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1、求通求通项项公式公式1. 已知数列 an 的前 n 项和为Sn，且Sn=2(an -1)，则a2等于( A )A. 4 B. 2 C. 1 D. -2 2在数列中，且，则 35 na121,2aa21 ( 1)nnnaa *()nN10S3在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_2 n+1-3_. .4对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列)1 (xxynna的前n项和的公式是 2n+1-2 .1nan5. (广东)已知数列的前项和，则其通项 ；若它的第nan29nSnnna 项满足，则 . 2n-10 ; 8k58kak 6. （
2、江西）已知数列对于任意，有，若，则 na*pqN，pqp qaaa11 9a 36a4 7. 已知正项数列an，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6 且a1, a3, a15成等比数列，求 数列an的通项an . 解析解析 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2 或a1=3 又 10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2) 当a1=3 时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a1
3、3; 当a1=2 时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 已知数列前已知数列前 n n 项和项和 Sn,Sn,相当于知道了相当于知道了 n2n2 时候时候 a an n, ,但不可忽视但不可忽视 n=1.n=1. 二、由递推关系求数列的通项二、由递推关系求数列的通项 1. 利用迭加 an-an-1=f(n)、迭乘 an/an-1=f(n)、迭代。2.一阶递推,我们通常将其化为看成bn的等比qpaann1AapAann1数列。 3.利用换元思想（变形为前一项与后一项成等差等比关系，直接写出新数列通项化简得 an） 。 4.对含 an与 Sn的题，
4、进行熟练转化为同一种解题，注意化简时 n 的范围。 突突 破破 重重 难难 点点【范例范例 1】1】记).1(0521681111naaaaaannnnn且满足).1(211 n abnn（）求b1、b2、b3、b4的值； （）求数列的通项公式及数列的前 n 项和nbnnba.nS解析解析（I）, 052168,21121111 nnnn nnnnaaaaba ab代入递推关系得整理得,342, 03641 11 nn nnnnbbbbbb即.320, 4,38, 2, 143211bbbba所以有由（）由, 032 34),34(234,342111bbbbbnnnn所以故的等比数列公比是首
5、项为,2,3234qbn1 122124114112 ,2(1).1,133332 2 1(1 2 )1513()(251).21 233nn nnnnnnnnn nnnnbbnba bb aSaba ba bbbbnnn LL即即即即【变式变式】数列中，（是常数，） ，且 na12a 1nnaacnc12 3n L，成公比不为 的等比数列 （I）求的值；（II）求的通项公式123aaa，1c na解：（I），12a 22ac323ac因为，成等比数列，所以，解得或1a2a3a2(2)2(23 )cc0c 2c 当时，不符合题意舍去，故0c 123aaa2c （II）当时，由于2n，21aac
6、，322aac，1(1)nnaanc所以1(1)12(1)2nn naanccL又，故当时，上式也12a 2c 22(1)2(2 3)nan nnnnL，1n 成立，所以22(12)nannnL，【范例范例 2】2】设数列的首项na1 13(01)2 3 42n naaan，（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整na32nnnbaa1nnbbn数解：（1）由整理得132 3 42n naan， ，111(1)2nnaa 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得110a1na11 a1 21111 (1)2nnaa （2）方法一：由（1）可知，故则302na0nb 22 1nnbb2 22
7、22 11339(32)(32)32(32)(1) .224nnn nnnnnnnaaaaaaaaaa 又由（1）知且，故，因此为正整数0na 1na 22 10nnbb1nnbbn，方法二：由（1）可知，3012nnaa，因为，所以13 2n naa111(3)322nn nnnaabaa由可得，即1na 33(32)2n nnaaa2 23(32)2n nnnaaaag两边开平方得即为正整数3322n nnnaaaag1nnbbn，【变式变式】已知数列中，对一切自然数，都有 nan且10,an0212 1nnnnaaaa求证：(1)； (2)若表示数列的前项之和，则nnaa21 1nS n
8、an12aSn解析：解析： (1)由已知得，0212 1nnnnaaaa2 11 12 nn naaa又因为，所以, 因此，即10,an1102 1na12nnaannaa21 1(2) 由结论(1)可知 ，即，1122121 21 21aaaannnnL1121aann于是，即21211111111 2 11 211222nnnSaaaaaaaa L LL L12aSn【范例范例 3】3】由坐标原点 O 向曲线引切线，切于 O 以外的点 P1)0(323abxaxxy，再由 P1引此曲线的切线，切于 P1以外的点 P2） ，如此进行下去，得到点),(11yx22,(yx 列 Pn.nnyx
9、,(求：（）的关系式；)2(1nxxnn与 （）数列的通项公式；nx（） （理）当时，的极限位置的坐 nnP解析解析 （）由题得 baxxxf63)(2过点 P1（的切线为),11yx),0)()(:11111xxxxfyyl过原点 1lQ322 11111113(3)()(36),.2xaxbxxxaxbxa 即 即又过点P Pn（的,)nnxy:()()nnnnlyyfxxx 因为过点P Pn-1（ nl11,)nnxy 11()()nnnnnyyfxxx 整理得. 0)(32112 12 1nnnnnnnnxxxxaxxxx2 11111() (23 )0,230.13(2).22nnn
10、nnnnnnnxxxxaxxxxaxxa n 即 即即 即（）由（I）得 11().2nnxaxa 所以数列xn-a是以公比为的等比数列2a 21.)21(1 )21(21axaaxn nn n（） ,)21(1 limlimaaxnnnn Q.23)(lim333aababaaafyn n 的极限位置为（nP点).2,3aaba【点睛点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式求数列1111:( )()lyyfxxx的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通 项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知 Sn，求通项，破解方法：利用 Sn-Sn-1=
11、an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公 式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。【变式变式】已知函数f (x)=，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如32xx nnn 下方式取定：曲线x=f (x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两)(,(11nnxfxnn 点的直线平行（如图）.求证：当 n时，() x （）.*N;2312 12 nnnnxxx21)21()21(n nnx解、 (I ) 证明：因为2( )32 ,fxxx所以曲线在处的切线斜率( )yf x11(,()nnxf x12 1132. nnnkxx 即和两点的直线
12、斜率是 以.(0,0)(,()nnxf x2,nnxx22 1132nnnnxxxx（II）因为函数，当时单调递增，2( )h xxx0x 而，22 1132nnnnxxxx2 1142nnxx2 11(2)2nnxx所以，即 因此12nnxx11,2nnxx1121211( ).2nnn nnnxxxxxxx又因为 令 则 122 12(), nnnnxxxx 2,nnnyxx11.2nnyy因为 所以2 1112,yxx12 111( )( ).22nn nyy因此 故221( ),2n nnnxxx1211( )( ).22nn nx数列求和数列求和1.设，则等于（ D ）4710310
13、( )22222()nf nnNL( )f nA. B. C.D.2(81)7n12(81)7n32(81)7n42(81)7n2. 等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ B ）A9 B10 C11 D123. （福建）数列的前项和为，若，则等于（ B ）nannS1 (1)nan n5SA1 B C D5 61 61 304. 设Sn是等差数列an的前n项和，若 ，则S 3S 61 3S 6S12A. B. C. D.3 101 31 81 9解析解析: :由等差数列的求和公式可得且31 1 61331,26153SadadSad可得0d 所以,故选 A61121615273 12669010Sadd Sadd5.已知数列、都是公差为 1 的等
