数的计算 a ， r e s = l s q c u r v e fi t ( L 1 ， l ， 1 ， 1 ， I I ， X ， Y ) ； a ， ， e s 运行结果为： a m,= 0 1 1 9 7 0 2 1 2 5 0 554 0 4 Ql 7 0 2 1 23 0 0 r e s = 7 1 6 3 7 e - 0 0 7 所求得的系数与原式中的系数相近。 如果想进一步提高精度 ，则需修改最优化的 选项， 函数的调用格式也将随之改变。
15、在 MA T L AB中输入以下命令： fl o p t i m s e t ； f f T o l F u n = 1 e - 2 0 ； ( 下转 3 5页 ) 一3 6- 科 I 技 f 论 I 坛 浅谈断路器的选择 科 张关君 - 付厚石 ( 1 、 大连大众联合机电工程有限公司， 辽宁 大连 1 1 6 0 0 0 2 、 大连好利维尔科技有限公司， 辽宁 大连 l 1 6 0 0 0 ) 摘要： 微型断路器( 以 下简称 MC B) 是 建筑电气终端 配电装置 中使 用最广泛 的一种终端保护 电器。 MC B虽然是一种终端 电器。 但它量大面广， 若选用了不合适的 M C B ， 造成的损失也是惨重的。根据 M C B的常用电气参数谈 M C
