《尖子生数列提高之通项公式的求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《尖子生数列提高之通项公式的求法（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、尖子生数列提高之通项公式的求法因为数列在课本上的内容和习题相对都比较简单，而在考试尤其是高考中数列题目大多数又比较难，有的题目很难、很复杂，显示出很大的反差。使得在学习数列时感到很困难。同时，数列题目种类繁多，很难归类。为了便于研究数列问题，找出其中某些常见数列题目的解题思路、规律、方法，现把一些常见的数列通项公式的求法作以下归类。. 一、作差求和法 m w.w.w.k.s.5.u.c.o例 1 在数列na中，31a,) 1(11nnaann，求通项公式na.解：原递推式可化为：111 1nnaann则,21 1112 aa 31 21 23 aa41 31 34 aa，nnaann1 11
2、1逐项相加得：naan111.故nan14.二、作商求和法例 2 设数列na是首项为 1 的正项数列，且0) 1(122 1nnnnaanaan（n=1,2,3） ，则它的通项公式是na=（2000 年高考 15 题） 解：原递推式可化为：)() 1(11nnnnaanaan=0 nnaa10， 11 nn aann则 ,43,32,21342312aa aa aa，nn aann11逐项相乘得：naan11，即na=n1.三、换元法例 3 已知数列na，其中913,34 21aa，且当 n3 时，)(31 211nnnnaaaa，求通项公式na（1986 年高考文科第八题改编）.解：设11n
3、nnaab，原递推式可化为： ,31 21nnnbbb是一个等比数列，91 34 913121aab，公比为31.故nnn nbb)31()31(91)31(22 11 .故n nnaa)31(1.由逐差法可得：n na)31(21 23. 例 4 已知数列na，其中2, 121aa，且当 n3 时，1221nnnaaa，求通项公式na。解 由1221nnnaaa得：1)()(211nnnnaaaa，令11nnnaab，则上式为121nnbb，因此nb是一个等差数列，1121aab，公差为 1.故nbn.。由于112312121nnnnaaaaaaabbbLL又2) 1(121nnbbbnL所
4、以) 1(211nnan，即)2(212nnan四、积差相消法例 5 设正数列0a，1a，na，na，满足2nnaa21nnaa=12na )2( n且110 aa，求na的通项公式.解 将递推式两边同除以21nnaa整理得：12211nnnn aa aa设nb=1nn aa，则01 1aab =1，121nnbb，故有1212 bb 1223 bb 121nnbb (1n)由22n+ 32n+(1n)02得122221n nbL=12 n，即1nn aa=12 n.逐项相乘得：na=2) 12( 222) 12() 12(nL，考虑到10a，故 2222) 12() 12() 12(1nna
5、L) 1()0( nn. 五、取倒数法例 6 已知数列na中，其中, 11a，且当 n2 时，1211 nn naaa，求通项公式na。解 将1211 nn naaa两边取倒数得：2111nnaa，这说明1na是一个等差数列，首项是111a，公差为 2，所以122) 1(11nnan，即121 nan.六、取对数法例 7 若数列na中，1a=3 且2 1nnaa（n 是正整数） ，则它的通项公式是na=（2002 年上海高考题）.解 由题意知na0，将2 1nnaa两边取对数得nnaalg2lg1，即2lglg1nn aa，所以数列lgna是以1lga=3lg为首项，公比为 2 的等比数列，1
6、21 13lg2lglgnn naa ，即123nna.七、平方（开方）法例 8 若数列na中，1a=2 且2 13nnaa（n2） ，求它的通项公式是na.解 将2 13nnaa两边平方整理得32 12nnaa。数列2 na是以2 1a=4 为首项，3 为公差的等差数列。133) 1(2 12nnaan。因为na0，所以13 nan。八、待定系数法 待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走 弯路.其变换的基本形式如下：1、BAaann1（A、B 为常数）型，可化为1na=A（na）的形式.例 9 若数列na中，1a=1，nS是数列na的前n项之和，且nn n
7、SSS431（n1） ，求数列na的通项公式是na.解 递推式nn nSSS431可变形为41311nnSS（1）设（1）式可化为)1(311nnSS（2）比较（1）式与（2）式的系数可得2，则有)21(3211nnSS。故数列21nS是以3211S为首项，3 为公比的等比数列。21nS=nn3331。所以131 nnS。当 n2，1238332 231 231211nnnnnnnnSSa。数列na的通项公式是 123833212nnn na )2() 1( nn。2、BAaann1nC（A、B、C 为常数，下同）型，可化为1 1 n nCa=n nCaA(）的形式.例 10 在数列na中，,
8、342, 11 11 n nnaaa求通项公式na。解：原递推式可化为：)3(231 1 n nn naa 比较系数得=-4，式即是：)34(2341 1 n nn naa.则数列341n na是一个等比数列，其首项53411 1a，公比是 2. 112534nn na即112534nn na.3、nnnaBaAa12型，可化为)()(112nnnnaaAaa的形式。例 11 在数列na中，2, 121aa，当Nn，nnnaaa6512 求通项公式na.解：式可化为：)(5(112nnnnaaaa比较系数得=-3 或=-2，不妨取=-2.式可化为：)2(32112nnnnaaaa则21nnaa
9、是一个等比数列，首项122aa =2-2（-1）=4，公比为 3.1 1342 n nnaa.利用上题结果有：112534nn na.4、CBnAaann1型，可化为) 1(21211naAnann的形式。例 12 在数列na中，23 1a，12nnaa=63n 求通项公式na.解 式可化为：21121) 1()(2nanann 比较系数可得：1=-6，92， 式为12nnbbnb是一个等比数列，首项299611nab，公比为21.1)21(29n nb即 n nna)21(996故96)21(9nan n.九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出123,a a a，然后
10、猜想出满足递推式的一个通项公式na，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。十、特征方程法（形如21( ,nnnapaqap q是常数）的数列）形如112221,( ,nnnam am apaqap q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项na，其特征方程为2xpxq若有二异根, ，则可令1212( ,nn naccc c是待定常数）若有二重根，则可令1212()( ,n nacncc c是待定常数）再利用1122,am am可求得12,c c，进而求得na例 13已知数列na满足* 12212,3,32()nnnaaaaa nN，求数列na的通项na解：其特征方程为232xx，解得121,2
11、xx，令1212nn nacc，由1122122243accacc ，得1211 2cc， 112nna 例 14已知数列na满足* 12211,2,44()nnnaaaaa nN，求数列na的通项na解：其特征方程为2441xx，解得121 2xx，令121 2nnacnc，由1122121()12 1(2)24accacc ，得1246cc ， 132 2nnna十一、不动点法（形如2n n nAaBaCaD的数列）对于数列2n n nAaBaCaD，* 1,( , , ,am nNA B C D是常数且0,0CADBC）其特征方程为AxBxCxD，变形为2()0CxDA xB若有二异根,
12、 ，则可令11nnnnaacaa （其中c是待定常数） ，代入12,a a的值可求得c值这样数列nna a 是首项为11a a ，公比为c的等比数列，于是这样可求得na若有二重根，则可令111nncaa（其中c是待定常数） ，代入12,a a的值可求得c值这样数列1na是首项为1na，公差为c的等差数列，于是这样可求得na此方法又称不动点法例 15已知数列na满足1 1 122,(2)21n n naaana，求数列na的通项na解：其特征方程为2 21xxx，化简得2220x ，解得121,1xx ，令1111 11nnnnaacaa 由12,a 得24 5a ，可得1 3c ，数列1 1n
13、na a是以111113aa为首项，以1 3为公比的等比数列，1111 133nnna a ，3( 1) 3( 1)nnnnna 例 16已知数列na满足* 11212,()46n n naaanNa，求数列na的通项na解：其特征方程为2146xxx，即24410xx ，解得121 2xx ，令111 11 22nnc aa 由12,a 得23 14a ，求得1c ，数列1 1 2na 是以112 15 2a 为首项，以1为公差的等差数列，123(1) 1155 2nnn a ，135 106nnan强化训练强化训练1. 设数列an的前项的和 Sn=31（an-1） (nN)()求 a1；a2； ()求证数列an为等比数列2 已知数列an的前 n 项和 Sn满足：Sn=2an +(-
