“基底搭桥”,不一样的解题精彩——一道高考立体几何题的教学运用

《“基底搭桥”,不一样的解题精彩——一道高考立体几何题的教学运用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《“基底搭桥”,不一样的解题精彩——一道高考立体几何题的教学运用（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、考试在线 。高考频道 ， 1 设计 意图 基 底 搭 桥 ， ， 0 1中1 耋 4 5 中 学 毅 学 教 辱 参 考 。 移 廖 国 一道高考立体几何题的教 学运用 用 “ 基底 搭桥”，能开阔视野 ，拓展思维，展 现不 一样 的解 题精 彩 王焱坤( 广东省深圳市坪山新区坪山高级中学) 立体几何是培养学 生空间想象能力最有力 的工 具 ， 也是高考的重要考点 ， 空间向量为解决立体几何 问题 提 供 了一 个 十 分 有 效 的 _T具 因此 ， 人 教 版 数 学 选修 2 1 第三章“ 空 间向量与立体几何” 对此进行 了 专题 研 究 但在 实 际教 学 中笔 者 发 现 ： 学

2、生 学 习 了空 间直角坐标系后， 求解立体几何 问题要么尝试运用几 何法， 要么试探坐标法 而分析近几年的高考理科立 体几何试题发现题中往往没有明显 的垂直关系， 建立 坐标 系 要通 过 一 定 的 转 化 证 明 ， 难 度 较 大 一 味 强 调 坐标方法 ， 也会造成高考得分困难运用基底方法 既 避免了技巧要求较高 、 转化复杂 的几何方法 ， 又很好 地规避 了建系的困难 为此 ， 笔者以 2 0 1 1年高考数学 广东卷理科第 1 8 题为背景设计了一堂 习题课 ，引导 学 生 回归 向量 应用 本 质 ， 探 究 空 间 向量 中基 底 的 应用 价值 ， 展现不一样的解题视角

3、 2 考题呈现 困惑求突破 题 目 ( 2 0 1 1年 高考数学广东 卷理科 第 1 8题 ) 如图 1 ， 在锥体 P _ AB C D 中， AB C D是边长为 1的菱 图1 形 ， 且 DAB一6 0 。 ， P AP D= 2， PB= ： = 2 ， E、 F分别 是 BC、 P C 的 中点 ( I) 证 明 ： AD_ l _ 平面 D EF； ( I I ) 求二面角 PAD B 的余弦值 教师 ： 本题 以等腰 三角形 、 菱 形、 三角 形 中位线 等平面几何知识为背景 ， 以锥体 为载体 ， 重点考查 了 线线关 系、 线 面关 系、 二 面角等 ， 请 同学们尝 试

4、给 出 解 答 教师边巡视边进行个别点拨 ， 一段时间后发现大 家答 题 情况不 理想 ， 教 师进行 了本环 节 的小 结 教师 ： 本 题应该算 是一道较 为常规 的立体几何 题 但大家答题情 况并不理想 ， 高考 阅卷后 的抽样 中 也发现本题总分为 1 3分， 考生平均得分却仅为 5 8 4 分 ， 标准 差却 达 到 3 8 9 ， 看 来 大 家解 答 该 题 都存 在 较 大的困难 请 同学们 总结一下 自己的解题过程 ， 想想 解答 本题 的困难 在哪 里 ? 学生进行了一番讨论 ， 接着一位学生就大家讨论 的情 况进 行 了总结 学生： 我们解答本题遇到的问题是若采用几何方

5、法求解 ， 由于涉及要用原题 中给定的相关数据推出位 置关 系 ， 因 而不能 很好 地进 行线 线 平行 与 面 面平行 的 相互 转换 ， 不 能 找 出二 面角 的 平 面 角 而 导 致 求 解 困 难 若采用坐标方法求解 ， 建立坐标系又显难度较大 教 学说 明： 利用高考题的权威性激发学生的学习 兴趣 ， 用学生 自己的解题 困惑为新知 导入做好铺垫 ， 了解 新 方法 学 习的必 要性 3 基底搭桥 思维新启迪 教 师 ： 看 来 我 们 遇 到 了解 题 障 碍 ， 在 遇 到解 题 障 碍时常常采用回归方法 ， 本题能不能也采用这种后退 一步 的分析 方法 呢 ? 教师接着启

6、发 ： 我们用坐标法解决立体几何问题 的根据 是什 么 ? 学 生 ： 空 间向量 基本 定理 教 师 ： 空 间向量 基本 定理 告诉 我们 用 空 间任 意 三 个不共面的向量( 基底) 可以线性表示 出空间中的任 意一个 向量 ， 并且表示 结果是唯一 的 本题中没有很 明显的垂直关系， 建系困难较大 我们有没有可能从 坐标法退一步 ， 不建系而用基底方法求解呢? 在教师的引导下 ， 经过大家分析讨论 ， 发现本题 。 彩 撵 ， 2 0 3 1年 第1 2甥 (上旬 ) O 中学擞学教 学参考 三棱 锥 AB D 中 所 有 的边 、 角 均 为 已 知 ( 或 简 单 可 求) ，

7、联想到 问向量的基本定理可 以知道 ， 本题若通 过设( ， 葡 ， 商 ) 或( ， ， ) 为基底， 运用向 遁 运算 的有 关知 识表 示相 关 的点 、 线 、 呵 ， 能很 好地 突 破 这一 难点 接 着在 教师 的引 导 下 ， 以( ， ， ) 为基底， 师生共同完成了以下的解法 具体如下 ： 解 ： 设 P AD： a ， PAB一 ， 在 P AD 中 【 t 1 F A = P D - 4 ，A D = l 咖一 譬 义在 A P AB 巾， P A= -= = 一 ， PB= = 2 ， AB一 1 ， 由余 理 有 一 年 故可 设 声一n ， 一 ， 一c 。 由题

8、知 1 n l 一 ， 一 f c f 一 1 ， 则 有 n 6 一 1 ( 一 ) 一 一 ， 口 c 一 1 x 一 丢 c 一 1 X I X 1 1 ( T ) 碡= ： 十 专 商 一 吉 c 一 + 吉 一 十 一 一 ( 确+ 丽十 ) 一 1 丢 一 74 -5 疏一 c ( 1 c ) 一 虿 1 1 x I。 = o ADj DE 义 研一 c ( 一 - - c ) 一 吉 一 专 x 1 -二 O A D Z D F 又 DEN DF=D， AD 上 平 面 DE F ( I I ) 设平 面 ADB的法 向量n 。一 a + 1 b +y 。 c ， 由n 一0有

9、- r I +2 1 +1 0 V a n ： - - 0有 2 +-) ， 1 0 联 立 有 。 =l ， Y 1 一一 1 故 n 1 一口 +b C 又 没平 面 P AD 的法 向量 为n 2 ： ： 口 十 2 6 + C ， 由 n 一。有 z 一 一4 由 n 2 一0有 ： 十2 ： 十1 一O 联 立 ， 解 之得 ! 一 专 ， z 一 一 号， 故， l z n 十 一 导 c 又 f n l 。 =n = = ： C a b -c ) 一1 ， 即 I n l l = 1 ， I n 2 ： 一(n + 吾 6 一 一 7 ， B0 l 一 争 设 二 面 角 P -

10、 AD B 的 平 面 角 为 0 ， 则 l C O S 0 l 一 = = ，故 所 求 二 面 角 的 余 弦 值 为 高 考颛道 毫 、 _ _ 7 教 学说 明 ： 在 充 分 暴露 思 维 过 程 的 提 下 师 ， l 共同探究完成解题过程 ， 体现 了新 课程要求的合作 习 、 共 同探 究 的要求 I ： 学生亲 f I 参 j 探 寻 斛题 思路 、 解决 思维 障碍 、 规 范答 题 的 全 过 程 ， 也有 利 f学 形 成 自已的个体解题经验 ， 个性思维品质 4 模型建构 通法巧提炼 教 帅 ： 用 空 间 向墩解决 立体 几何 问题 是 利片 j m l 向量求

11、解平 面 几何问题 的发 展 刚 刚 火 家 的 共同 努 力下 ， 采用 同 归 到 基 底 方 法 较 好 地 完 成 r这 道 商 题 请 大家结 合 刚刚 的懈题 过程 ， l卡 交流 F。 看 石 运 用基 底方 法解 立体 几何 题有 哪 嘤注 意的 地 得 我们 总结 的 ? 通 过学 生 的讨 论 、 补 充完 善 ， 总 结 f 下 ： ( 】 ) 先 确定 组 基底 ， 要求 找 j 模 确 定 、 删 - 之 叫 夹角 可求 的 r 个 小共 面向餐作 为基底 1 - 以通 过 找 边 、 角关 系易求 得 四 嘶潍作 为确定 堆底 的 发点 ( 2 ) 利 用 基 底表

12、 示 宅 lh J 点 、 线 、 面等 丸 索 从 建 立空 问图形 空 间 向龄 ( 基底 ) 之 的联 系 ( 3 ) 通过 空 问 向量 运 镎 求 得 解 答 ， 要 提 人家 的 是还要注意将运算的结果返 回到儿f u j 结沦 教 学说 明 ： 将例题解答叶 1 共同形成 的解题 经验 + 1 下来 ， 及时提炼 解题通 法 ， 彤成 f j 基底求 解 体 I t 舛川 题的常见模式， 有利于学生内化学习经验、 拓腱思维 5 适时强化 再现 新精彩 教 师 ： 刚刚 我们 提炼 I叶 | 了用 基 底 力 法 斛题 的 炎键 点 ， 接 下来 继续 尝 试用 这 种方法 解题

13、教师 ： 分析 2 O l 1 年 各地 高 考数学 理 科 体 几何 试题 ， 像 L述这种儿何法难转化、 坐标法难找 A父 系， 适合运用基底法求解的高考题很多。 教 帅提供 儿 例 供 大 家选榉 练 习 ( 2 O 1 1年 高 考 数 学 北 京 卷 理 科 第 】 6题 ) 如 罔 2 ， 在 四 棱 锥 P - AB ( D 中 ， P A上 平 阿 AB CD 底 面 AB C D 是 菱 形 AB 一 2 ， BA D= 6 O。 2 ( T) 求 证 ： BD L 平 面 P A( 、 ； ( ) 若 P AAB， 求 P B 与 A ( 所 成 角 的余 弦值 ； ( 【

14、 ) 当平 面 P B C 与平 面 PD( 、 垂 时 求 P A 的 长 考 一 n 蟹 ， ,t - 4 4 7 ： 1 教学背景 燕蕊 寒 强霈 匆 好 的情境 能激起 学生主动探 究问题 的欲 望，换一 个角度看 问题一 定会 有许多收获与惊喜 ! 吕水 庚( 江苏省金坛市华罗庚实验学校) 高考是受关注度最高的一种考试 从高考数学试 题的导 向功能来看， 命题者在命 制试题时 ， 都会对所 在地区使用的教材给予高度关注 试题中的基础类题 目很多都是课本 上的例题 、 习题经过适 当变 化而来 的 ； 一些 中 、 低档 的综 合解 答题 也 是教 材 的 例题 、 习题 经过交汇 、

15、 融合而成的； 即使是压轴题也不例外 ， 这类 题 目是试卷的主体 ， 试卷中真正的难题并不多， 这些 难 题往 往 又 以课 本 上 的 典 型 基础 题作 为背 景 因 此 ， 在 数学 学 习的过 程 中 ， 学好 课 本上 的题 目是 高考 成 功 、 、 一 、 、 点拨： 可选( ， ， ) 或( A- - ， ， 茄 ) 作为 基底 ( 2 0 1 1年 高考数 学全 国卷 理 科 第 1 9题 ) 如 图 3 ， 四 棱 锥 S - AB C D 中，AB C D，BC 上C D， 侧 面 S AB 为 等 边 三 角 形 ， AB：BC=2 ， CD=S D=1 ( 工) 证 明 ： S D上平 面 S AB； ( ) 求 AB 与平面 S B C 所成 的角 的大 小 点拨： - I N( Xg ， ， A- )