《高数系列讲义之六》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数系列讲义之六（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1高数系列讲义之六第六章 多元函数微积分61 空间解析几何基础知识 一、空间直角坐标系：从空间的任一点 O，引出三条互相垂直的数轴 OX、OY、OZ，且有相同的长度单位，这样就形成了空间直角坐标系。三个数轴中，内外轴是 OX 轴，左右轴是 OY 轴，上下是 OZ 轴。二、坐标平面：由三个数轴组成的平面叫坐标平面。坐标平面一共有三个：XOY 平面（水平面） XOZ 平面（侧面） YOZ 平面（正面）三、卦限：三个坐标平面将空间分成 8 个部分，称为 8 个卦限，简称“八卦” 。四、对应关系：空间中的任一点与三维坐标（x,y,z）形成一对一关系。即空间任一点都可以用三维坐标来表示；任一三维坐标都可
2、以表示空间一点。五、对称点：（x,y,z）关于 XOY 平面的对称点坐标是（x,y,-z） ；（x,y,z）关于 XOZ 平面的对称点坐标是（x,-y,z） ；（x,y,z）关于 YOZ 平面的对称点坐标是（-x,y,z） ；（x,y,z）关于原点对称点坐标是（-x,-y,-z） 。六、空间两点距离公式：在已知两点三维坐标的情况下，两点的距离等于对应坐标差的平方和的算术平方根。62 多元函数的基本概念一、多元函数的定义：设有三个变量 x、y、z，当变量 x,y 在一定的平面区域内任取一对数值时，按照某种对应关系，变量 z 有唯一确定的数值与之对应，则 x、y 都是自变量，z 是 x、y 的二元
3、函数。 通常记为 z=f（x,y）三元函数通常记为：u=f（x,y,z） ，四元函数通常记为：v=f（x,y,z,u）二元及以上的各元函数都是多元函数。多元函数主要研究二元函数。二、二元函数的定义域的求法：与一元函数类似。习题：6-2：1263 偏导数一、偏导数的个数二元函数的有两个偏导数：f/x、f/y三元函数的有三个偏导数：f/x、f/y、f/Z 。n 元函数的有 n 个偏导数一阶偏导数有四种表示方法二、偏导数的计算原则：对哪个变量求偏导数，只有该变量才是变量，其余所有变量都看成常量，这样就变成一元函数，求导方法与以前完全相同。三、二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数有四个：f/XX、
4、f/XY 、 f/yX、f/yy二阶偏导数也有四种表示方法四、二阶偏导数的计算方法：先求一阶导数，再求二阶导数习题：6-3：1 1） 、2） 、3） 2 1） 2）64 全微分一、二元函数全微分公式：dz= f/xdx+ f/ydy二、三元函数全微分公式：du= f/xdx+ f/ydy+ f/Zdz习题 6-4 16.5多元复合函数求导法则一、z=f(u,v), u=u(x,y), v=v(x,y), 则复合函数 z=f(u(x,y), v(x,y)求导公式是：z/x= z/u u/x+ z/v v/x , z/y= z/u u/y+ z/v v/y,二、z=f(x,y), x=x(t),
5、y=v(t), 则复合函数 z=f(x(t), v(t) )求导公式是：z/t= z/x x/t+ z/y y/t ,三、z=f(u), u=u(x,y), 则复合函数 z=f(u(x,y)求导公式是：z/x= z/u u/x ，z/y= z/u u/y 四、引入中间变量求导的条件：多元复合函数求偏导时一般不用引入中间变量，直接求导；只有同时满足下列两个条件是才要引入中间变量： 函数有不明确的对应关系 f（或其它） ； 自变量是两部分。3习题 6-5：1 1）2） 、 3、4 、6 1） 6）6-6 隐函数及其求导法则 一、隐函数定义：变量之间的关系通过一个方程式确定的函数关系叫隐函数；用自变
6、量的解析式表示函数关系的叫显函数。二、一元隐函数求导法则：设 f（x，y）=0 是一元隐函数，求导 dy/dx 的方法：1、设新函数 F（ x，y）= f（x，y）2、求偏导数：F/x、F/y3、代入公式：dy/dx=- F/x/F/y三、二元隐函数求导法则设 f（x,y,z）=0 是二元隐函数，求导 dz/dx、dz/dy 的方法：1、设新函数 F（ x,y,z）= f（x,y,z）2、求偏导数：F/x、F/y、F/z3、代入公式：dz/dx=- F/x/F/z，dz/dy=- F/y/F/z习题 6-6：1 1）3） 3、4 1） 2）67 二元函数的极值一、定义：设（x，y）是（x0，y
7、0）邻域内的点：1、若 f（x0，y0）f（x，y） ，则 f（x0，y0）是 z=f（x，y）极大值， （x0，y0）是极大值点；2、若 f（x0，y0）0 是极小值，A0，f（x0，y0）不是极值；4 若 B2-4AC=0，无法判断。习题 6-7：1 1）68 二重积分一、概念：二重积分的几何背景是求曲顶柱体的体积，通过分割、近似、求和、取极限的方法求出曲顶柱体的体积，此极限也是 z=f（x，y）在 D 区域内的二重积分。即：二、二重积分的性质： 函数和（差）的二重积分等于每一个函数二重积分的和（差） ； 常数乘以函数的二重积分，常数可以提出来。 将积分区域 D 分成两个小区域 D1，D2
8、，则大区域的二重积分等于两个小区域的二重积分的和。 1 的二重积分等于积分区域的面积 ；k 的二重积分等于 k三、计算二重积分的方法和步骤1、 二重积分要化成两个一次定积分计算，后边的先算，前边的后算。2、 计算二重积分的关键是选择的积分次序，积分次序有先 y 后 x 或先 x 后 y。3、 若 D 是矩形，两个一次定积分的上下限都是常数，此时只考虑选择第一次积分容易的次序。4、 若 D 不是矩形，则后边积分的上下限是变量，前边积分的上下限还是常数，即先算变上下限积分，此时选择积分次序依次要考虑两个因素：积分难易 是否分块5、 具体步骤是：画出 D 图，求出交点坐标，确定上下限。画箭头（先画，再画） ，确定边界简单的方向。6、 在积分难易相当的情况下，积分次序取决于边界的简单方向，即选择箭头少的方向。 若上下边界简单（即少） ，积分次序是先 y 后 x（求面积时对 x 求积分） 若左右边界简单（即少） ，积分次序是先 y 后 x（求面积时对 x 求积分）7、 在同等条件下，积分次序选择先 y 后 x。二、求二重积分与求面积时的异同点：1、 相同点：都要画 D 图 都要画箭头。2、 不同点：二重积分是将 x、y 排次序求两次定积分，而求面积只选 x、y 中的一个求一次积分。二重积分有被积函数，但没有变量上下限；而面积有常数上下限，但没有被积函数。5END
