等比数列求和教案

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1、2.52.5 等比数列的前等比数列的前 n n 项和项和 (一)教学目标 1、 知识与技能：掌握等比数列的前 n 项和公式，并用公式解决实际问题 2、 过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式 3、 情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别” ，培养化简的能力 （二）教学重、难点 重点：使学生掌握等比数列的前 n 项和公式，用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题 难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式 （三）学法与教学用具 学法：由等比数列的结构特点推导出前 n 项和公式，从而利用公式解决实际问题 教学用具：投影仪 （四）教学

2、设想教材开头的问题可以转化成求首项为 1，公比为 2 的等比数列的前 64 项的和.类似于等差 数列，我们有必要探讨等比数列的前 n 项和公式。 一般地，对于等比数列 a1，a2，a3， , an, 它的前 n 项和是 Sn= a1+a2+a3+ +an 由等比数列的通项公式,上式可以写 Sn= a1+a1q + a1q2 + +a1qn-1 式两边同乘以公比 q 得 qSn= a1q+ a1q2 + +a1qn-1+ a1qn ,的右边有很多相同的项,用的两边分别减去的两边,得(1-q)Sn= a1a1qn 当时，Sn= （q1）qqan 1)1 (1又 an =a1qn-1 所以上式也可写

3、成 Sn=（q1）qqaan 11推导出等比数列的前 n 项和公式，本节开头的问题就可以解决了 相关问题 当 q=1 时，等比数列的前 n 项和公式为 Sn=na1 公式可变形为 Sn=（思考 q1 和 q1 时分别使用哪个方便）qqan 1)1 (1 1) 1(1 qqan 如果已知 a1, an,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个 例题分析 例 1 求下列等比数列前 8 项的和:(1), ；(2) a1=27, a9=,q021 41 81 2431评注:第(2)题已知 a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求 得公比 q,题设中要求 q0,一方面

4、是为了简化计算,另一方面是想提醒学生 q 既可以为正数, 又可以为负数. 例 2某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%, 那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位)?评注:先根据等比数列的前 n 项和公式列方程,再用对数的知识解方程 随堂练习第 66 页第 1.2.3 题 课堂小结 (1) 等比数列的前 n 项和公式中要求 q1;这个公式可以变形成几个等价的式子 (2) 如果已知 a1, an,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个 等比数列的前 n 项和教学案例设计 一、设计思想 1、 设计理念 本课的教

5、学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全体学生， 努力设计“适合学生发展得数学教育” ， 体现“人人学数学” ， “不同的人学不同的数学” 的理念。教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重要性，注重引导学生主动地进 行探索，从而帮助学生树立正确的数学观，但又与教师的设计问题与活动的引导密切结合， 强调“活动”的内化，即在头脑中实现必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数 学思维，提高思维的效益。通过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的，一方 面培养学生的社会意识，明确肯定“日常数学”的合理性等，另一方面，再调动学生生活 经验的同时，又应努力帮助他们清楚地去

6、熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。 2、 设计背景 传统的数学作业单调枯燥，脱离生活和学生实际，不利于学生个性和能力的发展。在新课 程标准的理念下，重新认识作业的意义和价值，突破传统，改变现状，树立正确的作业观， 创新作业方式，激发兴趣，发展学生数学素质，既注重基础知识的巩固，更要注重学生思 维和能力的发展，既要创新又要保证其科学有效，使学生在做作业的过程中体验快乐、形 成能力、学会合作、体验自主。 3、 教材的地位与作用 本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上，学习等比数列 n 前项和公式，能 用等比数列的前 n 项和公式解决相关求和问题。探索公式的推导、体会错位相减法以及

7、分 类讨论的思想方法。本节内容基础知识和基本技能非常重要，涉及的数学思想、方法较为 丰富，因此是重点内容之一。本设计是第一课时的教学内容。 二、学习目标 知识与技能 掌握等比数列的前 n 项和公式，能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题。 过程与方法 通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 情感、态度与价值观 通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展 数学的理性思维。 教学重点 掌握等比数列的前 n 项和公式，能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题。 教学难点 错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。 三、

8、教学设想： 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自 主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为 参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、 小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中 创新。设计思路如下： 四、教学过程 （一） 创设问题情景 课前给出复习：等比数列的定义及性质 课首给出引例：“ 一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了 下来,但提出了

9、如下条件：在 30 天中，富人第一天借给穷人 1 万元,第二天借给穷人 2 万元,以 后每天所借的钱数都比上一天多 1 万;但借钱第一天,穷人还 1 分钱,第二天还 2 分钱,以后 每天所还的钱数都是上一天的两倍,30 天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但 又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。 ”请在座的同学思考讨论一下,穷 人能否向富人借钱? 设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中 来！ （二） 启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。 学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：穷人 30 天借到的钱：（

10、万元）465230)301 (3021 30LS穷人需要还的钱：?292 302221LS直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!教师紧接着把如何求？的问题让学生探究，292 302221LS若用公比 2 乘以上面等式的两边，得到292 302221LS30292 3022222LS若式减去式，可以消去相同的项，得到：(分) 1073(万元) 465（万元）1073741823123030S答案答案: :穷人不能向富人借钱穷人不能向富人借钱（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。 提出问题:如何推导等比数列前 n 项和公式？（学生很自然地模仿以上方法推导）) 1 (

11、1 12 12 111nn nqaqaqaqaaSL（1）-（2）有)2(11 12 11nn nqaqaqaqaqSLn nqaaSq11)1 (1,11)1 (1,111qqqaa qqaqnaSnn n推导等比数列前 n 项和的公式，教师引导讲完课本上的推导方法后，nS教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发言）学生 A： 即qaa aa aann12312KQqaaaaaann12132 KK。qasasnnn1)1(11qqqaasn n学生 B：1 12 111nn nqaqaqaasK qaqsaasqaqsaqaqaaqannnnnn 11112 1111K

12、qaaqssnnn1)1(11qqqaasn n“特例类比猜想”是一种常用的科学的研究思路！ 教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情景调动了 学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者和指导者的作 用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！ 【基础知识形成性练习：】 1、 求下列等比数列的各项和：(1)1，3，9，2187 （2）5121,81,41,21, 1L2、根据下列条件求等比数列的前 n 项和 nanS 8, 2, 21nqa21, 2, 81naqa(四)数学应用 例 1 求等比数列 1/2

13、，1/4，1/8的 (1) 前 8 项的和; (2) 第四项到第八项的和解 ： （1） 8,21,211nqaQ256255211)211 (218 nS（2）5,1613 14nqaaQ25631211)211 (1615 S例 2：在等比数列中， （1）已知已知 求求 na, 2, 41qanS（2）已知已知 求求2,243, 11qaakkS例 3：在等比数列中， 求 na263,2763SSna例 1 教师板演示范，强调解题的规范。例 2、例 3 学生分析解法，学生不会时要分析出不 会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。 【演练反馈巩固性练习：】1）在等比数列中， na已知，求和

14、已知求和96, 5 . 171aaqnS,12, 433Saq1a2）求数列的前 n 项和。)0(1132aaaaanLL允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。然 后老师给出评价 (五) 课堂小结等差数列等比数列求和公式推导方法公式应用由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容 （六）布置作业1、 根据下列条件，求等比数列的前 n 项和nanS: : 6, 2, 31nqa21,21, 81naqa： : 4,00096. 0,12. 052naa,45,106431aaaa2、 在等比数列中，na:已知，求和26, 231SaqnS:已知，求115,3032SSnS3、在等比数列中，已知，求na60,482nnSSnS34、求和：)0() 12(53112xxnxxSn nL作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成 了作业。