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1、浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1.一写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分） （一 1） =nn nnoS1001,，n表小班人数（3）生产产品直到得到 10 件正品，记录生产产品的总件数。 （一 2）S=10，11，12， ，n， （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品” ，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1” ，查出次品记为“0” ，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4 次才停止检查。 （一 (3)）S=00，100，0100，01
2、01，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，2.二设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生。表示为：CBA或A(AB+AC)或A(BC)（2）A，B都发生，而C不发生。表示为：CAB或ABABC或ABC（3）A，B，C中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A，B，C都发生，表示为：ABC（5）A，B，C都不发生，表示为：CBA或S(A+B+C)或CBA（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生相当于CACBBA,中至少有一个发生。故表示为：CACBBA+。（7）A，B，C中不多于二
3、个发生。相当于：CBA,中至少有一个发生。故表示为：ABCCBA或+（8）A，B，C中至少有二个发生。相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC6.三设A，B是两事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7. 问(1)在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P(A) = 0.6，P(B) = 0.7 即知AB， （否则AB= 依互斥事件加法定理，P(AB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.31 与P(AB)1 矛盾）.从而由加法定理得P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)(*)（1）从 0P(A
4、B)P(A)知，当AB=A，即AB时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，（2）从(*)式知，当AB=S时，P(AB)取最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.71=0.3 。7.四 设A，B，C是三事件，且0)()(,41)()()(=BCPABPCPBPAP，81)(=ACP. 求A，B，C至少有一个发生的概率。解：P(A，B，C至少有一个发生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=85081 43=+8.五在一标准英语字典中具有 55 个由二个不相同的字母新组成的单词，若从 26个英语字母中任取两个字母予以排列
5、，问能排成上述单词的概率是多少？记A表“能排成上述单词”从 26 个任选两个来排列，排法有2 26A种。每种排法等可能。字典中的二个不同字母组成的单词：55 个1301155)(2 26=AAP9.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。 （设后面 4个数中的每一个数都是等可能性地取自 0，1，29）记A表“后四个数全不同”后四个数的排法有 104种，每种排法等可能。后四个数全不同的排法有4 10A504.010)(44 10=AAP10.六在房间里有 10 人。分别佩代着从 1 号到 10 号的纪念章，任意选 3 人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为 5 的概率。记
6、“三人纪念章的最小号码为 5”为事件A10 人中任选 3 人为一组：选法有 310种，且每种选法等可能。又事件A相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码大于 5。这种组合的种数有251121310251 )(= =AP（2）求最大的号码为 5 的概率。记“三人中最大的号码为 5”为事件 B，同上 10 人中任选 3 人，选法有 310种，且每种选法等可能， 又事件 B 相当于： 有一人号码为 5， 其余 2 人号码小于 5， 选法有241种201310241 )(= =BP11.七某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶，红漆 3 桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这
7、些标笺重新贴，问一个定货 4 桶白漆，3 桶黑漆和 2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？记所求事件为A。在 17 桶中任取 9 桶的取法有9 17C种，且每种取法等可能。取得 4 白 3 黑 2 红的取法有2 33 44 10CCC故2431252)(6 172 33 44 10=CCCCAP12.八在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正品，任意取 200 个。（1）求恰有 90 个次品的概率。记“恰有 90 个次品”为事件A在 1500 个产品中任取 200 个，取法有 2001500种，每种取法等可能。200 个产品恰有 90 个次品，取法有 110110
8、0 90400种 =20015001101100 90400)(AP（2）至少有 2 个次品的概率。记：A 表“至少有 2 个次品”B0表“不含有次品” ，B1表“只含有一个次品” ，同上，200 个产品不含次品，取法有 2001100种，200 个产品含一个次品，取法有 1991100 1400种10BBA+=且B0，B1互不相容。+ =+=20015001991100 1400200150020011001)()(1)(1)(10BPBPAPAP13.九从5双不同鞋子中任取4只， 4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记 A 表“4 只全中至少有两支配成一对”则A表“4 只人不配对”从
9、 10 只中任取 4 只，取法有 410种，每种取法等可能。要 4 只都不配对，可在 5 双中任取 4 双，再在 4 双中的每一双里任取一只。取法有42452113 2181)(1)(2182)(4 1044 5=APAPCCAP15.十一将三个球随机地放入 4 个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是 1，2，3，的概率各为多少？记Ai表“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有 43种，每种放法等可能对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 432 种。(选排列：好比 3 个球在 4 个位置做排列)166 4234)(31=AP对A2：必须三球放入两杯，一杯装
10、一球，一杯装两球。放法有342 3C种。(从 3 个球中选 2 个球，选法有2 3C，再将此两个球放入一个杯中，选法有 4种，最后将剩余的 1 球放入其余的一个杯中，选法有 3 种。169 434)(32 3 2=CAP对A3：必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。(只需从 4 个杯中选 1 个杯子，放入此3 个球，选法有 4 种)161 44)(33=AP16.十二50 个铆钉随机地取来用在 10 个部件， 其中有三个铆钉强度太弱，每个部 件用 3 只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱， 问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记A表“10 个部件中有一个部件强度
11、太弱” 。法一：用古典概率作：把随机试验 E 看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完 10 个部件（在三个钉的一组 中不分先后次序。但 10 组钉铆完 10 个部件要分先后次序）对E：铆法有3 233 443 473 50CCCC种，每种装法等可能对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有3 233 443 473 3CCCC10种00051.01960110)(3 233 473 503 233 443 473 3= = CCCCCCCAP 法二：用古典概率作把试验E看作是在 50 个钉中任选 30 个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）对E：铆法有3 50A种，每种
12、铆法等可能对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上， 或“28，29，30”位置上。这种铆法有27 473 327 473 327 473 327 473 310AAAAAAAA=+种00051.01960110)(30 5027 473 3=AAAAP17.十三已知)|(, 5 . 0)(, 4 . 0)(, 3 . 0)(BABPBAPBPAP=求。解一：BAABBBAASABPBPAPAP=)(, 6 . 0)(1)(, 7 . 0)(1)(注意=)(BAAB. 故有P(AB)=P(A)P(AB)=0.70.5=0.2。再由加法定理，P(AB)=P(A)+P(B)
13、P(A B)=0.7+0.60.5=0.8于是25.08.02.0 )()( )()()|(=BAPABP BAPBABPBABP25. 05 . 06 . 07 . 0 51)()()()( )()()|(51)|()()(72)|(75 7 . 0 5 . 0)|()|(0705)|()()(:=+=+= =BAPBPAPBAP BAPBBBAPBABPABPAPABPABPABPABPABPAPBAP定义故 解二由已知18.十四)(,21)|(,31)|(,41)(BAPBAPABPAP=求。解：由61)()(31 4121 )()|()( )()()|(= =BPBPBPABPAP B
14、PABPBAP有定义由已知条件由乘法公式，得121)|()()(=ABPAPABP由加法公式，得31 121 61 41)()()()(=+=+=ABPBPAPBAP19.十五掷两颗骰子， 已知两颗骰子点数之和为 7， 求其中有一颗为 1 点的概率 （用两种方法） 。解： （方法一） （在缩小的样本空间 SB 中求 P(A|B)，即将事件 B 作为样本空间，求事件 A 发生的概率） 。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x,y） （x,y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为S=(x,y)| (1,6 ),(6, 1), (2,5), (5, 2),(3, 4), (4,3
15、)每种结果（x,y）等可能。A=掷二骰子，点数和为 7 时，其中有一颗为 1 点。故31 62)(=AP方法二： （用公式)()()|(BPABPBAP=S=(x,y)|x=1,2,3,4,5,6;y= 1,2,3,4,5,6每种结果均可能A=“掷两颗骰子，x,y中有一个为“1”点” ，B=“掷两颗骰子，x,+y=7” 。则2262)(,61 66)(=ABPBP，故31 626162)()()|(2=BPABPBAP20.十六据以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P孩子得病=0.6，P(B|A)=P母亲得病|孩子得病=0.5，P(C|AB)=P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为P(ABC)（注意：由于“母病” ， “孩病” ， “父病”都是随机事件，这里不是求P(
