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1、初二（上初二（上 ）错题整理）错题整理-三角形证明三角形证明1 1如图，三角形如图，三角形 ABCABC 中，中，D D 是是 BCBC 中点，中点，BE=CFBE=CF 求证：求证：AC-AB=2BEAC-AB=2BE解法一：如图：作 BGAC 交 EF 于 G，GBD=C(内 错角相等) D 是 BC 中点，BD=CD 又GDB=FDC GDBFDC(ASA) BG=CF BE=CF BG=BE,BGE=E 又BGE=AFE(同位角相等) E=AFE，AE=AF AC-AB=(AF+CF)-(AE-BE)=(AF-AE)+(CF+BE) =2BE 解法二：过 B 作平行于 EF 的直线，交
2、 AC 于 P。 因为 CDBD，则 CFPF， 且 AB：BEAP：PF 因为 BECFPF，所以 ABAP ACABACAPPC2CF=2BE 得证。 解法三：延长 EF 至 H，使 CH 平行 AE 因为 CH 平行 AE，所以AEB=FHC.1 BD=CD,BDE=CDH 所以三角形 BED 全等于三角形 CDH 所以 BE=CH 因为 BECF 所以CHF=CFH=AFE 据 1，所以BED=AFE,所以 AEAF 所以 AB+BEAC-CF 所以 AC-AB2BE P P 为为ABCABC 边边 BCBC 上的一点，且上的一点，且 PC=2PBPC=2PB，已知，已知ABC=45A
3、BC=45，APC=60APC=60，求，求ACBACB 的的 度数。度数。(初二上初二上 数学回家作业六，第数学回家作业六，第 3 题题)解法一：过 C 作 CDAP,垂足位 D,连接 BD.APC=60PC2PD 又PC=2PB PBPD BDPPBD30又PCD30PBD BDCDABDABPDBP15BAPAPCABP15ADBDADCDACD45ACB453075解法二：ABC=45 APC=60 则 BAP=15设 BP=k,则 PC=2k由正弦定理:BP/SinBAP=AP/SinABP,代入数值:AP=(3+1)k由余弦定理:AC2=AP2+CP2-2AP*PC*COS60=6
4、 AC=6.由正弦定理 PC/SinCAP=AC/SinAPC 代入数值:SinPAC=2/2 在三角形 APC 中,取 PAC=45 则 ACB=75如图，三角形如图，三角形 ABC 中，角中，角 B=90 度，度，M 为为 AB 上一点，上一点，AM=BC，N 为为 BC 上一点，上一点，CN=BM，连接，连接 AN，CM 相交于点相交于点 P，求角，求角 APM (初二上 数学回家作业六，第 6 题)解法一：过点 A 作 BC 的平行线，过点 C 作 AN 的平行线，设两线交于点 D.连接 MD.则有 AD=CN=BM，又 AM=BC，角 B=角 BAD=90 度。则三角形 AMD 与三
5、角形 BCM 全等.故角 AMD=角 BCM，MD=MC.角 DMC=180 度-角 AMD-角 BMC=180 度-角 BCM-角 BMC=角 B.所以三角形 DMC 是等腰直角三角形，角 DCM=45 度.由平行关系得：角 APM=45 度解法二：过 M 作 AC 的平行线，过 A 作 BC 的平行线，两线交于 Q。连结 NQ。QM 与 BN 交于 S。容易知道AQN=BQN=45,BQN=90=MQA,又 AQ:QN=QM:QB,QAMQNB,AMQ=NBQ,又PSM=QSB,根据三角形内角和等于 180，得MPS=BQS，BQS=45,BPM=MPS=BQS=45，即BQS 等于 45
6、。如图如图,在三角形在三角形 ABC 中中,AB=AC,延长延长 AB 到到 D,使使 BD=AB,CE 为为 AB 边上的中线边上的中线,用三角形中用三角形中位线定理证明位线定理证明 CD=2CE (初二上 数学回家作业六，第 4 题)解法一：过点 B 作 CD 的平行线 BF，交 AC 于 F，连接 EF 所以 CD2BF，EF 为三角形 ABC 的中位线，又 ABAC，所以 CFEFEB，BE=FC，FE=EF 所以BEFCEF 所以 BFCE 所以 CD2CE三角形三角形 ABC 的角平分线的角平分线 BM，CN 相交于点相交于点 P， 求证：点求证：点 P 在在BAC 的角平分线上的
7、角平分线上(初 二上 数学回家作业七，第 1 题)解法一：作 P 作 3 条垂线 可以证出 2 次全等 所以其中 2 条垂线相等,推出在角平分线上过点 P 作 PGAB 于 G，PHAC 于 H,PQBC 于 Q。 CN 平分ACB PH=PQ BM 平分ABC PG=PQ PH=PG AP 平分角 BAC 得证在三角形在三角形 ABC 中，中，BAC=1000，ACB=200，CE 是是ACB 的平分线，的平分线，D 是是 BC 上一点，上一点，DAC=200，求，求CED (初二上 数学回家作业七，第 6 题) 解法一：题目没有错，ACD20这个条件多余，但不影响题目的正确 性如图过 E
8、点作 AC、AD、BC 的垂线段，垂足分别为 P1、P2、P3易证： BA 为ADC 的外角平分线， EC 为ADC 的内角平分线， 所以 EP1=EP2=EP3 所以 ED 平分ADB ADB=2020=40 EDB=402=20 CED=20-10=10以三角形以三角形 ABC 的的 AB、AC 边分别作正方形边分别作正方形 ABDE、正方形、正方形 ACGF,M 是是 BC 的中点，求证：的中点，求证： EF=2AM (初二上 数学回家作业七，第 2 题) 解法一：证明：延长 AM 到 H,使 MH=AM,连接 BH，CHM 是 BC 的中点 BM=CM AM=MHBMH=AMC（对顶角
9、相等） HMBCMA (SAS) BHM=CAMHBM=ACMBH=AC EAF+BAC+EAB+FAC=360EAB=FAC=90 FAE+CAB=180 BAC=BAH+CAH BAC=BAH+BHA EAF+BAH+BHA=180 ABH+HAB+BHA=180 EAF=ABH ABDE,ACGF 为正方形 AB=AEAC=AF BH=AF AB=AEABH=EAFBH=AF ABHEAF (SAS) AH=EF 又AH=2AM EF=2AM如图所示，如图所示，EG，FG 分别是分别是 MEF， NFE 的平分线，交点是的平分线，交点是 G，BP，CP 是是 NBC 和和 NCB 的平分
10、线，交点是的平分线，交点是 P。（。（1）证明：）证明：A，P，G 三点共线；（三点共线；（2）若）若 G68，求，求 P 的度数。的度数。(初二上 数学回家作业七，第 5 题)解法一：因为G=68 所以GFE+GEF=180-68=114 因为 EG、FG 分别是MEF 和NEF 的平分线 所以NFE+MEF=2*114=228 因为AFE+NFE+AEF+MEF=2*180=360 所以AFE+AEF=360-228=132 所以A=180-132=48 所以ACR+ARC=180-48=132 所以NCR+MRC=360-132=228 因为 PB.PC 分别是MBC 和NCB 的平分线
11、 所以PCR+PRC=228/2=114 所以P=68在等腰三角形在等腰三角形 ABC 中，顶角中，顶角 A 为为 100 度，角度，角 B 的平分线的平分线 BE 交交 AC 于一点于一点 E，证明：，证明：BCAEBE (初二上 数学回家作业九，第 6 题)解法一：在 BC 上截取 BMBA，BNBE， BE 平分ABC， ABECBE20 度， 又BABM， BEBE， ABEMBE（SAS） AEME， BMEA100 度， EMN180-BME180-10080 度 又A100 度，ABAC， ABCC40 度， 在BNE 中， CBE20 度，BNBE， BENBNE80 度EMN
12、， EMEN， ENC180-BNE180-10080 度 NEC180-ENC-C180-100-4040 度C， ENNC， 等量代换可得：NCENEMAE， BCBN+NCBE+AE解法二：做辅助线 做 CE 的中垂线 DF 交 CE 于 D，交 BC 于 F，连接 EF，可得等腰三角形 EFC，其中 EF 等于 FC，因为角 C 等于角 FEC 等于 40 度，所以角 EFB 等于 80 度，因为角 EBF 等于 20 度，所以角 BEF 等于 80 度，所以 BE 等于 BF。 延长 BA，利用圆规做辅助线，在 BA 延长线上取 H 点，使 EH 等于 AE，因为角 A 等于 100 度， 所以角 EAH 等于 80 度，所以 AHE 等于 80 度。 因为角 ABE 等于 20 度，所以角 HEA 等于 80 度。因此可得全等三角形 BEH 和 BEF。 所以 HE 等于 EF 因为 EF 等于 FC，HE 等于 AE 所以 AE 等于 FC 因为 AE 等于 FC， BE 等于 BF 所以 AE+BE=BC 诊断练习三：诊断练习三：18.如图已知ABC 中，P，Q 分别是 BC，AB 上的点，PRAC 于 R，PSAB 于 S，若 AQ=PQ，PR=PS，则以下结论：
