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1、1行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告不規則造波模擬計畫類別：個別型計畫計畫編號：NSC89-2611-E-006-076執行期間：89年8月1日至90年7月31日計畫主持人：黃煌煇執行單位：國立成功大學中華民國九十年十月一日2不規則波淺化模擬計畫編號：N S C 89-2611-E-006-076 執行期限：8 9 年 8 月 1 日至 9 0 年 7 月 3 1 日 主持人：黃煌煇 國立成功大學水利及海洋工程研究所 計畫參與人員：江文山 國立成功大學水工試驗所摘 要本文以數值分析方法模擬不規則波在斜坡上淺化及波譜形狀的變化，理論模式為改善頻散效應之非線性Boussinesq 方程組。控
2、制方程式以有限差分法離散化，時間微分項係以 Predictor-Corrector 方法處理。水槽中波浪的產生，則是利用在控制方程式中加入波源函數(source function)使其造出波浪往水槽兩端傳遞，藉由兩端消波區(sponge layer)設置，使波浪不會自兩端邊界反射回水槽中。計算與模型實驗水位比較結果顯示，深水區兩者有良好的一致性，隨著水深越淺差異越大。波譜的比較結果則發現直到碎波後主頻能量皆相當吻合，高頻部份則有些許差異。整體而言，本文模式可合理描述不規則波淺化之演變。 關鍵詞：不規則波、波譜、淺化 ABSTRACTNumerical and experimental anal
3、ysis are used to study the transformation of wave profile and wave spectrum for irregular wave shoaling on a sloping beach. Based on the extended Boussinesq equations, the numerical model is developed by finite difference method for spacialdiscretization and predictor-corrector scheme for time deriv
4、ation. Numerical waves are generated in domain and dissipated at each side of the numerical flume by sponge layers, which compromise the wave will not be reflected from numerical boundaries. Simulated surface elevation matches well with experimental result in deep water. The difference between them
5、increases as water depth decreases. The comparisons of wave spectra show that numerical result can describe the evolution of peak energy reasonablly even after wave breaking. But some differences exist for higher frequency components. K e y w o r d s: irregular, wave spectrum, shoaling 一、前言淺海區波浪演變是影
6、響海岸工程非常重要的因素，因此近岸區波浪演變的預測一直是對海岸工程師與研究者極具挑戰的課題。波浪自外海生成向外傳播，經過陸棚區進到近岸淺水域，波浪受到地形影響產生淺化、折射、繞射與非線性效應增強導致波浪特性如波高、尖銳度等明顯的改變。當波浪來到碎波帶，開始產生碎波現象，波高劇烈衰減，同時伴隨波浪破碎產生推動近岸流場如沿岸流、裂流的作用力以及啟動底質輸送的過程，這是波浪造成海岸變遷的核心問題。為了要適切描述波浪傳播過程中的變化，必須藉助適當的波浪模式。其中最直接者乃求解流體運動連續與動量方程式，其優點為對波場流動解析度高。然對三維問題而言此種模式通常相當複雜且需要相當多計算機容量與時間，並不適於
7、大區域波浪變化問題討論及需較長時間模擬之不規則波演變。再者，在適當的條件下如微小振幅波，二維模式已足以適切描述波浪演變。因此，有大量海岸工程與波浪力學研究資源投注於二維波浪模式的發展。據此所研發的模式如緩坡方程式(Berkholf, 1982)、Boussinesq 方程組(Peregrine, 1967; Madsen et al., 1991; Nwogu, 1993)。其中緩坡方程乃基於線性波理論所延伸者，自 80 年代起緩波方程式已被廣泛應用在海岸工程相關問題的研究探討，至今有相當多的商業化波浪套裝模式乃是以其為核心所發展。而 Boussinesq 方程組乃以長波理論基礎所推導，此一領
8、域近十年來快速發展，已逐漸成為研究波浪之主流模式之一。Boussinesq 方程組在波浪學的應用源自於Boussinesq 當年所推導之近似非線性長波模式 ， 然受限於其為一維方程組且只適用於定水深(水平底床)，因此當時的模式並無法應用於大部份地形呈不規則變化之實際海岸問題。Mei and Le Mehaute (1966)及 Peregrine (1967)利用微擾展開方法，分別推導出適用於二維及具地變化之 Boussinesq 方程組，至此其應用才逐漸在波浪研究領域中推展開來。此倆組方程組特性相當，只有些許差異，Mei and Le Mehaute (1966)是以底床速度作為微擾展開的基
9、礎而 Peregrine(1967)則是以水深平均速度作基礎。就海岸工程而言，以 Peregrine 的模式較廣為應用，一般稱為標準 Boussinesq 方程組。自 Peregrine 的模式推出後，Liu et al (1985)及 Rygg(1988)分別證明該模式可準確預測波浪通過潛沒隆起地形之繞射與聚焦現象；Elgar and Guga(1985)證明其可合理描述波浪淺化過程中波譜演變；Kirby(1990)將該模式轉換為頻率表示的型式，並且證明其描述波浪通起隆起台階之演變的適用性。雖然有相當多成功應用案例證明標準 Boussinesq 方程組在海岸工程的應用潛力。但是其受限於相對淺
10、水區的事實，亦是在應用上必須突破的障礙。McCowan(1987)的研究顯示為使得標準Boussinesq 方程組計算的波浪相位速度與線性波理論的3相位速度差小於%，相對水深必須保持在小於 0.2 的範圍。Witting(1984)由通用的波動控制方程式出發，將流場中的速度對底床速度作泰勒級數展開，代回控制方程式得到一組新的波動方程組，對頻散效應有顯著改善。然該方法只適用於一維均勻水深情況。從 Witting (1984)的模式得到啟發，Madsen et al. (1991)在標準 Boussinesq 方程組中引入帶有可調整係數的高階頻散項，藉由調整該係數使得推導出的 Boussinesq
11、 方程組頻散特性獲得改善，進而將該方程組的應用範圍擴展到相對水深接近 0.5的 情 況 ， 此 一 模 式 稱 為 完 全 頻 散 (fully dispersion)Boussinesq 方程組。然其模式推導過程中高階頻散項的引入，並非直接來自理論的推演，而是藉由近似經驗式的導入，理論基礎的嚴謹度稍嫌不足。Nwogu(1993)由長波理論出發，將流場中的速度對某一參考位置的速度作泰勒級數展開，代回長波理論控制方程式中，保留)(O階次一次方及)(2O階次二次方的項次，推導得到另一組 Boussinesq 方程組。此方程組之頻散特性與 Madsen et al. (1991) 相當。本文以此方程
12、組為基礎，利用數值方法求解，並引入碎波等因素，探討不規則波淺化過程之統計特性及波譜演變。 二、數學模式2-1 控制方程式考慮卡式座標系統上三維波浪場中，空間上波動水位隨時間之變化為),(tyx，海域地形之水深為),(yxh，定義z座標垂直靜水面向上為正。選取無因次化長度尺度參數為靜水深0h與代表性波長l，定義無因次化空間與時間變數如下：l/ xx= l/ yy=0/ hzz=l/0ghtt=其中上標者為有因次者，g為重力加速度。另外引入深海波動振幅0a，將波動相關物理量作如下無因次化處理：000/ghahuu=000/ghahvv=002 0/ghahwwl=0/ a=0/ hhh=0/ ga
13、pp=將波動連續方程式與運動方程式以上述無因次化變數代入後改寫如下：0)(2=+zyxwvu(1)02222=+xzyxzPwuvuuuu(2)02222=+yzyxzPwvvvuvv(3)0122 22=+zzyxPwwvwuwwt(4)其中尺寸參數wa/0=，l/0h=分別代表波動非線性與頻散效應的指標且皆為微小量。對式(1)至式(4)作水深積分並配合波動相關邊界條件的應用，並將流場中速度),(vuU=對 流 場 中 某 一 參 考 位 置 之 速 度),(vuU=作泰勒級數展開並代入前述控制方程式中保留到)(O與)(2O項次 ， 以有因代次型式表示則可得到如下一組Boussinesq型式
14、波動控制方程式(Nwogu, 1993)：0)()2()()62()(22 = +huhhzuhhzuht(5)0)()(2)(= +ttahUUzzUUgU(6)式(5)與式(6)乃單純波傳方程式，考慮到波傳至近岸淺水區時碎波現象及底床摩擦於式(14)中加入Fbr與Fb項，另外為處理在計算領域內造波及避免波浪自計算領域邊界反射問題分別於式(13)與(14)再加入S及Fsp項。考慮一維情況，且為利於數值求解將控制方程式作如下安排(Wei and Kirby, 1995)：),(),(txSuEt+=(7)spbbrtFFFuFU+=),(8)其中)(21xxxxhubhubhuU+=(9)xx
15、xxxxhuhauhahE)()(2 23 1+=(10)xxuugF=(11)61 212 1=a，21 2+=a，2 121=b，=2b，531. 0/=hz。 2-2 造波函數在數值模式中模擬造波一般是將造波邊界設定於計算領域的某一邊界，而為了避免自領域內的反射波於此邊界處產生再次反射，通常必須引入輻射邊界條件，該條件應用適當與否的關鍵在波速的決定，而其並不易精確得知且稍有誤差終將導致模式發散，此問題對於需長時間計算的不規則波模擬尤其嚴重。本文中為處理此一問題乃參照Wei et al.(1999)將造波函數設置於領域中，使其造出波動往上、下游邊界傳遞，並配合於邊界處設置4消波區使得波浪在
16、邊界處完全被吸收，不會產生來自邊界的反射波。 2-3 消波邊界為避免來自邊界不必要的反射導致模式失敗，分別於計算領域靠近上、下游邊界處設置消波區，其應用即是在動量方程式中加入能量消散項，其型式詳如Wei(1997)。 2-4 底床摩擦當波浪進行到近岸淺水區尤其是碎波帶內，此時底床摩擦影響必須適當引入模式中方得以較合理描述波浪的演變，本文根據Zelt(1991)處理摩擦影響。 2-5 碎波效應為使模式能模擬碎波後波浪現象，於動量方程式中加入渦度黏滯項，用以描述碎波引起之能量消散。碎波發生的啟始條件，是藉由水位隨時間變動量超過臨界值判斷。隨著碎波發展，該發生條件會逐漸降低至一終端值。 三、數值方法空間微分項是以有限差分法離散化；時間微分項是以 predictor-corrector 方法處
