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1、数学解析十九 数字综合题选讲数字指的是 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字问题不但有趣，而且还会使我们的思维活跃，思路开阔在解答数字问题时，主要用到下面一些知识：奇偶数的性质：奇数奇数=偶数偶数偶数=偶数奇数偶数=奇数自然数被 9、11 整除的特征：一个自然数若它的各个数位上的数字和能被 9 整除，那么这个自然数必能被 9 整除反之也成立（更一般地，一个自然数除以 9 的余数与它的各个数位上的数字和除以 9 的余数相同）一个自然数若它的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被 11 整除，那么这个自然数必能被 11 整除反之也成立自然数分类的思想：分类时注意不重不漏，即某个自
2、然数必属于某一类而且只能属于一类此外，还要用到加、减法中数位上的进位、借位，乘法中积的奇偶性与各个乘数的奇偶性的关系，等等一些知识例例 1 1 一个四位数，它的个位数字为 2，如果将个位数字移作千位数字，原来的千位数字移作百位数字，原来的百位数字移作十位数字，原来的十位数字移作个位数字，那么所得的新数比原数少2889，原数是多少？式为：这时，此题转为一个数字迷的问题突破口选在个位个位上：c+9=12，可得出 c=3十位上：b+8+1=13，可得出 b=4百位上：a+8+1=14可得出 a=5千位上：2+2+1=5因此，所求的四位数为 5432例例 2 2 自然数列（A）：1、2、3、4、5、6
3、、7、8、9、10、11、12、，把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开，作成了新的数列（B）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、0、1、1、1、2、（A）数列中的 100 这个数，个位上的数字 0 在（B）中是第多少个数字？（B）中的第 100 个数字，是（A）中的第几个数的哪一位上的数字？它是什么？到（B）的第 100 个数字为止，数字 3 共有多少个？解：把（A）中的 1100 这 100 个自然数进行分类：一位数：19 共 9 个数字两位数：1099 共 2090=180（个）数字三位数：100 共 3 个数字因此，（A）中的 100 这个数，个位上的数字 0 在（B）中是第 9
4、+180+3=192（个）数字（B）中的前 100 个数字，把所有一位数减去，还剩 100-9=91（个）数字由于每一个两位数可以隔成两个数字，所以由 912=451 可知，（B）中的第 100 个数字，是（A）中的第 46 个两位数的十位数字46+10-1=55，故（B）中的第 100 个数字为（A）中的 55 的十位数字，它是 5由于 55 的十位数字不是 3，所以可考虑 154 这 54 个自然数个位为 3 的自然数有：3、13、23、33、43、53，个位上共有 6 个 3十位为 3 的自然数有：3039，十位上共有 10 个 3因此，到（B）的第 100 个数字为止，数字 3 共出现
5、了：6+10=16（个）例例 3 3 从 1、5、9、13、993 中，任意找出 199 个数，把它们乘起来，积的个位数字是什么？解：在 1、5、9、993 中，共有 249 个自然数由于奇数的个位数字只能为：1、3、5、7、9，因此把这些奇数分为两类：一类是个位数字为 5 的：5、25、985 共 50 个自然数另一类是个位数字不为 5 的：共有 249-50=199（个）自然数任意取出的这 199 个自然数分成两种情况进行考虑：若这 199 个自然数中，含有个位数字为 5 的，则这 199 个数的乘积的个位必为 5若这 199 个自然数中，不含个位数字为 5 的，则这 199 个数的乘积的
6、个位数字为：1937 的个位数字为 9，则综上所述，这 199 个数的乘积的个位数字为 3 或 5说明：对于比较复杂的情况，经常用分类的想法进行考虑，从而得到问题的完整答案对于此题，同学们不妨思考一下：若从中取出 198 或 200 个数，结论又是怎样？例例 4 4 把 1、2、3、4、5、6 这六个数字分别填入右面的表格中，每格只填一个数字，使每一行右边的数字比左边的大，每一列下面的数字比上面的大，共有多少种不同的填法？分析 为了叙述方便，我们先把这六个空格中所填的数字用字母 a、b、c、d、e、f 来表示因为在这六个数字中，1 最小，6 最大，所以先考虑 1 和 6 这两个数字1 只能填在
7、 a 处，因为 1 若填在其他五个格中，则从剩下的五个数字中找不出比 1 还小的数填在 1 的左边或上面6 只能填在 f 处（同理）现在考虑 5.5 只能填在 c 处或 e 处因为 5 若放在 b 处或 d 处，则从剩下的 2、3、4 中找不出比 5 大的数填在 e 处若 c=5，则 b、d、e 三格只能填 2、3 和 4 这三个数字，因为 eb，且 ed，所以 e=4，共有以下两种填法：b=2，d=3，e=4 和 b=3，d=2，e=4若 e=5，则 b、c、d 三格只能填 2、3 和 4，因为 cb，所以 c=3 或 4，共有以下三种填法：b=2，c=3，d=4；b=2，c=4，d=3和
8、b=3，c=4，d=2综上所述，共有 5 种不同的填法解：共有 5 种不同的填法，它们是：说明：在考虑 1 和 6 以后，也可以接着考虑 2，请同学们不妨试一试例例 5 5 任取一个四位数乘以 9801，用 A 表示其积的各位数字之和，用 B 表示 A 的各位数字之和，用C 表示 B 的各位数字之和，那么 C 为多少？解：任一个四位数乘以 9801 的积，必然小于 98010000，数字和最大不超过 97999999 的数字和，即 A97+7=70在小于 70 的两位数中，数字和最大的为 69，6+9=15，因此 B15在小于 15 的自然数中，数字和最大的为 9，所以 C9因为 9801 能
9、被 9 整除，所以四位数与9801 的积也能被 9 整除，所以 A、B、C 均能被 9 整除，因此 C=9例例 6 6 用 19 这九个数字组成一个没有重复数字的九位数，且能被 11 整除，问这个九位数最大是多少？解法 1：先把由 19 这九个数字组成的没有重复数字的最大九位数排出来为：987654321因为（9+7+5+3+1）-（8+6+4+2）=5，所以987654321 不能被 11 整除适当调换偶数位与奇数位上的数字，使调换后奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差为 11的倍数因为在 5 个奇数，4 个偶数之间进行加、减法运算（每个数只用一次）所得的结果必定为奇数，因此不能使奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差变为偶数，只能为奇数因此，应使两者的差从 5 变为 1111-5=6，62=3，所以把 1 与 4 对换，得 987651324 能被 11 整除为使这个九位数为最大，再次进行调换，98765 1 3 2 4，即 2 与 1 对换，3 与 4 对换（这次调换只能是奇数位上的数字互换，偶数位上的数字互换，这样调换后的九位数仍能被 11 整除）因此，得所求的九位数为 987652413
