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1、1高等数学复习卷高等数学复习卷 B一、填空题（每题 3 分，共 15 分）1已知函数，当 时，函数在处连续。 0,cos10,)(2xxxkexfx k)(xf0x2 。xxxx2 22 )1(lim3. 设函数在可导，且,则。)(xf1x2) 1 ( f_1) 1 ()34(lim 1xfxfx4. 已知，且，则。xxxeef)(0) 1 (f_)(xf5. 设在上连续，且，则 。)(xf 1 , 01)(, 0) 1 (102dxxff10)()(dxxfxxf二、选择题（每题 3 分，共 15 分）1、设函数在处可导，为自变量在的改变量，为相应函数改变量，则( )yf x0xxx0xy必
2、有（ ）. ； ； 0y 0dy ydy 0lim0 xy 2、设函数是内连续奇函数，且，则在处的导数为（ ）.( )f x) 1 , 1( 0( )lim xf xax)(xf0xA； B； C； D不存在aa03、设函数的导函数的图像单调递增，则下列结论正确的是（ ）. yf x fxA 在内，曲线是凹的；, f xB 在内，曲线是凸的；, f xC 在内，曲线是单调上升的；, f xD 在内，曲线是单调下降的。, f x4、=（ ）.dxxx1121)sin1 (A BC D2245、曲线与轴所围部分的面积为( ).)2)(1()(xxxxfyxA. B C D20( )f x dx12
3、01( )( )f x dxf x dx20( )f x dx1201( )( )f x dxf x dx三、计算题（每题 6 分，共 42 分）21 2 20sin1lim 11xxexx21ln(1)0lim(cos )xxx3 设，可导,求：。)()(lnxfexfy )(xfdy4. 设 ， 求。252(35)(1)2xxy x y5 6arctan xdxln201xedx7. dx xx1021arcsin四求解下列微分方程（每题 8 分，共 16 分）2求微分方程的通解.30xyy五、应用题（7 分）求和所围平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积.0,sin,xxyeyx1xx
4、证明题（5 分）：当时，有。0xx xxdx xdx1121211答案：一、填空题（每题 3 分，共 15 分）12. 21。 3. 。 4.。kxxxx2 22 )1(lim61) 1 ()34(lim 1xfxfx2)(ln21)(xxf35. 。21)()(10dxxfxxf二、选择题（每题 3 分，共 15 分）1、 2、A 3、A 4、B 5、B三、计算题（每题 6 分，共 42 分）1 .22000002sin1coscossinlimlimlimlim 1lim12111 2 1xxxxxxxxxexexexexxxxx x 2 令,21ln(1) 2lncos(cos )lnl
5、n(1)xxyxyx而,于是.220000sin lncoslncos1coslimlnlimlimlimln(1)22xxxxx xxxyxxx 211 lnln(1)200lim(cos )limyxxxxee3.dxxfexfxexfdyxfxf )()(ln)(ln)()( 4. ,于是 .2211lnln(35)ln(1)ln(2)52yxxx221325351(2)xxyyxxx 5 .2 21arctanarctanarctanln(1)12xxdxxxdxxxxcx6.2221,ln(1)ln21111 02220000:0121122(1)2(arctan )2(1)1114
6、xetxt xtttedxtdtdtdtttttt 7. 是瑕点,于是.1x8)(arcsin21arcsinarcsin 1arcsin210210102 xxdxdx xx四求解下列微分方程（每题 8 分，共 16 分）1求微分方程的满足的特解。2lnxyyxx11 9xy 解:由于,所以为一阶线性微分方程,.22lnlnyxyyxxyxxxxqxxpln)(,2)(于是ln)(22)()(cdxexecdxexqeydxxdxxdxxpdxxp)1ln(311ln1ln33 22 2ln2ln2cdxxxxxxcdxxxxcdxexexx;223233 2)31(ln3)31(ln31)
7、31ln(311 xcxx xcxx xcxxxx4代入初始条件,得,所以满足条件的特解为:.01)311(ln31 91cc)31(ln3xxy2 求微分方程的通解.30xyy解:这是可降阶的高阶微分方程,缺型,于是令,ypypy ,dxxdppppx3103两边积分,得.31 1lnln3lnxcpcxp即,.)21(22131 31cxcyxc dxdy xcyRcc21,五、应用题（7 分）求和所围平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积.0,sin,xxyeyx1xx解: .2sin422sin21 21)(sin)(21 02210210exxedxxdxeVxx x六、证明题（5 分）：当时，有。0xx xxdx xdx1121211证:. xxxdttdutuxtxxxdx tdttdtt udu xdx11112211 221,111:121211)1(11112
