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1、1中學數學課程學與教的策略 (3) 推展德育及公民教育選舉方式 / 選舉制度的探討數學教育組 2008年1月2從一個假設的情境開始 假如 15 位學生負責籌辦一場大食會，因為經 費和人力的限制，他們決定只會提供一種凍飲。 至於要提供哪一種，則有三種意見僵持不下： 凍檸茶（用 T 表示）、紅豆冰（用 B 表示） 還是雜果冰（用 C 表示）。凍檸茶雜果冰紅豆冰故事改自單維彰（2004）：關於選舉的數學理論。math.ncu.edu.tw/shann/scimonth/election3方案一 於是他們決定要用最民主的方式解決紛爭： 不記名投票。 大家不假思索地舉行了最常見的選舉方式： 一人一票、投
2、給自己認為最適當的飲品、 以得到最高票數的飲品獲勝。 開票的結果是 T:B:C = 6:5:4，凍檸茶獲勝。4方案二 有人提議說他聽說過另一種投票方法，比較公 平，那就是所謂的兩輪投票制： 把第一輪投票結果中最好的兩名取出來，所有人 對這兩個候選飲品再投一次票。 第二輪的投票結果竟然是 B:T=9:6，紅豆冰獲勝。最不喜歡凍檸茶小數服從多數嘛！畢竟有9個人不喜歡凍檸茶啊最不喜歡凍檸茶5方案三 為了打破那空氣中令人尷尬的沈默，又有一個人 小心地提議，請大家拋棄成見，再來一次。 這一次，他提議一個最科學的方法： 每個人給每種飲品一個分數，最喜歡的給兩分， 次喜歡的給一分，不喜歡的不給分。然後計算每
3、 種飲品得到的分數總和，最高分的飲品獲勝。 這聽起來畢竟是一個新奇的方法，所以大家雖然 意興闌珊，還是勉強同意了。 15 個人很小心地在選票上填寫了分數，計算的結 果是 C:B:T = 19:14:12，雜果冰獲勝。6解畫 所謂選舉方式就是一套根據選民所表達的 意願將候選對象排序的規則。 這套規則包括了蒐集選民意見的規則和計 算結果的規則。 數學上，選舉方式被視為一個函數，它的 輸入是一個集合選民意願，稱為選民卷宗Record/Dossier，而輸出就是候選對象的排序。 如果有 N 個選民，卷宗裡就有 N 個元素； 如果有 K 個選擇對象，卷宗裡的每個元素 就有 K 個項目。7話說回頭 前面的
4、情境，N=15 而 K=3。卷宗裡面的元素，就 代表選民心目中對於選擇對象的優先順序。 再看前面例子，那15位籌備委員對於三種飲品其 實內心已有喜好。當然，除了透過選票表達之 外，一般來說選民並不知道其他人心中的意願。 參閱下表，那15位籌備委員在3次的投票當中，其 實都是誠實而且理性地表達了個人心中的意願。3rd: C:B:T = 19:14:12C B T42nd: B:T = 9:6B C T51st: T:B:C = 6:5:4T C B6三次投票結果心中的意向人數8回到現實的社會 / 世界 香港的選舉政治起源自殖民地時代： 1883年，殖民地政府成立潔淨局，管理公共衛生，除了官守議
5、員、委任議員，當時該局還包括兩名由選舉產生的議員。 1981年，發表地方行政白皮書，推行地區選舉， 並取消對選民資格的種種限制。港英政府首先於1982年設立香 港區議會、並設置選舉，成立地方政制。 1984年7月發表代議政制綠皮書諮詢代議政制發展方面的 意見後，跟隨發表白皮書宣佈1985年立法局首次引進兩項間 選：由市政局、區域市政局及區議員組成的選舉團，以及 代表社會各個行業及組織的功能組別，分別選出議員。 1989年市政局加入地區直選議席。86年區域市政局已經有直選。 1991年立法局也首次加入直選議席。 1997年主權移交後的政治爭議，多數涉及香港基本法架構 下香港民主發展的步伐。9選舉
6、制度 多數決制? 簡單多數決制：單議席選區制、多議席選區制? 絕對多數決制：? 兩輪淘汰制 vs 多輪淘汰制? 按選擇次序淘汰制? 討論例子：美國總統大選? 比例代表制? 單一可轉移票制? 名單提名制：漢狄法、聖拉格法、最大餘額法? 討論例子：98、04年立法會選舉? 混合制：並存模式、聯立模式、互補模式? 總結：關於選舉的數學理論?10簡單多數決制 無論多少人參加選舉，以每人得票率為 準，得到最多選票的候選人便可當選。 優點是簡單、執行方便。 缺點是 需要劃分多個選區、 未必可以充分代表選民的聲音 / 民意、 對小黨的發展極為不利、 間接造成選民參選率下降.等等。11簡單多數決制 另一個例子
7、是1983年的英國大選。 那次工黨在全國得到27.6%的選票，而自由 黨社會民主黨聯盟得票率是25.4%，跟 工黨十分接近，然而，工黨贏得的議席數 目為209席，佔總數32%，而自由黨社 會民主黨聯盟卻只有23席，佔總數3.5%。 後者對選舉制度極為不滿。英國的小黨向 來認為相對多數制對他們不公平，要求改 用比例代表制，但總是遭到執政的大黨所 反對。12簡單多數決制：單議席選區制 vs 多議席選區制 香港市政局 / 區域市政局及區議會的選舉， 一直沿用這個簡單多數決制的方式。 單議席選區制 vs 多議席選區制： 1994 年前，區議會選區分為單議席選區及 雙議席選區。 立法局 / 立法會： 由
8、有直選以來，最初都是用這個選舉方式- 1991年雙議席雙票制；【或稱全票制】 1995年單議席單票制； 1998年以後比例代表制。13絕對多數決制 絕對多數制，是指候選人需要得到指定 的票數方可當選。 這個當選門檻一般為合法選票之半 數，亦可以是更高的比例或數字。 優點是保證當選人是得到多數選民支持 的候選人。 缺點是在多於兩位候選人的競選中，往 往沒有人能夠得到指定票數，不能一次 得出結果。14絕對多數決制：兩輪淘汰制 在第一輪投票後，如果沒有候選人得票 超過一個標準（很多國家是以過半數為 標準），得票最高的兩位（也有以最高 的三位）候選人再進行第二輪投票，第 二輪投票中得票較多的候選人則當
9、選。 法國是採用兩輪淘汰制比較著名的國家。 自1965年以來，法國總統選舉一直採用這 種辦法。在過去六次選舉中，每次都是在 第二輪投票才能決定勝負。15絕對多數決制：兩輪淘汰制 特點：可避免選出最差的候選人，但卻不能保證 一定會選出最理想的候選人。 在例子裡，沒有候選人得票過半，因此，得票最高的兩位 候選人 A 和 B，將進行第二輪投票。由於有 60% 的選民 支持候選人 A，A 當選。 但是在這三位候選人中，C 是最能反映民意的。因為雖然沒 有任何一位候選人得票過半，但如果選民比較A和C時，有65%的選民 認為C較理想；如果B和C比較，也有60%的選民認為C比B更理想。C : B = 60%
10、 : 40% C A B25%C : A = 65% : 35% A C B35%A : B = 60% : 40% B C A40%各自比較選民的意向支持率16絕對多數決制：多輪淘汰制 多輪淘汰制不會有兩輪制的淘汰程 序，會不斷重複投票，直至其中一位候 選人得到過半數選票為止。 在小黨林立的國家，這套制度往往會令選 舉結果懸而未決，選民需要多輪投票方能 選出當選人，打屈選民的投票意欲。 85年立法局選舉團組別亦採用此方式， 但為港人熟識的是06年世衞總幹事選舉。17絕對多數決制：多輪淘汰制 實例：世衞總幹事選舉。（2006年） 參與投票的人數 34 位 有11名候選人 第一階段投票，投票者可
11、 在選票上選多位候選人。 進入五強之後，每名投票 者只可在每一輪投票中選 一位候選人。18428貝赫具漢4528沙加度夫人101010630弗倫克99931尾身茂2415111032陳馮富珍第四輪第三輪第二輪第一輪第一階段候選人絕對多數決制：多輪淘汰制 2006年世衞總幹事選舉之路。19絕對多數決制：按選擇次序淘汰制 選民投的是次序顯示票（Ordinal Vote）， 即把候選人按選民的喜好愛惡在選票上排 列順序。在點票時，如果有候選人所獲的 第一順序票超過半數，他立即當選；但如 果第一輪沒有人當選的話，則只需要在程 序上把獲得選票最少的候選人淘汰，並將 其選票按下一選擇順序，分別轉移給其他
12、尚未遭淘汰的候選人，重複以上程序，直 至有人可以獲過半數支持而當選為止。20絕對多數決制：按選擇次序淘汰制 自85年起，立法局 / 立法會的功能組別中， 有部份組別一直都有沿用此選舉方式。 （鄉議局、漁農、保險、航運交通） 在按選擇次序淘汰制 下，獲得第一順序票 最多的候選人，亦不 足以保證可以最終勝 出及當選。21多數決制：美國總統大選 美國總統選舉流程： 政黨初選政黨全國代表大會選舉造勢 投票【公民投票選舉人投票】當選 美國總統並非由直選或國會間選產生，而 是由各州選民直選產生選舉人，再由選舉 人根據選民的意願選出總統。四年一度的 美國大選其實是選民決定本州的選舉人團 投票給哪位總統候選人
13、。22選舉人票：優點 vs 缺點 優點：小州的利益受到保障及預防地域主義。 雖然選舉人票是按各州人口比例分配，但為保 障人口少的州份，每州最少也能有兩票。 缺點：不夠民主。加上，根據民意調查，大部 分的美國人皆較傾向以直選方式產生總統。 因為獲最高民意支持者也許無法成為總統。 在大多數的州，皆實施勝者全取的制度。 如果候選人在一州得到過半數選民的支持，則 即可全取該州的選舉人票。因此，歷史上曾出 現總統候選人在直選中嬴了，但卻輸了總統選 舉。這在美國歷史上曾於1876年、1888年、和 2000年發生過三次。2000年美國總統選舉，戈 爾就是其中一個例子。235勝者全取（winner-take
14、-all）242000年美國總統選舉 2000年的美國總統大選是歷史上結果最接近的 幾次之一，兩個主要的參選人是共和黨候選人 喬治布殊，以及民主黨候選人戈爾。 最終的選舉結果經過一個月的爭議後才最終定 案，而爭議是在經過多次的反覆點算普選票以 及司法判決後才最終結束的。 選舉結束後由美國多家媒體主辦的選票重點結 果顯示，即使最高法庭決定重新點算選票，布 殊仍然會贏得佛羅里達州的勝利。但是如果採 用其他方法點算選票，則戈爾有可能獲勝。25美國大選（2000年）的選舉結果53722458612034567429540CA39492015099989750456002266271合計32488692
15、61194117309AL其他候選人戈爾布殊戈爾布殊普選票選舉人票州名於阿拉巴馬州，布殊取得相對多的普選 票，所以他能夠取得 9 張選舉人票。雖然戈爾比布殊取得較多的普選票， 但仍敗給布殊。26選舉規則改變選舉結果 1992年，在美國總統大選中，克林頓取得 370 張選舉人票，而老布殊只取得168 張人 票，另外獨立候選人則得不到選舉人票。 由於克林頓取得超過法定的 270 張選舉人 票，所以成為美國總統。但是，有人曾 經就是次選舉 進行研究，發 現不同的選舉 規則會影響結 果。27選舉規則改變選舉結果1326%支持佩羅特的 民主黨選民12310%支持佩羅特的 共和黨選民21341%只支持老布殊23143%只支持克林頓佩羅特布殊克林頓選民意願選民 百分比選民牞類28波達制度改變選舉結果 波達制度由法國數學家（Jean Charles Borda）制訂的。 若有 N 位候選人，選民可以給 N1 票予 其第一志願人選，N2 票予第二志願， 如此類推，最後志願者則不獲選票。 在1992年的美國總統大選，根據民意調 查，我們得到選民選舉總統的意願。29比例代表制 定義：泛指所有依照選民對其屬意的政黨 或候選人所投的票數，按比例分配議席的 選制度，而
