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1、2 0 1 3年第 4期 中学数 学 月刊 3 5 “ 阿波骂尼斯 圆硇应用及搽究 教学 实录及点评 董 荣森( 江 苏省怀 仁 中学2 1 4 1 9 6 ) 1 基 本情 况 本课是 2 0 1 1 年 1 2月 2 7日在无锡市锡 山区第 二届 “ 呼唤名 师”推 介会 上 的一 节 示 范课 ， 授课 班 级是江苏省天一 中学高三 ( 8 ) 班 教学 目标 ： ( 1 )回忆求轨迹方程的一般步骤 ， 能根据已知条件 ， 求满足条件动点的轨迹方程及 轨迹 ； ( 2 )能 够探 索 归 纳 得 出 阿 波 罗 尼 斯 轨 迹 定 理 、 能 够运用 此定 理来 解 决 一些 简 单 问
2、题 ； ( 3 )在 已有 经 验 的基 础 上 ， 对 阿波 罗 尼 斯 轨 迹定 理进 一 步探究得出一些特殊结论 ， 体会探究 的经历 ， 渗透 数形 结 合 、 归 纳类 比的数学 思想 教学重点和难点 ：感受阿波 罗尼斯轨迹定理 及 一些 结论 得 出 的基 本 过程 是 本 课 的重 点 ， 难 点 是 有关 结论 探究 的思 维过 程 教学中主要采用启发诱导和 自主探究相结合 的教学 方法 2 教学 实 录 片段 1 问题情境 师 ： 我们 知 道 ： 平 面 内到两 定点 的距 离之 和 为 定值( 大于两定点的距离)的点 的轨迹是椭 圆； 到 两定点 的距 离之 差 的绝 对
3、 值 为 定值 ( 小 于 两 定 点 的距离)的点的轨迹是双曲线 那么 ， 同学们有没 有 思考 或研 究过 ： 到两定 点 的距 离 之 比( 商 )为 定 值 的 点 的轨 迹是 什 么呢 ? 片段 2 学 生活动 师： 请同学们解决下面的 问题 在 同一平面内， 已知两定点 A( 一 2 ， o ) ， B ( 4 ， o ) ， 若动 点P满 足 嚣 一专， 则点P的 轨 迹方 程是 ， 其 轨迹 为 师 ： 在解决这个问题之前 ， 我们来 回忆一下求 轨迹方程的一般步骤 ： 建系 一 设点 列式 一 代 人 化简 一 检验， 接下来请 同学们按照这几个 步骤 完成 本题 生 1 ：
4、 ( -z+ 4 ) 。 + 一 1 6 ， 一个 圆 师 ： 变式 1 如 果 将 题 目中 “ 一 1”改 为 “两P A -1 呢? 生 2 ： z一1 ， 表 示 一 条直 线 ( 线段 的 中垂 线 ) 师： 变式2 如果将题目中“ 一寺” 改为 “ 一 ( 0且 1 ) ”呢 ? r D ( 教 师运 用几 何 画板演 示 0 1 的情 形 ， 然后 由学 生 归纳 总结 ) 生 3 ： 在 平 面 内给定 两点 A 和 B， 设 P点在 同 n 一平面上且满足嚣 一 ， 当 0 且 1 时， P 点 上j 的轨 迹 是个 圆 师 ： 这个结论是公元前两百多年的一位大数 学家阿波罗
5、尼斯发现的， 所 以这个圆我们称之为 “ 阿波罗尼斯 圆” ， 这个结论称作“ 阿波罗尼斯轨迹 定 理” ( 教 师介 绍 阿波 罗尼斯 的生平 ) 师 ： 如何 求 A BP 面积 的最 大值 ? 生 4 ： 因 为 AB 的长 度 已经 固定 ， 要 求 A BP 面积 的最 大值 即求 点 P到 AB 距 离 的最 大 值 ， 易 得点 P到AB距离的最大值为R一4 ， 所以A BP 面积 的最 大值为 1 2 练 习( 2 0 0 8年 江苏 高 考题 )在 AB C 中 ， 已知 A B一2 ， C A 一, gC B， 则 A B C面积的最大 值 是 生 5 ： 建 系 ， 以线
6、 段 A B 的 中 点 为 坐 标 原 点 ， A B所在的直线为z轴 ， 线段 AB的中垂线为y轴 建 立直 角 坐标 系 ， 因 为 A B 一 2 ， 所 以 A( 一 1 ，0 ) ， B( 1 ， O ) ， 设 C( x， ) ， 由C A= ： = 2 C B可 以算 出点 C 的轨迹方程为( z一3 ) 。 +Y =8 ， 容易求得 AB C 面积的最大值为 2 g g 生 6 ： 以 A 为坐 标 原 点 ， A B 所 在 的直线 为 z 轴 建 立直 角坐标 系 ， 求得 点 C的轨 迹 方程 为 ( z一 4 ) +y 一8 ， 同样求得 AAB C面积的最大值 为
7、2 片段 3 知识 构 建 师 ： 我们知道命题 是由题设和结论两部分构 成 ， 那么阿波罗尼斯轨迹定理的题设是什么?结 论 又是什 么 呢? 生 7 ： 题设 为 ： 平 面 上给定 相 异两点 A， B； n 在同 一平面上动点P 满足篇 一 ( o 且 D 1 ) ； 结论 为 ： 点 P 的轨 迹是 个 圆 师 ： 如 果 我 们 将 上 述 的 进 行 重 新 组 合 ， 可以构成多少个命题? 生 8 ： 六 个命 题 师： 由于本节课 的时间关系 ， 今天我们一起来 3 6 中学数学月刊 2 0 1 3年第 4期 探 讨其 中的两 个 问题 1 如果将定理中题设“ 平面内给定 相
8、异两 点 A， B” ， 与 结 论 “ P 点 的轨 迹 是 个 圆 ” 互 换 ， 命 题是 否成立 呢 ? ( 让学生 大胆 猜想 ， 并鼓 励 学生 就 教学 片 段 2 中的 问题 进 行编制 例题 ) 片段 4 例题 讲 解 例 1 已知点 A( 一2 ， 0 ) ， P是 圆 C： ( +4 ) +Y 一1 6 上任意一点 ， 问在平面上是否存在点 B， 使 得 面P A 一 丢 ? 若 存 在 ， 求 出 点 B 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 说 明理 由 解 假设存在点 B满足要求 设 B( a ， 6 ) ， P ( z ， ) ， 则 z + z ： 一 8 X 由
9、 嚣一 得 到 4 P A ：PB 4 厂 ( +2 ) 。 +y 。 一( a ) + ( 一 6 ) 。 ， 即( 2 a一8 ) x+ 2 b y+ 1 6 一 a 。 一b 一0 因为 P 是 圆 c 上 的 任 意 一 点 ，所 以 f2 a 一 8 = 0 ， ， 2 60 ， ? 一 故 存 在 定 点B ( 4 ， o ) I 1 6一 a2一 b 一 0 一 变式 已知点 P是 圆 C： ( z+ 4 ) +Y = = = 1 6 上任意一点， 问在z轴上是否存在两定点A， B， 使 得 嚣一 丢 ? 若 存 在 ， 求 出 两 定 点 A ，B 的 坐 标 ； 若 不存在
10、， 请说明理由 ( 由生 9 板 演 ， 教 师 巡视 ； 生 1 0纠错 ， 教 师板 书讲解 ) 解 ( 解答 过程略)存在定 点 A( 一 6 ，0 ) ， B( 一1 2 ， O )或 A( 一2 ， 0 ) ， B( 4 ， 0 ) 结论 1 设 P是某 圆上 的点 ， 则 平 面 内一定 存在两 定 点A ， B ， 使 得嚣 为 常 数 ( 0 且 1 ) ( 教师让 学 生 进 行猜 想 与归 纳 出结 论 ，引导 学生 继续深 入探究 ) 问题 2 如果将本定理 中的题设 中“ P点 与 点A ， B在 同一平 面 内 ， 且 满 足 P A ( 0 且 1 ) ” ， 与结
11、论“ P点的轨迹是个圆”互换， 那 么命题是否成立呢? ( 鼓励学 生继 续 自己编题 ) 例 2 已知点 A( 一2 ， O ) ， B( 4 ， O ) ， P是 圆C： ( z+4 ) +Y 。 一1 6 上任意一点 ， 问是否存在这样 的常 数 ， 使得 嚣 = ? 若 存在， 求出 常 数 的 值； 若不存在 ， 说明理 由 生 1 1 ： 设 P( x 。 ， Y 。 ) ， 则 P A 一( z 。 +2 ) + ， P B 一 ( z0 4 ) + Y 又( zo+ 4 ) + Y 一1 6 ， 即 + 一8 所 以 一 一 三 6 x一 嚣 B 一 2 ， 即 一 2 一 1
12、 + 1 6 4 P “ 。 ( 又 一次 让 学 生板 演 ， 由 学 生 总结 得 出 结 论 2 ， 充分体现 了以学生为主体 ) 结论 2 在平面上给定两点 A， B， 若 P点是 某个圆上的动点 ， 则必有 为定值 ( 其 中 是 大于零且不等于 1的常数) 片段 5 回顾 小结 在教 师 的指导 下 ， 由学 生来 完 成 数 学 知 识 ： 一个定理及 两个结论 ； 数学方法： 数形结合 ， 转化 与 化归 ， 归纳类 比， 解 析法 ； 数学 应用 ： 探究解 决有 关最值 、 定值和定点问题 3 点 评 ( 点评人 ： 江苏省特级 教 师 单 志 民)董 荣森 老 师在多年的
13、工作中逐渐形成了“ 真实 、 扎实 、 厚实” 的教学 风格 真实： 在课堂教学 中能真正地把学生作为学 习的主体， 当成研究者 本课从学生已有的知识出 发 ， 通 过设置 问题驱 动导 入新 课 ， 一 方面通 过类 比 的方法 引导学 生来 思 考 和研 究 “ 到 两定 点 的距 离 之 比( 商 )为定值 的点 的轨迹 是什 么 ?” 激起 学 生 迫 切想 知道答 案 的欲 望 和探 究 热 情 ； 另 一 方 面通 过 该 问题 来 检验学 生 的 学 习情 况 随后 对 阿 波 罗 尼斯 圆定理 的题设 与结论 进行 交换探 究 出两个 结 论 ， 真正把学生当作探究者， 满足了
14、学生的心理需 要 ， 让学 生 的学 习活动成 为探 究活 动 ， 让学 生在 自 主探究 中感受到两个结论的来历及推导过程与方 法 扎 实 ： 对 于 教学 上 的难 点 、 关 键 的问题 ， 设 置 了 问题 解决 的“ 台阶” ， 帮助学 生拾 阶而 上 ， 采用 了 “ 问题 链”的形 式分解 问题 ， 这是 一种 有 助 于学 生 克服学习上 的困难 ， 使课堂流程 自然 、 和谐、 有效 的好 方法 厚实 ： 扬弃 了传统 的数 学课 堂教学 模式 ， 做到 了将 数学文 化渗 透 到数 学 课 堂 之 中 教 学 中使 用 了启发式和探究式， 注重知识 的发生发展， 注重解 题分 析 ， 注 重 揭 示 数 学 思 想 方 法 ， 注 重 教 学 的厚 实 本节课 很 有 新意 ， 围绕 阿波 罗尼 斯 圆定 理 与 问题 ， 教师 引导 学生 由浅入 深 、 由特殊 到一般 地进 行大胆地变式与提出新 问题 ， 给学生 以探究与体 验 的机会 ， 经历 探究 与创新 的思 维历程 ， 以此 为载 体让学生学会解决有关定点 问题的方法 ， 并由此 让学生总结归纳出一般性结论 ， 有利地培养了学 生 的探究 意识 、 探究 能力 和创新 精神
