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1、1高数系列讲义之六第六章 多元函数微积分61 空间解析几何基础知识 一、空间直角坐标系:从空间的任一点 O,引出三条互相垂直的数轴 OX、OY、OZ,且有相同的长度单位,这样就形成了空间直角坐标系。三个数轴中,内外轴是 OX 轴,左右轴是 OY 轴,上下是 OZ 轴。二、坐标平面:由三个数轴组成的平面叫坐标平面。坐标平面一共有三个:XOY 平面(水平面) XOZ 平面(侧面) YOZ 平面(正面)三、卦限:三个坐标平面将空间分成 8 个部分,称为 8 个卦限,简称“八卦” 。四、对应关系:空间中的任一点与三维坐标(x,y,z)形成一对一关系。即空间任一点都可以用三维坐标来表示;任一三维坐标都可
2、以表示空间一点。五、对称点:(x,y,z)关于 XOY 平面的对称点坐标是(x,y,-z) ;(x,y,z)关于 XOZ 平面的对称点坐标是(x,-y,z) ;(x,y,z)关于 YOZ 平面的对称点坐标是(-x,y,z) ;(x,y,z)关于原点对称点坐标是(-x,-y,-z) 。六、空间两点距离公式:在已知两点三维坐标的情况下,两点的距离等于对应坐标差的平方和的算术平方根。62 多元函数的基本概念一、多元函数的定义:设有三个变量 x、y、z,当变量 x,y 在一定的平面区域内任取一对数值时,按照某种对应关系,变量 z 有唯一确定的数值与之对应,则 x、y 都是自变量,z 是 x、y 的二元
3、函数。 通常记为 z=f(x,y)三元函数通常记为:u=f(x,y,z) ,四元函数通常记为:v=f(x,y,z,u)二元及以上的各元函数都是多元函数。多元函数主要研究二元函数。二、二元函数的定义域的求法:与一元函数类似。习题:6-2:1263 偏导数一、偏导数的个数二元函数的有两个偏导数:f/x、f/y三元函数的有三个偏导数:f/x、f/y、f/Z 。n 元函数的有 n 个偏导数一阶偏导数有四种表示方法二、偏导数的计算原则:对哪个变量求偏导数,只有该变量才是变量,其余所有变量都看成常量,这样就变成一元函数,求导方法与以前完全相同。三、二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数有四个:f/XX、
4、f/XY 、 f/yX、f/yy二阶偏导数也有四种表示方法四、二阶偏导数的计算方法:先求一阶导数,再求二阶导数习题:6-3:1 1) 、2) 、3) 2 1) 2)64 全微分一、二元函数全微分公式:dz= f/xdx+ f/ydy二、三元函数全微分公式:du= f/xdx+ f/ydy+ f/Zdz习题 6-4 16.5多元复合函数求导法则一、z=f(u,v), u=u(x,y), v=v(x,y), 则复合函数 z=f(u(x,y), v(x,y)求导公式是:z/x= z/u u/x+ z/v v/x , z/y= z/u u/y+ z/v v/y,二、z=f(x,y), x=x(t),
5、y=v(t), 则复合函数 z=f(x(t), v(t) )求导公式是:z/t= z/x x/t+ z/y y/t ,三、z=f(u), u=u(x,y), 则复合函数 z=f(u(x,y)求导公式是:z/x= z/u u/x ,z/y= z/u u/y 四、引入中间变量求导的条件:多元复合函数求偏导时一般不用引入中间变量,直接求导;只有同时满足下列两个条件是才要引入中间变量: 函数有不明确的对应关系 f(或其它) ; 自变量是两部分。3习题 6-5:1 1)2) 、 3、4 、6 1) 6)6-6 隐函数及其求导法则 一、隐函数定义:变量之间的关系通过一个方程式确定的函数关系叫隐函数;用自变
6、量的解析式表示函数关系的叫显函数。二、一元隐函数求导法则:设 f(x,y)=0 是一元隐函数,求导 dy/dx 的方法:1、设新函数 F( x,y)= f(x,y)2、求偏导数:F/x、F/y3、代入公式:dy/dx=- F/x/F/y三、二元隐函数求导法则设 f(x,y,z)=0 是二元隐函数,求导 dz/dx、dz/dy 的方法:1、设新函数 F( x,y,z)= f(x,y,z)2、求偏导数:F/x、F/y、F/z3、代入公式:dz/dx=- F/x/F/z,dz/dy=- F/y/F/z习题 6-6:1 1)3) 3、4 1) 2)67 二元函数的极值一、定义:设(x,y)是(x0,y
7、0)邻域内的点:1、若 f(x0,y0)f(x,y) ,则 f(x0,y0)是 z=f(x,y)极大值, (x0,y0)是极大值点;2、若 f(x0,y0)0 是极小值,A0,f(x0,y0)不是极值;4 若 B2-4AC=0,无法判断。习题 6-7:1 1)68 二重积分一、概念:二重积分的几何背景是求曲顶柱体的体积,通过分割、近似、求和、取极限的方法求出曲顶柱体的体积,此极限也是 z=f(x,y)在 D 区域内的二重积分。即:二、二重积分的性质: 函数和(差)的二重积分等于每一个函数二重积分的和(差) ; 常数乘以函数的二重积分,常数可以提出来。 将积分区域 D 分成两个小区域 D1,D2
8、,则大区域的二重积分等于两个小区域的二重积分的和。 1 的二重积分等于积分区域的面积 ;k 的二重积分等于 k三、计算二重积分的方法和步骤1、 二重积分要化成两个一次定积分计算,后边的先算,前边的后算。2、 计算二重积分的关键是选择的积分次序,积分次序有先 y 后 x 或先 x 后 y。3、 若 D 是矩形,两个一次定积分的上下限都是常数,此时只考虑选择第一次积分容易的次序。4、 若 D 不是矩形,则后边积分的上下限是变量,前边积分的上下限还是常数,即先算变上下限积分,此时选择积分次序依次要考虑两个因素:积分难易 是否分块5、 具体步骤是:画出 D 图,求出交点坐标,确定上下限。画箭头(先画,再画) ,确定边界简单的方向。6、 在积分难易相当的情况下,积分次序取决于边界的简单方向,即选择箭头少的方向。 若上下边界简单(即少) ,积分次序是先 y 后 x(求面积时对 x 求积分) 若左右边界简单(即少) ,积分次序是先 y 后 x(求面积时对 x 求积分)7、 在同等条件下,积分次序选择先 y 后 x。二、求二重积分与求面积时的异同点:1、 相同点:都要画 D 图 都要画箭头。2、 不同点:二重积分是将 x、y 排次序求两次定积分,而求面积只选 x、y 中的一个求一次积分。二重积分有被积函数,但没有变量上下限;而面积有常数上下限,但没有被积函数。5END