线性代数客观题技术

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1、客观题技术客观题技术 1. 选择题技术选择题技术选择题的目的是考查基础知识和基选择题的目的是考查基础知识和基 本概念本概念(即考察所谓的常识即考察所谓的常识)，因此没有，因此没有 繁杂或困难的题目。对付的办法自然是繁杂或困难的题目。对付的办法自然是 越简单越好；另外，选择题的特点是四越简单越好；另外，选择题的特点是四 选一，故只要知道其中一个是对的，其选一，故只要知道其中一个是对的，其 余就可以不管了。余就可以不管了。例例 1 下列命题错误的是下列命题错误的是 。 A.若若 A 和和 B 可交换可交换,则则 AB10和和 BA10也可交也可交 换换; B.若若 A-B 和和 A+B 可交换可交

2、换,则则 A 和和 B 也可交也可交 换换; C.若若 A 和和 B 可交换可交换,则则 AT和和 BT也可交换也可交换; D.若若 AB 和和 BA 可交换可交换,则则 A 和和 B 也可交换也可交换.解解 若每个结论都去辨别真伪，则一道若每个结论都去辨别真伪，则一道 选择题就变成了选择题就变成了 4 道证明题，大大亏本，道证明题，大大亏本， 故需要好办法：常识！当故需要好办法：常识！当 A 和和 B 可交换时，可交换时， 一切与一切与 A，B 有关的矩阵就都可以交换了，有关的矩阵就都可以交换了， 因此因此 A，C 均正确，可以排除；要从均正确，可以排除；要从 B，D 中选择，有两个办法：一

3、是直接计算中选择，有两个办法：一是直接计算 A-B 与与 A+B 的乘积，得的乘积，得(A-B)(A+B)=A2+AB-BA-B2，而，而(A+B) (A-B)=A2-AB+BA-B2,于是于是 A2+AB-BA-B2 =A2-AB+BA-B2，从而，从而 2AB=2BA，故，故 B 正确，所以选正确，所以选 D，但此法，但此法 显然较麻烦；二是继续发动你的常识：在显然较麻烦；二是继续发动你的常识：在 上矩阵第一节课的时候，老师谆谆教导我上矩阵第一节课的时候，老师谆谆教导我 们，两个非们，两个非 0 矩阵矩阵 A,B 的乘积的乘积 AB 可能等可能等 于于 0，那时老师没说过，那时老师没说过

4、AB=BA，可见，可见， AB=0,但可能但可能 BA 0，故，故 D 错，选错，选 D！注解：一般而言，当选择题的选项都注解：一般而言，当选择题的选项都 是是“若若,则则”之类的命题时，可以选择条之类的命题时，可以选择条 件最复杂的选项作为突破口；而且，概率件最复杂的选项作为突破口；而且，概率 很大地，该选项就是最终的答案。很大地，该选项就是最终的答案。 例例 2 设设 A,B 均为均为 mn 矩阵矩阵,且矩阵方程且矩阵方程 AX=B 有解，则必有有解，则必有 。 A. r(A) r(B) B. r(A) r(B) C. r(A)0 D. r(B)0解解 正解正解(力敌力敌)：由于：由于 r

5、(B)=r(AX) minr(A),r(X), 故选故选 B。巧解巧解(智取智取)：如果一时半会想不起来正：如果一时半会想不起来正 解，可以从最简单处着手，同时取解，可以从最简单处着手，同时取 AB0，则方程显然有解，故，则方程显然有解，故 C，D 均错；均错； 而而 A 0，B=0 时方程依然有解，故时方程依然有解，故 A 也错，也错，不选不选 B 选什么？（不想得分都不可能！）选什么？（不想得分都不可能！） 回忆：此法称为排除法。回忆：此法称为排除法。例例 3 已知已知 为三阶方阵，为三阶方阵，A3A则则 。129AAA.15 B. 9 C. 27 D.-171解解 正解正解:113111

6、29|2* 9|69| 3|( 3)9333AAAAAEEEE 巧解：令巧解：令，则，则，113A 3 *3 1A于是于是,13132 * 92391311/31AA 所以选所以选 B。此称为特殊值法。此称为特殊值法。 （启示：最简（启示：最简 单的就是最漂亮的！）单的就是最漂亮的！）例例 4 设设 n 阶方阵阶方阵 A 的各行与各列之和的各行与各列之和 均为均为 0，则，则 . A. A 的秩为的秩为 0 B. A 的代数余子式全相的代数余子式全相 等等 C. A 为对称矩阵为对称矩阵 D. A 的秩小于的秩小于 n-1解解 此题即使高手亦费思量。此时，此题即使高手亦费思量。此时，A 不不

7、可逆，故其秩可逆，故其秩 r n-1.如果如果 rn-1,则则 A 的所的所 有代数余子式均为有代数余子式均为 0；如果；如果 r=n-1,则则 r(A*) =1，且向量，且向量(1,1,1)T是方程是方程 Ax=0 的一个的一个 基础解系基础解系;由于由于 AA*=0,A*的列向量均是方的列向量均是方 程程 Ax=0 的解，因此的解，因此 A*的每一列中的元素的每一列中的元素 均相等；同理，由于均相等；同理，由于 A*A=0,故故 A*的每一的每一 行均为方程行均为方程 yA=0 的解，而的解，而(1,1,1)是该方是该方 程的一个基础解系，故程的一个基础解系，故 A*的每一行中的元的每一行

8、中的元 素均相等素均相等,从而从而 A*的元素均相等；故应选的元素均相等；故应选 B。巧解：取巧解：取可知可知 A,D 均错。满均错。满1111A足条件的二阶矩阵均具有形式足条件的二阶矩阵均具有形式，aaAaa 此时此时 B,C 均正确。故考虑三阶矩阵。由上均正确。故考虑三阶矩阵。由上面的二阶矩阵，可令面的二阶矩阵，可令，它显然，它显然101101000A 满足条件，但非对称矩阵，排除满足条件，但非对称矩阵，排除 C，选，选 B！例例 5 设设为为 n 维向量维向量1212,st LL组，且组，且 12(,),sra L，则，则 12(,)trbL.1212(,)str LLA. B. aba

9、bC. D. max,a bmin,a b解解 最错的是最错的是 D(林子越大鸟越多，怎么可林子越大鸟越多，怎么可 能减少呢？能减少呢？)。再错的是。再错的是 B(两片林子合在一两片林子合在一 起，鸟不会比各自的鸟加起来更多：因为起，鸟不会比各自的鸟加起来更多：因为 有些鸟属于两片林子！有些鸟属于两片林子！)。于是。于是 C 也错也错(两两 片林子合在一起，鸟可能真会比每一片的片林子合在一起，鸟可能真会比每一片的 鸟都多鸟都多)。所以选。所以选 A。(启示：线性代数实际启示：线性代数实际 上是逻辑，是常识，是思想和智慧。上是逻辑，是常识，是思想和智慧。) 例例 6 设设 4 3 矩阵矩阵 A

10、的秩的秩 r(A)=2, B=,则则 r(AB)= .102 020 103A. 0 B. 1 C. 2 D. 3正解正解:注意注意 B 是可逆矩阵，因此是可逆矩阵，因此 r(AB)=r(A)（可逆矩阵右乘一个矩阵（可逆矩阵右乘一个矩阵,相当于对该相当于对该 矩阵实行一系列列初等变换矩阵实行一系列列初等变换,不改变秩）不改变秩） ，故，故 选选 C.巧解巧解:你知道最简单的你知道最简单的 43 矩阵吗？好，矩阵吗？好，就令就令 A 是这个矩阵，即是这个矩阵，即，计，计100 010 000 000A算算 AB 可得，可得，幸福！这个，幸福！这个102 020 000 000AB矩阵的秩是矩阵的

11、秩是 2！例例 7设设是线性方程组是线性方程组 Ax=0110 ,111 的解，则系数矩阵的解，则系数矩阵 A 可以取为可以取为 。A B. 101202121343101212123 C. D. 011 121 123 101 202 303 303正解正解:该方程组有该方程组有 3 个未知数，而个未知数，而 ， 显显然线性无关，故一个基础解系至少包含然线性无关，故一个基础解系至少包含 2 个向量，从而知道系数矩阵的秩个向量，从而知道系数矩阵的秩 r 3-2=1. 纵观四个选项，只有纵观四个选项，只有 D 的秩的秩 1，故选，故选 D。巧解巧解:容易想到将两个解容易想到将两个解 与与 代入代

12、入,此时悲此时悲 剧发生剧发生:因为因为 确实满足确实满足 A(验证了四次验证了四次!), 也也 满足前两个方程满足前两个方程,此时若将此时若将 A 选定选定,则非常不则非常不 幸幸.但注意到但注意到 和和 的特殊关系的特殊关系,懒人可以用懒懒人可以用懒办法办法(此懒办法是思考的结果此懒办法是思考的结果):也也0 1 0 是方程的解是方程的解,于是系数矩阵的第二列必须都于是系数矩阵的第二列必须都 是是 0!例例 8 设设则则1130 ()479 , 342AI 的特征值的特征值1()()AIAI之和为之和为 .A.10 B.20 C.23 D.83解解 正解：特征值之和等于迹即对角线元正解：特

13、征值之和等于迹即对角线元 素之和。如何求对角线元素之和呢？即使素之和。如何求对角线元素之和呢？即使 是老老实实做，也不至于去求是老老实实做，也不至于去求 AI 以及乘以及乘积积吧！如果必须要做乘法，吧！如果必须要做乘法，1()()AIAI 我们当然愿意用我们当然愿意用 0 矩阵乘，但此处无矩阵乘，但此处无 0 矩矩 阵；所以我们愿意用单位矩阵乘或用一个阵；所以我们愿意用单位矩阵乘或用一个 矩阵去乘它的逆矩阵，这个愿望看来较为矩阵去乘它的逆矩阵，这个愿望看来较为现实。改造现实。改造，可得，可得1()()AIAI,113*()2 ()2()*15*5AEEAEEAE 幸福再次降临！选幸福再次降临！

14、选 C。巧解：要求对角线元素之和。故扔掉所巧解：要求对角线元素之和。故扔掉所 用非对角元素试试：如此，用非对角元素试试：如此，而而于是于是1100()070 ,002AI 100()0 1/70,001/2AI 故故300()0 15/70,005/2AI 美丽的线性代数！美丽的线性代数！1300 ()()0150 , 005AEAE例例 9 设有三条不同的直线设有三条不同的直线 ，它们所组成的线性方，它们所组成的线性方(1,2,3)iiia xb yc i程组的系数矩阵的秩为程组的系数矩阵的秩为 2，而增广矩阵的行，而增广矩阵的行 列式等于列式等于-3, 则这三条直线可能的位置关系则这三条直线可能的位置关系 是是 。 A.两条重合且与另一条相交两条重合且与另一条相交 B.两两相交但不共点两两相交但不共点 C.均不重合且交于一点均不重合且交于一点 D.三条均平行但不重合三条均平行但不重合解解 正解：系数矩阵的秩为正解：系数矩阵的秩为 2，表明三条，表明三条 直线至少有两条不平行，故直线至少有两条不平行，故 D 错；增广矩错；增广矩 阵的秩为阵的秩为 3，故三条直线均不重