数学类决赛试卷答案及评分标准

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1、第 1 页（ 共 8 页）首届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案及评分标准首届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案及评分标准（数学类，（数学类，20102010）考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.题 号一二三四五六七八总分满 分810121210132015100得 分一、填空题（共 8 分，每空 2 分.）（1） 设，则= .02220xx dxee x()（2）若关于的方程在区间中有惟一实数解，则常数 .x211(0)kxkx(0,)k 2 3 9（3）设函数在区间上连续.由积分中值公式有 .( )f x , a b( )() ( )xaf t dtxa f()

2、axb若导数存在且非零， 则的值等于 .( )falim xaa xa 1 2（4）设，则=_12_.()6a b crrrg() () ()abbcacrrrrrrg二、（10 分）设在内有定义，在处可导，且.证明： ( )f x( 1,1)0x (0)0f.2 1(0)lim2nnkkffn证证： 根据题目假设和泰劳展开式，我们有其中是的函数，( )(0)(0)( ) ,f xffxx x( )xx。 （2 分）分）(0)0,且( )0,0xx当因此，对于任意给定的，存在，使得。 （3 分）分）00( ),xx只要对于任意自然数和，我们总有。（4 分）分）nkn 2222(0)kkkkff

3、nnnn取，对于上述给定的，便有1N0第 2 页（ 共 8 页）。 （5 分）分）2,knN knn只要于是，。 222 111(0),nnnkkkkkkffnNnnn只要此式又可写成。 （7 分）分） 2 1111(0)(1)(1),22nkkffnNnnn只要令，对上式取极限即得n 和 2 11limsup(0)22nnkkffn 2 11liminf(0)22nnkkffn由的任意性，即得。证毕。（10 22 111limsupliminf(0)2nnnnkkkkfffnn分）分）三、(12 分)设在上一致连续，且对于固定的，当自然数时( )f x0,)0,)xn .证明函数序列在上一致

4、收敛于 0.()0f xn ():1,2,.f xnn0,1证证：由于在上一致连续，故对于任意给定的，存在一个使得 ( )f x0,)00 （2 分）分）121212()(),(0,0)2f xf xxxxx只要取一个充分大的自然数，使得，并在中取个点:m1m0,1m，120.1mxxx其中。这样，对于每一个，(1,2,.,)jjxjmmj。 （5 分）分）11jjxxm又由于，故对于每一个，存在一个使得lim()0 nf xn jxjN，(),2jjf xnnN只要这里的是前面给定的。令，那么1max,.,mNNN，(),2jf xnnN只要第 3 页（ 共 8 页）其中。 设是任意一点，这

5、时总有一个使得。1,2,.,jm0,1xjx1,jjxxx由在上一致连续性及可知，( )f x0,)jxx （9 分）分）()()(1,2,.)2jf xnf xnn 另一方面，我们已经知道(),2jf xnnN只要这样，由后面证得的两个式子就得到(),0,1f xnnN x只要注意到这里的的选取与点无关，这就证实了函数序列在上一致收Nx ():1,2,.f xnn0,1敛于 0。 （12 分）分）四、 （12 分）设，在内连续，在内连续有界，且满22( , ):1Dx yxy( , )f x yD( , )g x yD足条件：（1）当时，；（2）在内与有二阶偏导数， 221xy( , )f

6、x y Dfg和.证明： 在 D 内处处成立.2222fffexy2222gggexy( , )( , )f x yg x y证：证：用反证法。假定该不等式在某一点不成立，我们将导出矛盾。令. 那么，根据题目假设，当时，.( , )( , )( , )F x yf x yg x y221xy( , )F x y 这样，在内必然有最小值。设最小值在达到。 (3 分分)( , )F x yD00(,)xyD根据反证法假设，我们有. (i) 000000(,)(,)(,)0F xyf xyg xy另一方面，根据题目假设，我们又有， (ii) ( , )( , )f x yg x yFfgee 其中是

7、拉普拉斯算子：. (7 分分)2222xy 式子（ii）在中处处成立，特别地在成立：D00(,)xy. (iii)0000000000(,)(,) (,)(,)(,)f xyg xy xyxyxyFfgee 第 4 页（ 共 8 页）由(i)与(iii)可知，. (iv) (9 分分) 00(,)0xyF但是，是的极小值点，应该有并因此00(,)xy( , )F x y00(,)0;0,xxyyFxyF 00(,)|0xyF这与（iv）矛盾。此矛盾证明了题目中的结论成立。证毕。（12 分）分）五、 （共 10 分， （1）和（2) 各 5 分）分别设，.( , ):01;01Rx yxy( ,

8、 ):01;01Rx yxy 考虑积分 与， 定义.1RdxdyIxy1RdxdyIxy0limII（1) 证明；2 11nIn（2)利用变量替换：计算积分 I 的值，并由此推出.1()2 1()2uxyvyx 22 11 6nn证：证： 显然， （2 分）分） 0()nnRIxy dxdy 注意到上述级数在 上的一致收敛性，我们有R。 （4 分）分）21120001(1)n nnnnIx dxy dyn由于 在点收敛，故有。 （5 分）分）22 1nnx n1x 2011limnIIn下面证明. 在给定的变换下，那么，26I,xuv yuv2211 11xyuv变换的雅可比行列式 ，。 （6

9、 分）分）( , )2( , )x yJu v假定正方形在给定变换下的像为，那么根据的图象以及被积函数的特征，RRR我们有第 5 页（ 共 8 页）1112122222200021244111uuRdvdvIdudvduduuvuvuv 利用 221arctan(0),dxxCaaxaa又得 （8 分）分）12212122021arctanarctan 1144. 11uuuuIdudu uu 令 2211( )arctan; ( )arctanarctan,111uuug uh uuuu那么。2212( );( ) 11g uh u uu 最后，我们得到1121024( ) ( )8( )

10、( )Ig u g u duh u h u du。 （10 分）分）1 22 12 01 22 ( ) |4 ( ) |g uh u222 2004666六、 （13 分）已知两直线的方程：，。 （1）问：参数满足什么:L xyz:11xyzbLa, a b条件时，与是异面直线？（2）当与不重合时，求绕旋转所生成的旋转面的方程，LLLLLL 并指出曲面的类型。解解：（1）的方向向量分别为。,L L(1,1,1), (1, ,1)nnaru r分别取上的点。与是异面直线当且仅当矢量不共面，,L L(0,0,0), (0,0, )OPbLL, ,n n OPr u r uuu r即，它们的混合积不

11、为零：，111 ( , ,)11(1)0 00n n OPaab br u r uuu r所以，与是异面直线当且仅当且。 （2 分）分）LL1a 0b （2）假设是上任一点，于是必定是上一点绕旋转所( , , )P x y zPL( , )P x y zL生成的。由于与垂直，所以，P Puuuu rL()()()0xxyyzz第 6 页（ 共 8 页）（4 4 分）分） 又由于在上，所以，PL， 11xyzb a因为经过坐标原点，所以，到原点的距离相等，故，L,P P， 222222xyzxyz（5 5 分）分）将，联立，消去其中的：, x y z令，将用 表示： 11xyzbta, x y

12、zt， , xt yat ztb 将代入，得， (2)atxyzb（6 分）分）当，即与不垂直时，解得，据此，再将代入2a LL1()2txyzba ，得到的方程：， （8 分）分）2 22222 222()()0(2)2abxyzxyzbxyzbbaa当时，由得，这表明，在这个平面上。 （9 分）分）2a xyzb同时，将代入，有。由于 可以222222215626()66xyztbtbtbbt是任意的，所以，这时，的方程为：， （11 分）分）22225 6xyzbxyzb的类型的类型：且时，与平行，是一柱面；且时，与相1a 0b LL1a 0b LL 交，是一锥面（时是平面） ；当且时，是单叶双曲面（时，2a 1a 0b